1612729154-952a0dfb94a9383d2d5175662adaa2f3 (Пример итоговой КР)
Описание файла
PDF-файл из архива "Пример итоговой КР", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "функциональный анализ" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Контрольная работа. Вариант 1.1. Пусть A: XX - линейный ограниченный оператор, X – банахово пространство.Доказать, что A замкнуткогда множество D(A) замкнуто в X .2. Пусть x l 2 : || x ||l2 1 . Доказать, что найдется последовательность {xn }l 2 такая,что || x n || 1 и { x n } сходится слабо к x в l2 .3. Доказать, что линейный оператор A , действующий на всем сепарабельномгильбертовом пространстве H , компактен, если он переводит любую слабосходящуюся последовательность в сильно сходящуюся.4. Пусть A L( X ) , где X – банахово пространство. Доказать, что если длянекоторогоC резольвента оператора R 0 ( A) есть компактный оператор, то0R ( A) есть компактный оператор для всех(A) .15. Доказать компактность оператора A L(C[0,1])s 2 t x(t ) dt.Ax ( s)0Найти R (A) ,( A) и выяснить характер спектра.Контрольная работа.
Вариант 2.1. Пусть A: HH - линейный оператор, определенный на гильбертовомпространстве H . Доказать, что A непрерывен, если он переводит любую слабосходящуюся последовательность в сильно сходящуюся.1. Пусть {xn }, { y n }, x, yH , где H ― гильбертово пространство.а) Доказать: если x nx и ynб) Привести пример : x nx , yny , то ( xn , y n )( x, y ) .y , но ( xn , y n ) не сходится к ( x, y) .3. Доказать, что последовательность непрерывных функций {x n }C[ a , b ]является равномерно ограниченной, если а) она сходится сильно; б) она сходится слабо.4. Может ли оператор A L( X ) , где X – банахово пространство, быть компактнымоператором, если || IA ||1?41e 2 s t x(t ) dt.5. Доказать компактность оператора A L(C[0,1]) Ax ( s)0Найти R (A) ,( A) и выяснить характер спектра.Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà,âàðèàíò3A ∈ L(H), ãäå H -ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, è A = A∗ .
Äîêàçàòü, ÷òîâåùåñòâåííîå ÷èñëî λ åñòü ðåãóëÿðíàÿ òî÷êà îïåðàòîðà A, åñëè Im(λI − A) = H .2. Ìîæåò ëè îïåðàòîð A ∈ L(X), X - áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, áûòü âïîëíå íåïðå1.Ïóñòüðûâíûì, åñëè3.1||I + A|| = ?5Èññëåäîâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòüà) ýëåìåíòîâ31xn = (1, 2, , 0, 0, ..., 0,, 0, 0...) (n ≥ 4),nn|{z}ñõîäèìîñòè â ïðîñòðàíñòâå c0 ;á) îïåðàòîðîâ An ∈ L(l2 ) : An xíà ñèëüíóþ è ñëàáóþn= (x1 , x2 , ..., xn , x1 , 0, 0, ...) (n ≥ 1), íà ðàâíîìåðíóþ,ñèëüíóþ è ñëàáóþ ñõîäèìîñòè.4.A ∈ L(C[0, 1])Z 1Ax(s) =s3 tx(t) dt.Äîêàçàòü êîìïàêòíîñòü îïåðàòîðà0ÍàéòèRλ (A), σ(A)è êëàññèôèöèðîâàòü òî÷êè cïåêòðà.2n, ...), âïîëíå íåïðåA : l2 −→ l2 , Ax = (x1 , x22 , ..., x2n−1 , x2nðûâíûì.
Íàéòè ñïåêòð îïåðàòîðà A è êëàññèôèöèðîâàòü òî÷êè cïåêòðà.∗. Ïóñòü ||x||l2 ≤ 1, äîêàçàòü, ÷òî â l2 íàéäåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn (n = 1, 2, ..)òàêàÿ, ÷òî ||xn || = 1 è xn ñõîäèòñÿ ê x ñëàáî â l2 .5.ßâëÿåòñÿ ëè îïåðàòîðÊîíòðîëüíàÿ ðàáîòà,âàðèàíò4xn , yn , x, y ∈ L(H), ãäå H -ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî.a) Äîêàçàòü, åñëè xn −→w x è yn −→ y , òî (xn , yn ) −→ (x, y).á) Ïðèâåñòè ïðèìåð: xn −→w x, yn −→w y , íî (xn , yn ) íå ñõîäèòñÿ ê (x, y).2. Ìîæåò ëè îïåðàòîð A ∈ L(X), X - áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, áûòü âïîëíå1.Ïóñòüðûâíûì, åñëè3.íåïðå-2||I − A|| = ?3Èññëåäîâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü11xn = (1, 2, 0, 0, ..., 0, √ , ..., √ , 0, 0...) (n ≥ 3), íà ñèëüíóþ è ñëàáóþn2nñõîäèìîñòè â ïðîñòðàíñòâå l2 ;á) îïåðàòîðîâ An ∈ L(c0 ) : An x = (2x1 , 2x2 , ..., 2xn , x1 , 0, 0, ...) (n ≥ 1), íà ðàâíîà) ýëåìåíòîâìåðíóþ, ñèëüíóþ è ñëàáóþ ñõîäèìîñòè.4.A ∈ L(C[0, 1])Äîêàçàòü êîìïàêòíîñòü îïåðàòîðàZAx(s) =1es−t x(t) dt.0ÍàéòèRλ (A), σ(A)è êëàññèôèöèðîâàòü òî÷êè cïåêòðà.2nA : l2 −→ l2 , Ax = ( x22 , 0, x44 ..., 0, x2n, ...), âïîëíå íåïðåðûâíûì.
Íàéòè ñïåêòð îïåðàòîðà A è êëàññèôèöèðîâàòü òî÷êè cïåêòðà.∗. Ïóñòü ||x||l2 ≤ 1, äîêàçàòü, ÷òî â l2 íàéäåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn (n = 1, 2, ..)òàêàÿ, ÷òî ||xn || = 1 è xn ñõîäèòñÿ ê x ñëàáî â l2 .5.ßâëÿåòñÿ ëè îïåðàòîð.
