1612725411-abf093c222dc0dab2f6461fa5dfb8b30 (2020 - Вопросы к экзамену)

ÂÎÏÐÎÑÛïî êóðñó ¾Ìåòîäû âû÷èñëåíèé¿VI ñåìåñòð îáó÷åíèÿ ÌÌÔ ÍÃÓ1. Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ñ âåñàìè äëÿ ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷èut = ν uxx + f,0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ T,u(0, t) = µ0 (t), u(l, t) = µl (t),u(x, 0) = u0 (x).Óñëîâèå, ïðè êîòîðîì ýòà ñõåìà èìååò ïîâûøåííûé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè.2. Èñïîëüçîâàíèå ïðèíöèïà ìàêñèìóìà äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ÿâíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû äëÿ êðàåâîé çàäà÷èut = ν uxx + f,u(0, t) = µ0 (t),u(x, 0) = u0 (x)0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ T,u(l, t) = µl (t),â ëîêàëüíîé (ðàâíîìåðíîé) ñåòî÷íîé íîðìå.3. Óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíîé çàäà÷è ïî íà÷àëüíûì äàííûì. Íåîáõîäèìîåñïåêòðàëüíîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè ôîí Íåéìàíà.4.

Óñòîé÷èâîñòü ïî íà÷àëüíûì äàííûì â ñåòî÷íîé íîðìå L2 ðàçíîñòíîéñõåìû ñ âåñàìèyjn+1 − yjnn+1n= νΛ σyj + (1 − σ) yj ,τny0n = yN= 0, yj0 = u0j , Λy = yxxäëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷èut = ν uxx ,0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ T,u(0, t) = u(l, t) = 0,u(x, 0) = u0 (x)(ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ñ ïðåäñòàâëåíèåì ðåøåíèÿ â âèäå êîíå÷íîãî ðÿäà Ôóðüå.)5. Èññëåäîâàíèå ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ óñòîé÷èâîñòè ïî ïðàâîé÷àñòè ðàçíîñòíîé ñõåìûyjn+1 − yjnn+1n− νΛ σyj + (1 − σ) yj = ϕnj ,τny0n = yN= 0, yj0 = 0, Λy = yxxäëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷èut = ν uxx + f,0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ T,u(0, t) = u(l, t) = 0,u(x, 0) = 0.6.

Êàíîíè÷åñêàÿ ôîðìà äâóõñëîéíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû. Ïîíÿòèå êîððåêòíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû. Îïåðàòîðû ïåðåõîäà. Ðàâíîìåðíàÿ óñòîé÷èâîñòüïî íà÷àëüíûì äàííûì. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ðàâíîìåðíîéóñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû Byt + Ayn = ϕn ïî íà÷àëüíûì äàííûì.7. Äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ðàâíîìåðíîé óñòîé÷èâîñòè äâóõñëîéíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû ïî íà÷àëüíûì äàííûì. Óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ èç óñòîé÷èâîñòè ñõåìû Byt + Ayn = ϕn ïî íà÷àëüíûì äàííûì ñëåäóåò ðàâíîìåðíàÿóñòîé÷èâîñòü ïî íà÷àëüíûì äàííûì.8. Ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé çàäà÷è Byt + Ayn = ϕn (y0 çàäàíî) ÷åðåç îïåðàòîðû ïåðåõîäà ñî ñëîÿ k íà ñëîé n. Äîñòàòî÷íîå óñëîâèåóñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû ïî íà÷àëüíûì äàííûì è ïðàâîé ÷àñòè.Óñòîé÷èâîñòü ïî íà÷àëüíûì äàííûì äëÿ ñõåìû ñ ïîñòîÿííûìè îïåðàòîðàìè, êàê íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè ïî ïðàâîé÷àñòè.9.

Ýíåðãåòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî HA. Óñòîé÷èâîñòü äâóõñëîéíîé ðàçíîñòíîéñõåìû ïî íà÷àëüíûì äàííûì â HA ñ ïîñòîÿííîé ρ. Íåðàâåíñòâà ìåæäóîïåðàòîðàìè äâóõñëîéíîé ñõåìû, âûïîëíåíèå êîòîðûõ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî äëÿ óñòîé÷èâîñòè ñõåìû ïî íà÷àëüíûì äàííûì â HA (ìåòîäîïåðàòîðíûõ íåðàâåíñòâ).10. Óñòîé÷èâîñòü äâóõñëîéíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû ïî íà÷àëüíûì äàííûì ñ ïîñòîÿííîé ρ â ïðîèçâîëüíûõ ýíåðãåòè÷åñêèõ íîðìàõ (ìåòîä îïåðàòîðíûõíåðàâåíñòâ).11.

Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû ñâåñàìèyt + A σy n+1 + (1 − σ) y n = 0,ãäå A = A∗ > 0 ëèíåéíûé ïîñòîÿííûé îïåðàòîð.12. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû ñâåñàìèyt + A σy n+1 + (1 − σ) y n = 0,Ay = −ν yxx .Óñòîé÷èâîñòü â ëîêàëüíîé (ðàâíîìåðíîé) ñåòî÷íîé íîðìå.13.

Êîíñåðâàòèâíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè ut = ν(x, t) ux)x + f (x, t). Èíòåãðî-èíòåðïîëÿöèîííûé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ êîíñåðâàòèâíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû.14. Î âîçìîæíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ðàçíîñòíîé ñõåìû, ïîñòðîåííîé äëÿ íåäèâåðãåíòíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ut = ν uxx + νxux â ñëó÷àåðàçðûâíîãî êîýôôèöèåíòà ν .15. Îöåíêà óñòîé÷èâîñòè êîíñåðâàòèâíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû äëÿ óðàâíåíèÿòåïëîïðîâîäíîñòè ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìèyt + A σy n+1 + (1 − σ) y n = ϕn ,(Ay)j = −(aj yx )x,j ,aj = νj−1/2 ,ν = ν(x),0 < C1 ≤ ν(x) ≤ C2 .16. Ðàçíîñòíûå ñõåìû Ðè÷àðäñîíà è Äþôîðòà-Ôðàíêåëà äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ut = ν uxx.17.

ßâíàÿ äâóõñëîéíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèut = ν uxx . Óñëîâèå Êóðàíòà, Ôðèäðèõñà è Ëåâè, íåîáõîäèìîå äëÿ å¼ñõîäèìîñòè.18. ßâíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà äëÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè.ż àïïðîêñèìàöèÿ è ñïåêòðàëüíûé àíàëèç óñòîé÷èâîñòè.19. Èñïîëüçîâàíèå ïðèíöèïà ìàêñèìóìà äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ÿâíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷èut = ν uxx + uyy + f (x, y, t),u(x, y, 0) = ϕ(x, y), u = µΓâ ëîêàëüíîé (ðàâíîìåðíîé) ñåòî÷íîé íîðìå.20.

Èñïîëüçîâàíèå ìåòîäà ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ è ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèÿâ âèäå êîíå÷íîãî ðÿäà Ôóðüå äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ÿâíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷èut = ν uxx + uyy + f (x, y, t),u(x, y, 0) = ϕ(x, y), u = 0Γâ ñðåäíåêâàäðàòè÷íîé ñåòî÷íîé íîðìå (áåç âûâîäà ñâîéñòâ ðàçíîñòíîãîîïåðàòîðà Ëàïëàñà).21. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðàËàïëàñà, èõ ñâîéñòâà (ñëó÷àé îäíîðîäíûõ êðàåâûõ óñëîâèé). Êîíå÷íûåðÿäû Ôóðüå.22. Ñâîéñòâà ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà Ëàïëàñà (ñëó÷àé îäíîðîäíûõ êðàåâûõóñëîâèé). Èñïîëüçîâàíèå îáùåé òåîðèè óñòîé÷èâîñòè ïðè àíàëèçå óñòîé÷èâîñòè ñõåìû ñ âåñàìèut + Aσun+1j+ (1 −σ) unj= 0,Ay = −uxx − uyyäëÿ óðàâíåíèÿ ut = uxx + uyy .23.

Ïîíÿòèå ýêîíîìè÷íîé ðàçíîñòíîé ñõåìû. Ìåòîä ìàòðè÷íîé ïðîãîíêè ðåàëèçàöèè íåÿâíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû äëÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè.24. Ïîíÿòèå ýêîíîìè÷íîé ðàçíîñòíîé ñõåìû. Ñõåìà ïåðåìåííûõ íàïðàâëåíèé äëÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè.25. Ïîíÿòèå ýêîíîìè÷íîé ðàçíîñòíîé ñõåìû. Ñõåìà ðàñùåïëåíèÿ Í.Í. ßíåíêî äëÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè. Ñõåìà ðàñùåïëåíèÿ ñâåñàìè.26. Ïîíÿòèå ýêîíîìè÷íîé ðàçíîñòíîé ñõåìû. Ñõåìà ñòàáèëèçèðóþùåé ïîïðàâêè äëÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè. Ñõåìà ñòàáèëèçèðóþùåé ïîïðàâêè ñ âåñàìè.27. Ïîíÿòèå ýêîíîìè÷íîé ðàçíîñòíîé ñõåìû. Ìåòîä ïðèáëèæ¼ííîé ôàêòîðèçàöèè ïîñòðîåíèÿ óñòîé÷èâûõ ýêîíîìè÷íûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì.

Îáùèéñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ñõåì ïðèáëèæ¼ííîé ôàêòîðèçàöèè.28. Ïîíÿòèå ýêîíîìè÷íîé ðàçíîñòíîé ñõåìû. Ïðèìåðû ðàçíîñòíûõ ñõåì ïðèáëèæ¼ííîé ôàêòîðèçàöèè äëÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèut = uxx + uyy .29. Òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ ïðîñòåéøåãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà ut + a ux = 0. Êîððåêòíàÿ ïîñòàíîâêà íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷èäëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ.30. ßâíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ñ íàïðàâëåííûìè ïðîòèâ ïîòîêà ðàçíîñòÿìè äëÿðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøèut + a ux = f,−∞ < x < ∞, 0 ≤ t ≤ T,u(x, 0) = ϕ(x).ż àïïðîêñèìàöèÿ, íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè.31. Óñëîâèå Êóðàíòà, Ôðèäðèõñà è Ëåâè, íåîáõîäèìîå äëÿ ñõîäèìîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû.

Åãî èñïîëüçîâàíèå äëÿ èññëåäîâàíèÿ ÿâíîé ñõåìû ñ íàïðàâëåííûìè ïðîòèâ ïîòîêà ðàçíîñòÿìè äëÿ çàäà÷è Êîøèut + a ux = f,−∞ < x < ∞, 0 ≤ t ≤ T,u(x, 0) = ϕ(x).32. Ïîíÿòèå äèôôåðåíöèàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ ðàçíîñòíîé ñõåìû. Äèôôåðåíöèàëüíîå ïðèáëèæåíèå ñõåìû ñ íàïðàâëåííûìè ïðîòèâ ïîòîêà ðàçíîñòÿìè äëÿ óðàâíåíèÿ ut + a ux = 0. ×èñëåííàÿ äèññèïàöèÿ. Àïïðîêñèìàöèîííàÿ âÿçêîñòü.33. Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà Ëàêñà-Âåíäðîôôà äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøèut + a ux = 0,u(x, 0) = ϕ(x).×èñëåííàÿ äèñïåðñèÿ.−∞ < x < ∞, 0 ≤ t ≤ T,34. Ïîíÿòèå î ñâîéñòâàõ ÿâíûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì ñîõðàíåíèè ìîíîòîííîñòè ðåøåíèÿ, ìîíîòîííîñòè, íåâîçðàñòàíèè ïîëíîé âàðèàöèèäëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè−∞ < x < ∞, 0 ≤ t ≤ T,ut + a ux = 0,u(x, 0) = ϕ(x).Ôîðìóëèðîâêè òåîðåì Ñ.Ê.

Ãîäóíîâà è À. Õàðòåíà.35. Ñâîéñòâî íåâîçðàñòàíèÿ ïîëíîé âàðèàöèè ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷èÊîøè−∞ < x < ∞, 0 ≤ t ≤ T,ut + a ux = 0,u(x, 0) = ϕ(x).Òåîðåìà î äîñòàòî÷íîì óñëîâèè âûïîëíåíèÿ TVD-ñâîéñòâà äëÿ ÿâíîéñõåìû.36. TVD-ìîäèôèêàöèÿ ñõåìû Ëàêñà-Âåíäðîôôà äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøèut + a ux = 0,a > 0, −∞ < x < ∞, 0 ≤ t ≤ T,u(x, 0) = ϕ(x).37. Òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñàut + u ux = 0,−∞ < x < ∞, 0 ≤ t ≤ T,u(x, 0) = ϕ(x).Ìåõàíèçì âîçíèêíîâåíèÿ ðàçðûâîâ.38. Èíòåãðàëüíàÿ ôîðìà çàïèñè óðàâíåíèÿ Áþðãåðñà.

Óñëîâèå íà ëèíèè ðàçðûâà ðåøåíèÿ. Íåîäíîçíà÷íîñòü èíòåãðàëüíûõ ôîðì óðàâíåíèÿ Áþðãåðñà.39. Êîíñåðâàòèâíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Áþðãåðñà.40. Î âîçìîæíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ñõåìû, ïîñòðîåííîé äëÿ íåäèâåðãåíòíîãîóðàâíåíèÿ Áþðãåðñà ut + u ux = 0 â ñëó÷àå ðàçðûâíîãî ðåøåíèÿ..