Методическое пособие, страница 2

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Параметрическое уравнение прямой. Прямая как линия пересечения плоскостей.915. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости в пространстве.16. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Выводы уравнений кривых второго порядка исходя из их геометрических свойств.17. Исследование формы эллипса, гиперболы и параболы по их каноническим уравнениям. Эксцентриситет эллипса и гиперболы. Директрисы эллипса и гиперболы.18.

Поверхности второго порядка в пространстве: эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, конусы, цилиндрические поверхности. Канонические уравнения поверхностей второго порядка. Примеры.Рекомендуемая литература1. Краснов М.Л., Киселев А.И. и др., Вся высшая математика, ч.1.М: Эдиториал УРСС, 2012.2. Ильин В. А., Ким Г.

Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.: Проспект, 2012.3. А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. том1,Высшая школа,2011 г.4. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И. Вся высшая математика. Том 1- 4. М.: URSS, 2005.5. Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч.1./Под ред.А.В.

Ефимова и А.С. Поспелова М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2003.Дополнительная литература6. Атабеков Г.И. Основы теории цепей., Спб.: издательство «Лань»,2009. 432 с.7. Аксененкова И.М., Игонина Т.Р., Малыгина О.А., Чекалкин Н.С. идр. Математический анализ, 1 семестр. Учебно-методическое пособие. М.:МИРЭА, 2012. 128с.8.

Сборник задач по высшей математике для экономистов/под ред.П.С. Геворкяна/. М.: ЗАО «Издательство Экономика», 2010. 384 с.9. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. М.: Издательство «Наука», 1964. 664 с.Работа с дополнительной литературой позволяет решать прикладныезадачи с использованием аппарата алгебры и геометрии.10Часть 1.Основные типы задачдля подготовки к контрольным работам и экзамену (зачету)Часть 1 содержит основные типы задач по курсу алгебры и геометрии 1-го семестра для подготовки к двум контрольным работам и сдаче экзамена (зачета). Для полноценного усвоения материала рекомендуется выполнить все задачи части 1.Задачи по теме «Алгебра матриц.Решение систем линейных уравнений»№1.Найти2  1A   3 4 , 5  7матрицыC  8 A  BT ,D  AT  3B ,если 4  3 0B   .812№2. Найти матрицуC  BA , если 1  326A   , B   4 0  .5 7  2  1Существует ли для заданных матриц произведение AB ?№3.

Найти матрицу C  ABT , если5  4 ,351) A   4  22) A   1 2  ,6  7 4 7B  31  1  5B 02 .14 №4. Задана матрица А.а) Вычислить определитель матрицы.б) Если выполняется критерий существования обратной матрицы,1найти обратную матрицу A .

Сделать проверку.111 1  1A  2342 1 2  1A  3 024  2 5 524  1A 362   4  8  663A  3B  5C , где 1  1B  311 1 C  11A  2B , где31  5B   1  3  2 5 21 1 2A  (CB)T , где C  34 1 0B  12№5.ОпределителемВронскогоW (x)y1 ( x), y2 ( x),..., yn ( x) называется определительW ( x) системыy1 ( x)y1 ( x)y2 ( x )y2 ( x)......yn ( x)yn ( x)............y1( n 1) ( x)функцийy2( n 1) ( x) ... yn( n 1) ( x) .Вычислить определитель Вронского для заданной системы функций.№1{sin 2 5 x,cos 2 5 x},x  R№52{e2 x sin 3x, e2 x cos 3x}x  R63{e 4 x , e6 x , e7 x }, x  R74{sin 2 x, cos 2 x, 1}, x  R8{chx , shx,1}, x  R{1, e 2 x , xe 2 x }, x  R ,{1, x, sin x, cos x}, x  R{1, ln 2 x, ln x3},x  (0,)12Вычислить определитель Вронского для системы функций в точке x0 .№№13{e x , e 2 x , e3 x } ,{1, tgx, ctgx} , x0  4x0  ln 22{x, sin x, cos x} ,x0 4{sin x, cos x, sin 2 x, cos 2 x},x0 32№6.

Решить матричное уравнение. Сделать проверку.123 1  12  ,1 2 B  11 1 0XA  B , где A  21B  1 341  2 ,XA  B , где A  34 8  6B   2 4  92 6AX  B , где A  05 1  1 ,23 0 1 3B  120AX  B , где A  XA  B , где 5A 1 58B   5 21  3  221 3 09 015 0  1  1AXC  B , где A  021 2 1 2C   , B   1  13 43Для решения целого ряда экономических задач широко используетсяматериал разделов «Алгебра матриц», «Решение матричных уравнений».Приведем примеры таких задач (№7 – №12).13№7. Предприятие выпускает продукцию трех видов ( = 1, 2,3), используяпри этом два вида сырья (j = 1, 2).

Пусть нормы расхода сырья характери- 2 6зуются матрицей c элементами aij : A   8 4  . Стоимость единицы10 2  4каждого типа сырья задается матрицей P    , план выпуска продук8ции — матрицей = (100 200 300). Определить затраты и общую стоимость сырья, необходимые для данного планового выпуска продукции.Указание. Затраты сырья находят по формуле = .

Общую стоимость сырья вычисляют по формуле = .№8. Завод изготавливает продукцию четырех типов, используя при этомдва вида ресурсов. Нормы затрат ресурсов характеризуются матрицей4A  8T3 . Стоимость единицы каждого типа ресурса зада6 4 9  5P    , план выпуска продукции — матрицейется матрицей 3B  100 80 230 150 . Определить затраты и общую стоимость ресур6 10сов, необходимые для данного планового выпуска продукции.Задачи №9 и №10 – задачи на использование математической модели межотраслевого баланса В.В. Леонтьева.№9. В следующей таблице представлен балансовый отчет для двухотраслевой модели экономики.ОтрасльЭнергетикаМашиностроениеПотребление продукцииЭнергетикаМашиностроениеx11 = 100x12 =160x21 =275x22 =40Валовой выпускX1 =500X2 =400Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли 200  .X , обеспечивающий вектор выпуска конечной продукции Y  10014A  aij ,Указание. Составить матрицу прямых затратaij xijxjгде.

Необходимый объем валового выпуска X является реше-нием матричного уравнения( E  A)  X  Y . Отметим, что матрицаполных затрат — это матрица S  ( E  A) 1 .№10. В следующей таблице представлен балансовый отчет для трехотраслевой модели экономики.Отрасль1123Потребление продукции2x11 = 79x21 =237x31 =158x12 =106x22 =212x32 =533Валовойвыпускx13 =300x23 =75x33 =150X1 =790X2 =530X2 =750Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отраслиX, 300 обеспечивающий вектор выпуска конечной продукции Y   100  . 400 Задачи №11 и №12 – задачи на использование математической модели международной торговли.№11.

Структурная матрица торговли двух стран имеет вид1A2 1223  . Найти отношение национальных доходов S : S двух1213стран, чтобы торговля была сбалансированной. a1 Указание. Решить матричное уравнение AX  X , где X    . a2 Сбалансированность торговли двух стран достигается, если(условие сбалансированности международной торговли).S1a 1S2a215№12. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид1 1 143211A0 .Найти отношение национальных4 31 1 12 3 2S1 : S 2 : S3 трех стран для сбалансированной торговли.доходовУказание. Вектор национальных доходов S  ( S1, S2 , S3 ) долженбыть пропорционален решению матричного уравнения AX  X , гдеTX  a1 a2 a3 T .№13.

Решить систему двумя способами: по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы.1 x  2 y  33 x  5 у  1332 x1  5 x2  x3  22 x1  x2  4 x3  10 x  3x  6 1342 x1  x2  52 x1  3x3  165 x  x  10 2 3 x1  5 x2  x3  42 x1  x2  4 x3  1 x  3x  8 13№14. Решить однородную систему линейных уравнений методом Гаусса.Сделать проверку.15 x  2 y  015 x  6 у  032 x1  x2  02 x1  3x3  04 x  x  x  0 1 2 3162 x1  5 x2  x3  02 x1  5 x2  4 x3  0 3 x  3 x  01342 x1  x2  x3  3 x4  04 x  x  2 x  x  0 1 2346 x1  x2  3 x3  x4  02 x1  2 x2  x3  12 x4  0№15.

Решить неоднородную систему линейных уравнений методом Гаусса, выделить структуру общего решения системы. Сделать проверку.125 x  2 y  415 x  6 у  12 x1  2 x2  2 x3  3x4  04 x1  7 x2  3x3  7 x4  12 x  3x  x  x  1 1234342 x1  x2  3 x3  5 x4  1x  x  5x  2 1 233 x1  2 x2  2 x3  5 x4  37 x1  5 x2  9 x3  10 x4  8 x1  2 x2  3x3  4 x4  5 x5  9 x2  x4  x5  2Задачи по теме «Скалярное, векторноеи смешанное произведения. Прямая и плоскость»№1. Доказать, что четырехугольник с вершинами A(2,1,4) , B(1,3,5) ,C (7,2,3) , D(8,0,6) является параллелограммом. Найти длины его сторон. Найти внутренний угол при вершине D.№2. Даны вершины треугольника ABC : A(2,3,1) , B(1,2,0) ,C (3,2,2) .

Найти внутренние углы треугольника и длины его сторон.Найти внешний угол треугольника при вершине А.№3. Даны вершины треугольника ABC : A(2,3,1) , B(1,2,0) ,C (3,2,2) . Найти площадь треугольника ABC . Найти высоту, опущенную из вершины А на ВС.  №4. Коллинеарны ли векторыи, построенные нас2abd2b4aвекторах a (1,2,5) и b (3,1,0) ?№5. Установить, будутли векторы компланарными:   a  2i  j  k ; b  i  2 j  3k ; c  14i  13 j  7k .17№6. Определить¸ при каких  ,  векторы a  (3,5,  ) и b  (2,  ,4)коллинеарны.№7.