Сопромат теория (Теория к экзамену), страница 3

Дифференциальные зависимости между q, Q, M(изг.) при изгибе стержня.Уравнение равновесия кусочка стержня:36. Потенциальная энергия деформации изгиба стержня.Потенциальная энергия упругой деформации равна работе, которую внутренние усилиясовершают на перемещениях точек тела при нагружении. При изгибе это – работа внутреннихизгибающих моментов на поворотах поперечных сечений.14Потенциальная энергия (полная), накопленная в стержнепри чистом изгибе есть интеграл по его длине:37.

Расчёт на прочность стержня при изгибе по допускаемым напряжениям. Рациональныеформы поперечного сечения изогнутого стержня.Максимальное напряжение при изгибе возникает в точках,наиболее удаленных от нейтральной линии:Отношение.называется моментом сопротивлениясечения при изгибе.Для стержня прямоугольного сечения со сторонами b и h:.Для круглого сечения:.Напряжение при изгибе обратно пропорционально третьей степени линейных размеровсечения.Наиболее экономичными являются такие формы сечений, для которых с наименьшей затратойматериала получается наибольший момент сопротивления. Чтобы форма сечения быларациональной, необходимо по возможности распределить площадь сечения подальше отнейтральной оси.

При изгибе в вертикальной плоскости такие профили дают существенную выгодупо сравнению с прочими формами поперечных сечений.38. Косой изгиб стержня. Определение напряжений и перемещений.Косой изгиб – вид изгиба, при котором направление векторавнутреннего изгибающего момента не совпадает ни с одной из главныхцентральных осей поперечного сечения. Косой изгиб удобнее всегорассматривать как одновременный изгиб в двух главных плоскостях zOx иzOy.Для этого изгибающий момент М раскладывается на составляющиемоменты относительно осей x и y.Нормальное напряжение.в точке (x, y) определяется:Уравнение нейтральной линии в сечении = 0:В общем случае, поэтому условие перпендикулярности прямх не выполняется,значит нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости изгибающего момента, а несколькоповернута в сторону оси минимального момента инерции.Максимальное напряжениевозникает в точке, наиболее удаленной от нейтральнойлинии.Свойства1.

При прямом изгибе нейтральная линия проходит через центр тяжести и перпендикулярнаплоскосити изгибающего момента.2. При косом изгиюе нейтральная линия проходит через центр тяжести, но не перпендикулярнаплоскосити изгибающего момента.3. При внецентренном растяжении-сжатии нейтральная линия не проходит через центр тяжестии не перпендикулярна плоскосити изгибающего момента.Теорема Бетти:15Возможная работа сил первого состояния на перемещениях второго состояния равна возможнойработе сил второго состояния на перемещениях первого.39. Интеграл Мора для определения перемещений.Теорема Кастильяно: частная производна от потенциальной энергии системы по силе равнаперемещению точки приложения силы по направлению этой силы.Теорема Кастильяно дает возможностб найти перемещения только точек приложения внешнихсил и только в направлении этих сил.Если необходимо еайти перемещение точки, к которой приложены внешние силы, мы самиприкладываем в этой точке внешнюю силу Ф=0.- принцип независимости действия сил.- внутренний изгибающий момент в системе от внешней нагрузки.- внутренний изгибающий момент в системе от фиктивной силы Ф.- внутренний изгибающий момент в системе от силы в точке К по направлению Ф.- интегралы Мора.40.

Способ Верещагина для вычисления интеграла Мора.Если стержень состоит из прямых участков с постоянной жёсткостью, операциюинтегрирования можно простить.По способу Верещагина операция интегрирования заменяется перемножением площади первойэпюры на ординату второй эпюры под центром тяжести первой. В случае, если обе функции линейные,не имеет значения, умножается ли площадь первой эпюры на ординату второй или наоборот.Способ Верещагина применим к любому из 6 интегралов Мора. Разница для них заключаетсялишь в том, что результат перемножения делится на жесткостьпри кручении или на EA или GA –при растяжении и сдвиге.Встречающиеся на практике эпюры, как правило могут быть разбиты на простейшие фигуры:прямоугольник, треугольник и параболический треугольник, для которых площадь и положение центртяжести известны:41.

Внецентренное растяжение (сжатие) жёсткого стержня. Определение напряжений иперемещений.При внецентренном растяжении равнодействующая внешних сил не совпадает с осьюстержня, как при обычном растяжении, а смещена относительно оси z и остается ей параллельной.Относительно главных осейравнодействующая силаF дает моменты:.В произвольной точке с координатами (x, y) нормальное напряжение определяется:16.Уравнение нейтральной линии:.При внецентренном растяжении (сжатии) нейтральная линия не проходит через центр тяжестисечения.42. Теорема Кастильяно (вывод).Частная производная от потенциальной энергии системы по силе равна перемещению точкиприложения силы по направлению этой силы.Нагрузим тело системой сил.

Тогда потенциальная энергия U получит приращениеи примет вид.Нагрузим тело в точке n бесконечно малой силой, при этом точка получит перемещение. Тогда работы силыоказывается равной. Теперь приложим всю систему внешнихсил.Потенциальная энергия деформации тела увеличивается на величину.В результате при обратной последовательности приложения сил выражение для потенциальнойэнергии получаем в виде.Недостаток теоремы Кастильяно: с ее помощью можно определять перемещения только техточек, к которым приложены внешние силы.43. Винтовые цилиндрические пружины кручения Вывод формул для определения напряженийи перемещений.Витую пружину можно рассматривать как пространственно-изогнутый стержень, осевая линиякоторого в простейшем случае представляет собой винтовую линию.

Геометрическая форма осевойлинии определяется диаметром витка D, числом витков n и углом подъема .При рассмотрении пружин кручения при расчете наибольший интерес представляетопределение углового перемещения одного конца относительно другого.В поперечных сечениях витка пружиныкручения возникает полный момент.В проекциях на оси:.После приложения к концам единичныхмоментов:Наибольшее напряжение изгиба:.1744. Винтовые цилиндрические пружины растяжения (сжатия). Вывод формул для определениянапряжений и перемещений.При нагружении в поперечных сечениях проволоки, из которой они навиты,возникают два внутренних силовых фактора: перерезывающая силы Q и крутящиймомент.Q=F; в расчетах на прочность и жесткость действием Q можно пренебречьпо сравнению с действием.Крутящий момент равен:Максимальное касательные напряжения в поперечныхсечениях круглой проволоки:.Расчетный коэффициент запаса прочности:.- хрупкие материалы при создании пружин неиспользуются.Для определения перемещений в цилиндрической пружине применяют интегралы Мора:- жесткость проволоки на кручение- общая длина проволоки.- по длине проволоки момент постоянен.- число витков.45.

Общий случай нагружения стержня. Определение напряжений, перемещений.Потенциальная энергия деформации в общем случае нагружения.Для определения потенциальной энергии выделим элементарный участок стержня длиной dz:- коэффициенты формы поперечного сечения.18Последние 2 слагаемых дают небольшой вклад в общую сумма и ими, как правило можнопренебречь.Общий случай нагружения: в поперечных сечениях могут возникать нормальные и поперечныесилы, изгибающие с крутящие монеты одновременно..