Методическое пособие, страница 3

В треугольнике с вершинами A(3,1,5) ; B(4,2,5) и C (4,0,3)найти длину медианы, проведенной из вершины А.№8. Найти угол, образованный единичными векторами p и q , если из-  вестно, что векторы a  p  2q и b  5 p  4q перпендикулярны.№9. Найти объем тетраэдра с вершинами A(4,4,3) , B(2,1,1) ,C (2,2,1) и D(1,3,2) .Даны вершины четырехугольника A(4,3,2) , B(2,2,3) ,C (8,5,1) и D(4,3,1) .

Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.№11.Найти  площадь параллелограмма, построенного на векторах a  p  2q и b  5 p  4q , если p(1,2,3) , q (2,3,1) .№10.Материал раздела «Векторы. Скалярное, векторное, смешанноепроизведения векторов» широко применяется при решении задач механики, физики.

Задача №12 – это пример использования векторного произведения при решении задач механики.№12. Кинетическим моментом системы материальных точек M 1 , M 2 с массами m1 , m2 и скоростями v1 , v 2 относительно центра O называет-ся вектор I  [OM 1 , m1 v1 ]  [OM 2 , m2 v2 ] . Пусть O(2,1,1) , m1  2 ,m2  3 , M1 (4,4,3) , M 2 (2,2,1) , v1  ( 2,3,1) , v2  (1,2,3) .Найти кинетический момент системы материальных точек M 1 , M 2 относительно центра O .№13.Найти угол между двумя прямыми x  3  6t y  1  2tz  4x5 y  4 z 2и135№14.

Даны вершины треугольника A(1,1,3) , B(3,3,9) , C (5,11,7) .Составить каноническое и параметрическое уравнения средней линии, параллельной стороне BC. Составить каноническое и параметрическое уравнения медианы, проведенной к стороне АВ.18№15. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(2,5,3)перпендикулярно плоскости 4 x  3 y  2 z  7  0 .№16.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(1,1,1) ,B(2,3,1) параллельно вектору a  (0,3,1) .№17. Найти угол между прямойx 1 y z 1и412  3плоскостью 6 x  3 y  2 z  1  0 .№18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(1,1,1)перпендикулярно прямой x  2  3ty  1 tz  5№19. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (1,2,1)параллельно векторам a  (2,3,4) и b  (3,2,2) .№20. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(2,1,3)параллельно плоскости 2 x  3 y  4 z  5  0 .№21.

Даны вершины треугольника A(7,1,6) , B(1,3,4) , C (9,3,5) . Составить уравнение плоскости АВС.№22. Составить каноническое и параметрическое уравнения прямой, проходящей через две точки A(2,1,33) и B(1,2,5) .№23. Найти проекцию точки A(5,2,1) на плоскость 2 x  y  3z  23 .№24. Найти точку, симметричную точке A(4,3,1) относительно плоскости x  2 y  z  3  0 . x  1  2t№25. Найти проекцию точки A(4,3,10) на прямую  y  2  4t . z  3  5tЗадачи по теме «Кривые и поверхности второго порядка»№1. Составить уравнение эллипса с фокусами в точках F1 (0,3) , F2 (0,3)и большей полуосью, равной 5.

Сделать чертеж.19№2. Установить, какую кривую определяет уравнение 4 x 2  9 y 2  36 .Найти ее фокусы и асимптоты. Сделать чертеж.№3. Установить, какую кривую определяет уравнение y 2  3x  9 .Найти ее фокусы и директрису. Сделать чертеж.№4. Составить уравнение гиперболы с фокусами в точках F1 (0,6) ,F2 (0,6) и мнимой полуосью, равной 3. Найти асимптоты, сделать чертеж.№5. Установить, какую кривую определяет уравнение 16 x 2  9 y 2  144 .Найти ее фокусы, асимптоты.

Сделать чертеж.№6. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F (0,4) и директриса y  4  0 . Сделать чертеж.№7.Установить,какуюкривуюопределяетуравнение5x 2  9 y 2  30 x  18 y  9  0 .Сделать чертеж.№8. Определить тип поверхности второго порядка, заданной уравнением.Сделать чертеж.

Найти сечение поверхности заданной плоскостью.123Уравнение поверхности222x  4 y  9 z  36  0x225x236y2 z2199y2 z209 16Уравнение плоскостиz0x  4z449 x 2  4 y 2  36 z  0y0525 x 2  y 2  9 z 2  225  0y0Дополнительные задачидля подготовки к экзамену или зачету(задачи повышенной трудности)20№1. Доказать, что1 xx21 yy 2  ( y  x)( z  x)( z  y ) .1 zz2№2. Решить систему линейных уравнений при всех возможных значениях2 x  y  3z  7параметра t:  x  2 y  6 z  ttx  5 y  15 z  8№3.

Исследовать систему линейных уравнений и найти общее решение вx1  x2  x3  1зависимости от параметра  :  x1  x2  x3  2 x  x  x  1 123№4. Решить систему линейных уравнений при всех возможных значенияхtx  y  z  0параметра t:  x  ty  z  0 x  y  tz  0№5. Решить уравнение:43x213 0x  10112 x21№6. Решить неравенство: 15132 0x№7.

Построить однородную систему уравнений AX  0 по заданной фунe1  (2,1,1,1) , e2  (0,1,2,0) ,даментальнойсистемерешенийe3  (1,1,0,1) .№8. Вектор x , перпендикулярный к оси OZ и вектор a  (8,15,3) обра-зует острый угол с осью OX. Зная, что x  51 , найти координаты x .21№9. Даны два вектора a  (8,4,1) и b  (2,2,1) . Найти вектор c , комaпланарный векторам a и b , перпендикулярныйквектору, равный емупо длине и образующий с вектором b тупой угол.№10. При каком значении параметра векторы a  (1,2t ,1) ; b  (1, t ,0) ;c  (0, t ,1) будут компланарны?  №11.

Объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b , c равен 2.Найтиобъемпараллелепипеда,построенногонавекторах      a  b  c, a  b, c  b ) .x  2 y 1 z№12. При каком значении t прямаяпараллельна пря3t1x  y  z  0мой ?xy5z80№13. При каком значении параметра A плоскость Ax  3 y  5z  1  0x 1 y  2 z ?параллельна прямой431x 1 y  2zx  1 y  11 z  6№14. Показать, что прямыеи21  2121пересекаются, и найти точку пересечения.№15. Даны вершины треугольника A(7,1,6) , B(1,3,4) , C (9,3,5) .

Составить каноническое и параметрическое уравнения высоты, проведеннойиз вершины A.x  2 y 1 z .432x 1 y  2 z  5и234№16. Найти расстояние от точки M (7,9,7) до прямой№17.Доказать,чтопрямыеx  7 y  2 z 1лежат в одной плоскости и составить уравнение322этой плоскости.№18. Установить взаимное расположение прямой и плоскости и, в случаеих пересечения, найти координаты точки пересечения.а)x 1 y  3 z243и 3x  3 y  2 z  5  0 ;22x  13 y  1 z  4и x  2 y  4z  1  0 ;823x 7 y 4 z 5с)и 3x  y  2 z  5  0 .514б)№19. Вывести уравнение эллипса, фокусы которого расположены в мни-x2 y2 1, а большая полуось равна поломых вершинах гиперболы16 9вине фокального расстояния этой гиперболы. Изобразить в одной системекоординат данную гиперболу и эллипс с найденным уравнением.№20. Вывести уравнение равносторонней гиперболы, симметричной относительно оси ОХ, фокусы которой располагаются на директрисе параболы y 2  4 x , а мнимая полуось равна параметру этой параболы.

Изобразить данную параболу и полученную гиперболу на одном чертеже. Имеютли данные кривые точки пересечения?№21. Привести уравнение гиперболы 9 x 2  16 y 2  1 к каноническомувиду, найти координаты её фокусов и вершин, эксцентриситет и уравненияасимптот. Составить уравнение параболы, вершина которой находится вфокусе гиперболы, а директриса проходит через действительную вершину.Рассмотреть все возможные случаи. Сделать чертёж: изобразить гиперболуи все параболы в одной системе координат.№22.Уравнениеповерхностивторогопорядка9 x 2  4 y 2  z 2  18 x  16 y  11  0 привести к каноническому виду.Определить тип поверхности и сделать чертеж.

Установить по одну илипо разные стороны от поверхности находятся точки A(5,1,0) и B(1,0,9) ?№23.Уравнениеповерхностивторогопорядкаx 2  16 y 2  4 z 2  6 x  40 z  107  0 привести к каноническому виду.Определить тип поверхности и сделать чертеж. Найти сечения поверхности координатными плоскостями.x 1 y  2 z  3и поверхно231222сти 9 x  4 y  36 z  18 x  16 y  216 z  335  0 .№24. Найти точки пересечения прямой№25.Определитьтипповерхностивторогопорядкаx  16 y  4 z  6 x  40 z  93  0 . Найти сечения поверхности коор222динатными плоскостями.23В электротехнике для расчета электрических схем используется методконтурных токов.