Раздаточный материал по ДПФ-БПФ

1Дискретное преобразование ФурьеАлгоритмы прямого и обратного дискретного преобразования Фурье (ДПФили DFT):Восстановление непрерывного сигнала по отсчетам дискретного спектраМатрица ДПФ ADFT:y = ADFT xБПФ с прореживанием по времениВыделяем четные и нечетные отсчеты сигнала x(m):y(m) = x(2m), z(m) = x(2m+1),2Для n ≥ N/2 учитываем периодичность экспоненты ej2 m  N  n N /2 2ej2 mnN /2БПФ с прореживанием по частотеРазделим входную последовательность {x(m)} на первую и вторуюполовины и запишем выражение для БПФ в виде двух сумм:Из второй суммы выделим множительравный 1 и для четных (n = 2k) и (–1) для нечетных (n = 2k+1) отсчетов спектра.Четные и нечетные отсчеты спектра представляют собой N/2–точечныеДПФ:3Полный граф 8-точечного БПФ с прореживанием по частоте и замещением4Количество итераций, необходимых для вычисления N-точечного БПФ пооснованию 2, равно Nит = log2 NПолный граф 32-точечного БПФ с прореживанием по частоте и замещениемАлгоритм работы БПФ с прореживанием по частоте можно записатьследующим образом:5 i 1N ii XkXkXk 2m;mm2Mi  X i 1  k    X i  k   X i  k  Nmm 2 m 12M ii  0, 2,...,log 2 N  1;m  0,1,..., M i  1;Nk  0,1,..., 1,2Mi M  2M ; ( M  1)i0 i 1 k  WN ;где i – номер итерации,Mi – количество групп отсчетов на i-ой итерации,m – номер группы отсчетов внутри итерации,k – номер отсчета внутри группы,WNk  cos(2k / N )  j sin(2k / N ) - комплексные весовые коэффициенты.Весовая обработка, существенно снижающая уровень боковых лепестковAЧХ каждого спектрального канала ДПФ (БПФ), то есть просачивание сигналаодного канала в соседние, выполняется по алгоритмуX (n)  Z (n) *V (n) , n = 0, 1, … N-1,где Z(n) - n-ый отсчет исходной последовательности,V(n) - весовая функция «окна»,X(n) - n-ый отсчет «взвешенной» последовательности,N - количество точек сходного массиваБПФ по основанию 4 и 86ОснованиеЧислоумноженийв базовыхоперацияхЧислосложений вбазовыхоперациях2124388924Число умножений вБПФNlog 2 N23N3Nlog 4 N log 2 N489N3Nlog8 N log 2 N88Числосложений вБПФN log 2 NN log 2 NN log 2 NБазовая операция БПФ по основанию 4 с прореживанием по частоте16-точечного БПФ по основанию 4 с прореживанием по частоте и замещениемИмпульсная и частотная характеристики одного канала ДПФ (БПФ)7Импульсная характеристика канала БПФКомплексная частотная характеристика канала БПФАЧХ канала БПФ,АЧХ соседних (3-го и 4-го) частотных каналов БПФ, N=88Растекание спектра (spectrum leakage)Найдем спектр отрезка гармонического сигналаВесовые функции (weighting functions) – окна (windows)ДПФ с весовой функцией:Умножение сигнала x(k) на w(k) соответствует свертке их спектров.Частотные характеристики каналов ДПФ с учетом взвешивания окном w(k)Для работы с окнами в Matlab имеется GUI Window Design and Analysis Tool.Вызов GUI выполняется командой wintool.9Оконные функцииБартлетаbartlettДля нечетных nдля четных nТреугольноеtriangдля нечетных nдля четных nКосинусные k 1 k 1 k 1 k 1w[k ]  a0  a1 cos  2  a2 cos  4  a3 cos  6  a4 cos  8 n 1 n 1 n 1 n 1ОкноХанна hannХэмминга hammingБлэкмана blackmanБлэкмана-Харриса blackmanharrisНатолла nuttallwinС плоской вершиной flattopwinБартлета-Ханнаa00,50,540,420,358750,36358190,2156barthannwina1-0,5-0,46-0,5-0,48829-0,4891775-0,416a2000,080,141280,13659950,2781a3000-0,01168-0,0106411-0,08360000a40,006910БоменаbohmanwinКайзераkaiser2 2kn1I0   1    n 1  w[k ] , k  1, 2,..., n ,  = 4,…, 9 – параметр окнаI0 ПарзенаПрямоугольноеw[k ]  1Чебышеваparzenwinrectwinchebwin cos   n  1 arccos   cos   ä1w[k ]  F  S () ; S () ch  (n  1) arch()      , где 20 arch(10 )   ch  ,  - требуемый уровень подавления боковых лепестков [дБ]n1Гауссово gausswin 1  k  1  N 2 2 w  k   exp      2N 2 Тьюкиtukeywin– прямоугольник с косинусоидально сглаженныеми краями; параметр r –определяет ширину зоны сглаживания (r = 0 – прямоугольное окно,r =1 – окно Ханна)1112Спектры случайных процессовУсредненный (по ансамблю реализаций) спектр мощности:так как, то– дискретный аналог теоремы Винера-Хинчина.Непараметрические методы вычисления спектров случайных процессов.1.

Периодограмма (periodogram) – оценка СПМ по N отсчетам однойреализации:Модифицированная периодограмма (с учетом весовой обработки):2.Метод Уэлча (Welch) – усреднение модифицированных периодограмм1. Вектор отсчетов сигнала делится на перекрывающиеся сегменты. Как правило, напрактике используется перекрытие на 50%. Степень перекрытия зависит отиспользуемой весовой функции.2. Каждый сегмент умножается на используемую весовую функцию.3. Для взвешенных сегментов вычисляются модифицированные периодограммы.4.

Периодограммы всех сегментов усредняются..