Методическое пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИМОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТЕ.Н. Гущина Е.Ю. КузнецоваТ.А. МорозоваО.А. МалыгинаЛ.И. ТалановаРедактор: Н.С. ЧекалкинАлгебра и геометрия1 семестрМетодическое пособиеДля студентов очной формы обученияинститутов ИТ и РТС, Физико-технологического институтаМоскваМИРЭА2016УДК 512+514ББК 22.14+22.15А-45Утверждено редакционно-издательским советом Московского технологического университета в качестве методического пособия для студентовПодготовлено на кафедре Высшей математики -2Рецензенты:Бобылева Т.Н., к.ф.-м.н.Параскевопуло О.Р., к.ф.-м.н.Редактор: Чекалкин Н.С.Гущина Е.Н., Кузнецова Е.Ю., Морозова Т.А., Малыгина О.А., ТалановаЛ.И.Алгебра и геометрия, 1 семестр: методическое пособие /ГущинаЕ.Н., Кузнецова Е.Ю., Морозова Т.А., Малыгина О.А., Таланова Л.И.М.: МИРЭА, 2016, 43 с.Методическое пособие предназначается для студентов очной формыобучения институтов ИТ, РТС и Физико-технологического института.

Пособие включает следующие разделы: алгебра матриц, системы линейныхуравнений, аналитическая геометрия. Представленный материал используется при изучении курса алгебры и геометрии (2-ой семестр), курсов математического анализа, дифференциальных уравнений, теории случайныхпроцессов, радиотехники, физики и др.© Гущина Е.Н. Кузнецова Е.Ю. Морозова Т.А.

Малыгина О.А. ТалановаЛ.И., 2016© МИРЭА, 20163ОглавлениеВведение ............................................................................................................... 4Методические указания ...................................................................................... 4Часть 1. Основные типы задач для подготовки к контрольным работам иэкзамену (зачету) ..............................................................................................

10Часть 2. Типовой расчет ................................................................................... 23Заключение ........................................................................................................ 434ВведениеДанное пособие разработано коллективом преподавателей кафедрывысшей математики-2 Московского технологического университета (МИРЭА) для студентов очной формы обучения институтов РТС, Информационных технологий и Физико-технологического института. Пособие содержит задачи для подготовки к контрольным работам и экзамену (зачету),список теоретических вопросов для подготовки к сдаче экзамена (зачета),перечень рекомендуемой литературы, типовые варианты контрольных работ по курсу, образец экзаменационного (зачетного) билета, типовой расчет.Пособие состоит из двух частей.

Часть 1 – это основные типы задачдля подготовки к контрольным работам, экзамену (зачету). Для успешногоовладения материалом рекомендуется прорешать все задачи первой части.Часть 2 – типовой расчет, каждый студент выполняет свой вариантзадачи из второй части. Задания второй части также используются дляподготовки к контрольным работам и экзамену (зачету).В данном пособии представлены, во-первых, традиционные задачиалгебры и геометрии (1-ой семестр). Для этих задач выделены уровнисложности: стандартные задачи и задачи повышенной трудности (дляуглубленного изучения материала).

Во-вторых, введены задачи прикладного характера, возникающие в специальных дисциплинах, например, в электротехнике, теоретической механике, физике. Здесь же есть задачи, встречающиеся в курсе дифференциальных уравнений. Решение подобных задач раскрывает взаимосвязи курса алгебры и геометрии с дифференциальными уравнениями, с электротехникой, физикой, механикой.На основе материала курса алгебры и геометрии 1-го семестра строится алгебра и геометрия 2-го семестра.Методические указанияСодержание курса «Алгебра и геометрия» (1-ый семестр) включаетследующие разделы: алгебра матриц (действия с матрицами, определительматрицы и его вычисление, обратная матрица, критерий существованияобратной матрицы, вычисление); методы решения систем линейных уравнений (метод Крамера, использование обратной матрицы, метод Гаусса),применение при решении прикладных задач; геометрические векторы(действия с векторами, скалярное, векторное и смешенное произведениявекторов, их свойства, использование при решении геометрических задач и5других прикладных задач); уравнение прямой и плоскости; взаимное расположение прямых, плоскостей, прямой и плоскости; кривые и поверхности второго порядка.От студента требуется успешное овладение материалом по указанным темам, т.е.

необходимо знать определения понятий, формулировки идоказательства основных теорем курса. Студент также должен продемонстрировать умение решать типовые задачи данного курса.В течение семестра по курсу алгебры и геометрии проводятся двеконтрольные работы и выполняется типовой расчет.Контрольная работа №1 проводится по теме «Алгебра матриц.Решение систем линейных уравнений».Примерный вариант контрольной работы №11.

Вычислить определитель матрицы:2. Решить матричное уравнение:121 02301341274312 1 X   3  1 . Сделать про31верку.3. Решить систему уравнений двумя способами: методом Крамера и с по-мощью обратной матрицы: x1  2 x2  3x3  02 x1  x2  4 x3  5 .3x  x  x  2 1 2 34. Найти общее решение линейной однородной системы уравнений мето-дом Гаусса. x1  3x2  x3  2 x4  02 x1  5 x2  4 x3  3x5  0 x  2 x  3x  2 x  3x  0 1234565. Найти общее решение линейной неоднородной системы уравнений ме-тодом Гаусса.3x1  5 x2  2 x3  4 x4  27 x1  4 x2  x3  3x4  5x  7 x  4x  6x  3 1234Контрольная работа №2 проводится по теме «Скалярное, векторное и смешанное произведение. Прямая и плоскость».Примерный вариант контрольной работы №21.

Даны точки A( 1; 0;-1), B( 0; 2;-3), C( 2; 4; -2), D(-2; 6; 2). Найти:- величину внутреннего угла при вершине А в треугольнике ABC;- длину медианы треугольника ABC, проведенной из вершины С;- площадь треугольника ABC;- объем тетраэдра DABC.   2. Вычислить угол между векторами а  p  2q , b  3 p  q , если p  1, q  3 ,  p, q    / 6 .3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A( -2; 7; 3) иВ(1; -2; 8) перпендикулярно плоскости 7 x  3 y  2 z  10  0 .4. Cоставить уравнение прямой, проходящей через точку А(-4; -7; 1) параллельно прямой2 x  3 y  z  6  0.4x5yz205.

Найти точку, симметричную точке М( -3; 1; -9) относительно плоскости4x  3 y  z  7  0 .Замечание: по усмотрению преподавателя количество задач контрольных работ может быть изменено.Типовой расчет выполняется каждым студентом в отдельной тетради в соответствии с назначенным ему номером варианта. Студент пишетподробное решение каждой задачи, объясняет решения задач преподавателю, отвечает на вопросы. Наличие выполненного типовогорасчета является обязательным условием допуска студента на экзаменили зачет.По итогам обучения на основе учебного плана проводится экзаменили зачет по данному курсу.7Примерный вариант экзаменационного (или зачетного) билета1 2   1 2 5 .

Сде , B  143131. Решить уравнение AX  B , где A  лать проверку.3 x  2 y  3двумя способами: с помощью2xу12. Решить систему уравнений обратной матрицы и методом Крамера.3. Найти общее решение системы линейных уравнений, выделить частное x1  2 x2  2 x3  3x4  4решение неоднородной системы 2 x1  5 x2  x3  4 x4  9 x  3x  x  x  5 12344. Найти длину высоты пирамиды АВСD, опущенной из вершины D, еслиданы координаты вершин A(1,2,-1), B(5,5,1), C(3,8,-3), D(6,8,1).5.

Даны вершины треугольника АВС: A(1,2,-1), B(5,5,1), C(3,8,-3). Составить каноническое и параметрическое уравнение медианы АD.6.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(2,-1,-3)перпендикулярно прямойx 1 y 1 z  3.2057. Определение гиперболы. Составить уравнение гиперболы с фокусами вточках F1(-6,0) и F2(-6,0) и эксцентриситетом равным3 . Сделать чертеж.8. Теоретический вопрос (из списка теоретических вопросов).9. Определить тип поверхности второго порядка, заданной уравнениемx 2  4 y 2  9 z 2  36  0. Привести уравнение поверхности к каноническому виду. Сделать чертеж.Замечание: по усмотрению преподавателя количество задач билетаможет быть изменено.8Теоретические вопросы по курсу1.

Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Транспонирование матриц. Основные свойства этих операций.2. Определители 2-го и 3-го порядка. Правило Саррюса. Миноры иалгебраические дополнения. Определение определителей n-го порядка.Основные свойства определителей.3. Обратная матрица, определение, основные свойства. Критерийсуществования обратной матрицы.

Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.4. Решение матричных уравнений и систем линейных уравнений спомощью обратной матрицы.5. Понятие ранга матрицы. Элементарные преобразования матриц.Сохранение ранга матриц при элементарных преобразованиях.6. Основные понятия теории систем линейных уравнений. Системыоднородные и неоднородные, совместные и несовместные, определенные инеопределенные. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.7. Теорема Кронекера-Капелли.

Теорема о существовании нетривиального решения однородной системы. Фундаментальная система решений. Общее решение системы линейных уравнений.8. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамна плоскости и по трем некомпланарным векторам в пространстве. Понятие базиса.9. Скалярное произведение векторов, свойства, координатное выражение.10. Векторное произведение векторов. Геометрические и алгебраические свойства векторного произведения, его координатное выражение.11. Смешанное произведение векторов. Геометрические и алгебраические свойства смешанного произведения, его координатное выражение.12.

Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, каноническое и параметрические уравнения.Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости дляразличных видов уравнений.13. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящейчерез заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Взаимноерасположение двух плоскостей. Угол между плоскостями.14. Каноническое уравнение прямой.