1612725465-542b3179b36a4849700e0b2ecf7da111 (Хакимзянов, Черный - Методы вычислений(часть 4))

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТМеханико-математический факультетКафедра математического моделированияГ. С. Хакимзянов, С. Г. ЧерныйМЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙЧасть 4. Численные методы решения задачдля уравнений гиперболического типаУчебное пособиеНовосибирск2014ББК В22.193УДК 519.63Х 162Рецензентканд.

физ.-мат. наук А. С. ЛебедевИздание подготовлено в рамках реализации Программы развитиягосударственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Новосибирский государственный университет» на 2009–2018 годы.Х 162Хакимзянов, Г. С.Методы вычислений: В 4 ч. : учеб. пособие / Г. С.

Хакимзянов,С. Г. Черный ; Новосиб. гос. ун-т. – Новосибирск : РИЦ НГУ, 2014. –Ч. 4: Численные методы решения задач для уравнений гиперболического типа. – 207 с.ISBN 978-5-4437-0265-0Учебное пособие соответствует программе курса лекций «Методывычислений», который читается на механико-математическом факультете НГУ. В его четвертой части излагаются основы численных методов решения начально-краевых задач для уравнений гиперболического типа, формулируются задачи для семинарских занятий, приводятсяобразцы контрольных работ и заданий для практических занятий наЭВМ.Пособие предназначено для студентов и преподавателей математических специальностей высших учебных заведений.ББК В22.193УДК 519.63ISBN 978-5-4437-0265-0c Новосибирский государственный⃝университет, 2014c Г. С.

Хакимзянов,⃝С. Г. Черный, 2014ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4§ 1. Схемы для линейного уравнения переноса . . . . . . . . . . . . . .5§ 2. Свойство монотонности разностных схем . . .

. . . . . . . . . . . . 27§ 3. Построение монотонных схем на основе методадифференциального приближения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45§ 4. Схемы для нелинейного уравнения переноса . . . . . . . . . . . . 60§ 5. Схемы на адаптивной сетке для уравнения переноса . . . 82§ 6. Разностные схемы для уравнения колебаний струны . . . 95§ 7. Разностные схемы для гиперболической системыуравнений с постоянными коэффициентами . .

. . . . . . . . . . 107§ 8. Разностные схемы для системы нелинейныхуравнений мелкой воды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124§ 9. Разностные схемы для задач газовой динамики . . . . . . . . . 156§ 10. Контрольная работа по теме «Исследование разностныхсхем для уравнения переноса» . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176§ 11. Задания для лабораторной работы 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Ответы, указания, решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . 205ПредисловиеВ четвертой части пособия изложены основы численных методов решения начально-краевых задач для уравнений гиперболического типа,сформулированы задачи по этой теме для семинарских занятий, приведены задания для практических занятий на ЭВМ и пример контрольнойработы.Теоретические вопросы изложены достаточно кратко. Для более глубокого изучения рассматриваемых вопросов мы рекомендуем обратиться к учебнику С. К.

Годунова и В. С. Рябенького [5], а также к книгамГ. И. Марчука [15], А. А. Самарского [20], А. А. Самарского и А. В. Гулина [22], А. А. Самарского и Е. С. Николаева [23], Б. Л. Рождественского и Н. Н. Яненко [18] и учебным пособиям, изданным в НГУ [8, 24,29, 30]. На лекциях рассматриваются теоретические вопросы, связанныес исследованием только конечно-разностных схем. В качестве примероврассмотрены схемы для линейного уравнения переноса, нелинейногоскалярного уравнения первого порядка, уравнения второго порядка,описывающего колебания струны, линейной системы уравнений первого порядка, системы нелинейных уравнений мелкой воды и уравненийгазовой динамики.Каждый параграф сопровождается задачами, которые необходиморешить на семинарских занятиях.

Многие задачи снабжены указаниями и подробными решениями. Дополнительные материалы для семинарских занятий можно найти в задачниках [1, 7, 21].В пособии приведены примеры заданий для практических занятийв компьютерных классах, даны рекомендации по выполнению заданий,обсуждаются вопросы, связанные с разработкой программ и представлением результатов. Дополнительные задания можно взять из методических пособий [11, 14, 16].Четвертая часть пособия имеет самостоятельную сквозную нумерацию параграфов и рисунков и самостоятельный библиографическийсписок. Внутри параграфов для формул и утверждений (лемм и теорем) использована двухиндексная нумерация, например 4.2.

Ссылки наформулы, леммы, теоремы из предыдущих трех частей пособия [26–28]даются добавлением спереди к их номеру цифры 1, 2 или 3. Например, вместо «по формуле (4.2) из пособия [26]» мы пишем «по формуле(1.4.2)», вместо «по теореме 8.3 из пособия [27]» – «по теореме 2.8.3».Авторы выражают глубокую признательность рецензенту Александру Степановичу Лебедеву за ценные советы и критические замечания,которые способствовали улучшению этого учебного пособия.4§ 1.

Схемы для линейногоуравнения переноса1.1. Некоторые сведения из теории гиперболических систем.Рассмотрим задачу Коши для линейной системы дифференциальныхуравнений первого порядка∂u∂u+A= f (x, t), −∞ < x < ∞,∂t∂xu(x, 0) = u0 (x), −∞ < x < ∞.0 < t ≤ T,(1.1)Здесь u = (u1 , . . . , um )T – m-мерная вектор-функция переменных x, t,A – вещественная m × m матрица с элементами aij (x, t).Определение.

Систему уравнений (1.1) будем называть гиперболической в некоторой области переменных (x, t), если в каждой точкеэтой области собственные значения λ1 , λ2 , . . . , λm матрицы A вещественны и различны.Определение. Интегральная кривая x = xk (t) обыкновенного дифференциального уравненияdx= λk (x, t)dt(1.2)называется k-ой характеристикой системы уравнений (1.1).Предполагается, что элементы матрицы A обладают гладкостью, достаточной для того, чтобы через каждую точку плоскости (x, t) проходила единственная характеристика, отвечающая собственному значению λk . Характеристики, проведенные через точку (x, t) (t > 0)в сторону убывания времени t, пересекут ось Ox в m различных точках.

Упорядочим собственные значения гиперболической системы (1.1)(λ1 (x, t) < λ2 (x, t) < . . . < λm (x, t)) и через [xl , xr ] обозначим отрезокоси Ox, ограниченный точками пересечения этой оси с m-ой и первойхарактеристиками.Определение. Областью зависимости точки (x, t) для системыуравнений (1.1) называется множество точек верхней полуплоскости, ограниченное крайними характеристиками x = xm (t), x = x1 (t)и отрезком [xl , xr ].Область зависимости точки (x, t) изображена на рис.

1, а. Решение uсистемы (1.1) в точке (x, t) будет зависеть только от значений u0 (x) на5отрезке [xl , xr ]. Следовательно, если начальные данные вне отрезка[xl , xr ] поменять на другие, то решение в точке (x, t) не изменится.Определение. Областью влияния точки (x0 , 0) называется множество точек (x, t) верхней полуплоскости, ограниченное крайнимихарактеристиками системы (1.1), выходящими из (x0 , 0), т. е. характеристиками, соответствующими собственным значениям λ1 и λm .Область влияния точки (x0 , 0) показана на рис. 1, б. Если начальные данные изменить лишь в точке (x0 , 0), то решение гиперболическойсистемы изменится только в точках (x, t), принадлежащих области влияния точки (x0 , 0).Предположим теперь, что нам вместо задачи Коши (1.1) нужно решить начально-краевую задачу на отрезке [0, l].

Тогда в дополнениек начальным условиям необходимо задать краевые условия. Количество краевых условий на каждой из границ определяется количествомвходящих внутрь области характеристик. Например, если через левуюграницу x = 0 внутрь области входит m0 характеристик, т. е. m0 собственных значений λk положительны при x = 0, то на этой границенадо задать m0 краевых условий. Если на границе x = l количество отрицательных собственных значений равно ml и, следовательно, ровноml характеристик входит в область через правую границу, то на этойгранице необходимо задать ml краевых условий.

Поскольку собственные значения зависят от времени, то количество краевых условий накаждой из границ может меняться со временем.tt(x,t)dx λdt = m___dx___=λdt 1xldx___λdt = mdx=λdt 1___xrx(x0 ,0)абРис. 1. Характеристики системы уравнений (1.1), ограничивающиеобласти зависимости точки (x, t) (а) и влияния точки (x0 , 0) (б)6xРассмотрим теперь однородную гиперболическую систему уравнений (1.1) с постоянными коэффициентами. Для постоянной матрицы Aее собственные векторы и собственные значения являются постоянными, т.

е. не зависят от x и t.Пусть lk – k-й левый собственный вектор матрицы A, отвечающийее собственному значению λk : lk A = λk lk (k = 1, . . . , m). Умножимсистему (1.1) слева на вектор lk :lk ·∂u∂u+ lk A= 0.∂t∂xЭто уравнение можно записать в следующем виде:∂lk · u∂lk · u+ λk= 0,∂t∂xили∂sk∂sk+ λk= 0,∂t∂x(1.3)гдеsk = lk · u,k = 1, . . . m.(1.4)Решение sk (x, t) уравнения (1.3) переносится вдоль характеристикибез изменения и потому вычисляется при t > 0 по начальному значениюsk в точке пересечения k-ой характеристики с осью Ox:sk (x, t) = sk (x − λk t, 0).(1.5)Функции sk называются инвариантами Римана.1.2.