Экзаменационные вопросы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия (Экзаменационные вопросы)

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО КУРСУ”ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ”1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.Матрицы. Операции над матрицами.Определитель матрицы и его свойства. Вычисление определителя матрицы.Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы.Построение обратной матрицы.Линейная независимость строк и столбцов матрицы. Ранг матрицы. Неизменность ранга приэлементарных преобразованиях матрицы.

Ранг ступенчатой матрицы. Метод окаймляющих миноров.Вычисление ранга матрицы с помощью алгоритма Гаусса. Теорема о базисном миноре.Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения. Матричный способ решения.Теорема Крамера, формулы Крамера. Метод Гаусса.Совместность системы линейных алгебраических уравнений (теорема Кронекера-Капелли).Однородные системы линейных уравнений. Свойства решений.

Структура общего решенияоднородной системы. Фундаментальная система решений.Структура общего решения неоднородной системы.Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства. Линейная зависимость и линейнаянезависимость векторов. Базис, разложение вектора по базису.Системы координат. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме.Деление отрезка в заданном отношении.Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.

Выражение скалярногопроизведения через координаты векторов в ортонормированном базисе. Длина вектора. Угол междувекторами.Условие ортогональности векторов. Направляющие косинусы вектора. Проекция вектора на заданноенаправление.Векторное произведение и его свойства. Выражение векторного произведения через координатывекторов в ортонормированном базисе. Площадь параллелограмма и треугольника. Условиеколлинеарности векторов.Смешанное произведение векторов и его свойства.

Выражение смешанного произведения черезкоординаты векторов в ортонормированном базисе. Объемы параллелепипеда и пирамиды. Условиекомпланарности векторов.Понятие об уравнениях линий и поверхностей. Алгебраические линии и поверхности.Плоскость в пространстве. Векторное, общее, нормальное уравнения плоскости. Взаимноерасположение плоскостей.Прямая в плоскости и в пространстве. Векторное уравнение, параметрические и каноническиеуравнения прямых.

Взаимное расположение прямых, прямых и плоскостей.Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в пространстве. Расстояние от точки допрямой в пространстве.Кривые второго порядка. Окружность, эллипс, гипербола, парабола. Приведение общего уравнениялинии второго порядка к каноническому виду. Оптические свойства эллипса гиперболы и параболы.Поверхности второго порядка. Канонические уравнения и основные свойства. Поверхности вращения.Цилиндрические поверхности. Конус.Основные определения и понятия, аксиомы линейного пространства. Компоненты вектора. Линейныеоперации над векторами. Условие линейной независимости системы векторов.Базис и размерность линейного пространства.

Разложение вектора по базису. Линейная оболочкавекторов.Замена базиса линейного пространства. Матрица перехода.Евклидово пространство. Примеры евклидовых пространств. Неравенство Коши-Буняковского. Нормавектора. Угол между векторами. Ортогональность векторов.Существование ортонормированного базиса. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. Заменаортонормированного базиса. Ортогональные матрицы и их свойства.Линейные преобразования. Линейный оператор.

Матрица линейного преобразования. Изменениематрицы линейного преобразования при замене базиса.Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования. Матрица линейногопреобразования в базисе из собственных векторов.Квадратичные формы. Матричная запись. Изменение матрицы квадратичной формы при заменебазиса.

Классификация квадратичных форм. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.Критерий Сильвестра.Приведение уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду на основетеории квадратичных форм..