Курсовая работа по дисциплине Дифференциальные уравнения, страница 2

Кроме того при x  0 решение, в силупредставления (25), имеет видae−i k xikxe( k 2 - n(x 1 ))u( x 1 )dx 1∫2 ik 01u(x) =+eikx,откуда следует, чтоa1∫ ei k x (k 2 - n (x 1 ))u( x 1)dx 12ik0А=.Аналогично, при x  a , благодаря представлению (26), решение имеет вид1(29)aei k x−i k xe(k 2 - n ( x1 )) u( x 1 )dx 1∫2ik 01u(x) =ikx+ e.Следовательно,a1−i k xe(k 2 - n ( x1 ))u( x 1 )dx1∫2 ik 01В=+ 1.Иначе говоря, коэффициенты отражения и прохождения вычисляются по формулам (29),(30), если построено решение интегрального уравнения (27).(30)Построение самого приближенного решения этого уравнения проводится методомпоследовательных приближений согласно следующей схеме.Представим искомое решение уравнения второго рода (28) в виде бесконечного рядаu = u0 + u1 + u2 + u3 + ...(31)Подставив его в (28), получимu0 + u1 + u2 + u3 + ...

=A u0 + A u1 + A u2 + A u3 + ... + f.(32)Положим u0 = f ; u1 = A u0 ; u2 = A u1 ; u3 = A u2 ; . . . ; un+1 = A un .Подобным выбором последовательныхудовлетворяется тождественно.приближенийуравнение(32)очевидно9. Реализация метода.В результате реализации метода получили выражение для поля:U 0 ( x) e5ixxU1 ( x ) 1e5ixe  5ix 10ix1(33x)dxe ( 3  3x1 )dx11110i 10i0xx2e5ixe 5ix 10ix12U 2 ( x) ( 3  12( x1  1,5) ) dx1 e (  3 12( x1  1,5) 2 ) dx110i 110i xxU  ( x) U 0 ( x)  U1 ( x)  U 2 ( x) e5ix x1e5ixe  5ix 10ix1(33x)dxe ( 3  3 x1 ) dx1 1110i 10i 0x2e5ixe  5ix 10ix12( 3  12( x1  1,5) ) dx1 e (  3  12( x1  1,5) 2 ) dx110i 110i xxU1 ( x )  U 2 ( x ) x1e5ixe  5ix 10ix1(33x)dxe ( 3  3 x1 )dx1 1110i 10i 0x2e5ixe  5ix 10ix12( 3  12( x1  1,5) )dx1 e ( 3  12( x1  1,5) 2 ) dx110i 110i xxe5ix1 5ix  3x 2(33x)dxie  3x 1110i 010 21e  5ix 10ix13ie  5ix (ie10ix (10 x  (10  i ))  e10i )e ( 3  3 x1 )dx1 10i 1000xxe5ix1( 3  12( x1  1,5) 2 )dx1  ie5ix ( x  1) 2 (2 x  5)10i 152e  5ix 10ix13ie  5ix (e10ix (50ix 2  (10 150i) x  (15  99i))  (5  i)e 20i )2e ( 3  12( x1  1,5) )dx1 10i 1250x11 5ix e5ix xe  5ix 10ix15ix(33x)ee(33x)dxe ( 3  3 x1 )dx1  dx111110i 010i xA1  010i22 5ix e5ix xe  5ix 10ix12 5 ix2(312(x1,5))ee(312(x1,5))dxe ( 3  12( x1  1,5) 2 )dx1  dx111110i 110i xA2  110i15 ix x 5ix 1ee(  3  3 x1 )e  5ix  e5ix ( 3  3x1 )dx1 e10ix1 ( 3  3x1 )dx1  dx110i 010i xB1  0110i22 5ix e5ix xe  5ix 10ix12  5ix2(312(x1,5))ee(312(x1,5))dxe (  3  12( x1  1,5) 2 ) dx1  dx111110i 110i xB2  1110iA  A1  A2B B1  B2После преобразований получаем:10.

Результаты.Исходные данные к задаче приведены в пункте 4.При использовании метода получены следующие результаты:1)A  0, 02835  0, 01997i;B 0, 06615  0,99717i;22A  B 1, 000002) Графическое представление решения.11. Сопоставление результатов.Сравнение результатов вычислений для одних и тех же исходных данных, полученныхпри помощи разных методов – построением фундаментальной матрицы и решениеминтегрального уравнения последовательными приближениями:III. Метод WKB9.

Теоретическая Часть.Рассматриваемая краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка спеременным коэффициентом не допускает построения явного решения. Оно было бывозможным, если бы на интервале [0, a] удалось построить два линейно независимыхрешения u1(x) и u2 (x)этого уравнения.

Однако, существует приближенныйасимптотический метод построения таких решений, называемый методом WKB , - попервым буквам фамилий его авторов. Этот метод предполагает построение решений ввиде асимптотического рядаu(x)eikΦ ( x )∞un ( x)n=0kn∑,(32)где (x)(фазовая функция) и un(x) (амплитудные функции) заранее не известны иподлежат нахождению. Ряд (33) не предполагается сходящимся в классическом смысле.Вместо этого предполагается, что отношение каждого последующего члена ряда кпредыдущему есть величина O(1/k). Это соответствует определению асимптотическогоряда, у которого каждый последующий член по отношению к предыдущему естьвеличина большего порядка малости относительно степени малого параметра 1/k .Исходное О.Д.У.

переписывается при этом в виде2dudx 2 + k2 ~n (x ) u = 0,где~n (x )(33)= n(x)/ k2 , - нормированный показатель преломления.Для нахождения функций(x) и un(x) ряд (33) формально подставляется в уравнение(33). Вторая производная вычисляется в виде∞u’’(x) =e∞u'n ( x )n=0kn∑ikΦ ( x )∑n{ik’’(x) n = 0 k∞u'n' ( x)n =0kn∑+un ( x)k2[’(x)]2∞un ( x)n =0kn∑+ 2ik’(x)}. Подставляя это выражение и представление (32) вeуравнение (33), и сокращая на общий множитель∞∑n=0i’’(x)un ( x)∑,получим∞∑u'n ( x )∞∑u'n' ( x)k n − 1  [’(x)]2 n = 0 k n − 2 + 2i’(x) n = 0 k n − 1 + n = 0 k n∞un ( x)n =0kn − 2∑~n (x )un ( x)∞ikΦ ( x )= 0.+(34)Выравнивая в бесконечных суммах степени k в знаменателях нужным сдвигом индексасуммирования, преобразуем уравнение (34) в уравнение∞u n + 1( x )n =−1kn∑i’’(x)∞u'n' ( x )n=0kn∑+~n (x )[’(x)]2∞un + 2( x)n =− 2kn∑∞un + 2( x)n =− 2kn∑∞u'n + 1 ( x )n =− 1kn∑+ 2i’(x)+= 0.(35)Приравнивая выражения при одинаковых степенях параметра k , получим:для n = - 2:u0(x)[~n (x ) [’(x)]2] = 0;дляn = - 1:i’’(x)u0(x) [’(x)]2 u1(x) +2i’(x)u’0 (x) +~n (x )u1(x) = 0;дляn 0:i’’(x)u n + 1(x)[’(x)]2 un + 2 (x) + 2i’(x)u’n + 1 (x) + u’’n (x)+~n (x )un + 2 (x)= 0 .Так как u0(x) не должно обращаться в ноль, уравнение дляn = - 2 приводит к О.

Д. У.первого порядка для нахождения фазы(x) (одномерное уравнение эйконала)[’(x)]2=~n (x ).(36)Остальные уравнения при этом упрощаются до О.Д.У. первого порядкаотносительноu0(x):i’’(x)u0(x) + 2i’(x)u’0 (x) = 0;(37)и О.Д.У. первого порядка относительно un + 1(x), если построеноun(x):i’’(x)u n + 1(x)+ 2i’(x)u’n + 1 (x) + u’’n (x)= 0;(38)Обычно в методе WKB ограничиваются первым приближениемu0(x)eikΦ ( x ), так какряд (32) вообще говоря не сходится и добавление последующих членов может ухудшитьаппроксимацию.Уравнение (37) допускает два решенияxx∫ √~n (t )dt01 (x)=∫ √ n(t )dt1k=x01;2 (x)= k∫ √ n(t )dt0;а уравнение (38) приводится к виду'u0 ( x )''Φ ( x)='u ( x)Φ (x ) 2 0~'n (x)n(x)~2 n ( x) = 2 n( x )''Φ ( x)='Φ (x )Так как.', независимо от знака у1,2 (x) , то этоуравнение переписывается в виде''n (x)=  4 n ( x)u0 ( x )u0 ( x ).(39)Очевидным решением уравнения (39) является14√ n( x)u0(x)=. Таким образом, благодаря двузначности решения для фазы  (x),получим два линейно независимых решенияex−i∫ √ n( t )0dt=√n( x )dte4(1 )u0xi∫ √ n( t )04(2 );u0√n( x )=.(40)Окончательно, общее асимптотическое приближенное решение уравнения (1.1) в области[0, a] неоднородного слоя имеет видe(1 )u(x) = C1u0x−i∫ √ n( t )0dt= C1√n( x )dte4(2 )+ C2 u 0xi∫ √ n( t )04+ C2√n( x ).(41)Здесь C1и C2 - произвольные константы.

После этого, окончательное приближенноерешение исходной задачи, как и прежде, сводится к вычислению констант А, B, C1 , C2 изкраевых условий на границах слоя :(1 )1 + А = C1(2 )u0(0) + C2( 1)i ka( 2)u (0) + C2 u' (0);0(1 )= C1ik B e= C10(2 )u0(a) + C2( 1)i ka(0);'ik(1  А) = C1B eu0u0(a);( 2)'u (a) + C2 u' (a).00(42)13.

Реализация метода.В результате реализации метода получаем:;xi(11)u0=ò (25+3t )dt25+3 xiu0=(11)e=C1ò (4(t - 1,5)4+27 ) dtu+ C3(25 +3t )dte0425 +3 x-i+ C2e04;x25 +3 xu0=-ieò (4(t - 1,5)+ C4 u 0 =(25 +3t )dt4025+3 x+ C3xò(4(t - 1,5) 2 +27) dte044( x - 1,5) 2 +27Получили систему алгебраических уравнений.-i+ C4eò (4(t - 1,5)2+27) dt04+27 ) dt4(x - 1,5)2 +27+i20(22)0xò4ò (25+3t )dt(22)xòu0=4(x - 1,5)2 +27(21)02e0(12)u 0 + C2 uxi(12)x(21)u(x) = C1-i;e04x;4( x - 1,5) 2 +2714. Сопоставление результатов.Исходные данные к задаче приведены на странице 4.При использовании метода получены следующие результаты:A =- 0, 0196121 + 0.0019084iB =0,93421 + 0,366323iA + B »1, 007,Графическое представление решения.1.2Y1.080.960.840.720.60.480.360.240.12X0-0.12-0.24-0.36-0.48-0.6-0.72-0.84-0.96-1.08-1.20.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.911.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.92IV15.

Сопоставление результатов трёх методов.Сравнение результатов вычислений для одних и тех же исходных данных, полученныхпри помощи трёх методов:.