Методические рекомендации по выполнению типового задания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФМОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ(национальный исследовательский университет)Факультет прикладной математики и физикиМЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯпо выполнению курсового проектапо курсу “Теория управления”факультет №8, 7 семестр1Текст задания1. Линеаризовать систему и построить структурную схему линеаризованной системы.а) sin x  x x  t g 2  g , опорная траектория x * (t )  n t , g * (t )  n ;б) x x n  x sin x  arctg x n   g x 2  e g ,опорная траектория x * (t )  1, g * (t )  t ln.42. Найти свободное, вынужденное движения и выходной сигнал двумя способами:- классическим- с применением преобразования Лапласа.а) x  (2  n) x  2n x  g , x (0)  n, x (0)  0 , g (t )  n e 4t , t  0 ,б) x  2n x  (n 2  1) x  g , x (0)  n, x (0)  0 , g (t )  e nt sin t , t  0 .3.

Найти свободное, вынужденное движения и выходной сигнал двумя способами:- классическим- с применением преобразования Лапласа.Исследовать устойчивость, управляемость и наблюдаемость. x1  (n  2) x1  x 2  g1 x 2  (2n  8) x1  4 x 2  g 2y  x1  2x 2 , x1 (0)  2 x 2 (0)  0g1 (t )  n, g 2 (t )  2,t  0.4. Найти ИПФ системы, описываемой дифференциальным уравнениемx ntt2  nx  g.5.

Найти ИПФ системы и ее реакцию на входное воздействие при нулевых начальныхусловиях.а) t 2 x  t x   g , g (t )  t n 1(t  5) ,б) t x  x  t 2 cos t g , g (t )  sin n t  1(t ) .26.Определитьпередаточнуюфункциюкорректирующегоконтураобеспечивающего получение системы, инвариантной к возмущениюамплитудно-фазовую характеристику W ** (i) .1(T1 s  1)(T2 s  1)(T3 s  1)gW ** (s ) , . ПостроитьxW **1ns  11s 1agn0,2s  12n0,5s  1xW **б7. Найти все положительные значения коэффициента усиления k , при которых системабудет устойчивой.

Применить- критерий Рауса-Гурвица- критерий Михайлова- критерий Найквиста-Михайловаgk(T1 s  1)(T2 s  1)(T3 s  1)xT1 nn; T2 ;10100T3 n100038. Решить задачу анализа выходных процессов в спектральной форме описания.Дано:а) система, заданная структурной схемойg1s1n 1x1n 1б) входной сигнал g ()  1() ;в) нулевые начальные условия;nг) текущее время   [0, t ] , где t     2 .10 Требуется найти выходной сигнал x () ,   [0, t ] и сравнить его с точным решением.Масштаб усечения N  2 .9. Исследовать устойчивость дискретной системы, описываемой разностным уравнениемx (k  2) 11  1  n 2 x (k  1)  x (k )  g (k ) .n4  n 2 10. Исследовать устойчивость, найти свободное движение, вынужденное движениевыходной сигнал дискретной системы двумя способами:- классическим- с помощью z - преобразованияx (k  1)  (n  2) x (k )  g (k ) ,x (0)  n, g (k )  n k .11.

Исследовать устойчивость, найти свободное движение, вынужденное движениевыходной сигнал дискретной системы двумя способами:- классическим- с помощью z - преобразованияx (k  2)  (n  5) x (k  1)  (4n  4) x (k )  g (k ) ,n x (0)    , x (1)  3, g (k )  2 .54ии12. Найти свободное движение, вынужденное движение и выходной сигнал дискретнойсистемы с помощью z - преобразованияx1 k  1  x 2 k  ,x 2 k  1   (4n  4) x1 k   (n  5) x 2 k   g (k ) ;y (k )  x1 (k )  x 2 (k ) ,n g (k )  2 .x1 (0)    , x 2 (0)  3 ;513. Записать уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова и уравнениехарактеристической функции.обобщенной14.

Для системыgW (s ) zF ()W (s )x11, T .s (Ts  1)n 1z  F ()zcbbcc  1, b  c,   b ,F ()   0,  b    b ,  c,    b .n10построить- фазовую траекторию для начальных условий x (0)  5, x (0)  5- фазовый портрет методом изоклин515. При каких значениях коэффициента усиления k система (см. задание 14), гдеW (s ) k,(T1 s  1)(T2 s  1)(T3 s  1)T1 n;10T2 n;100T3 n,1000будет абсолютно устойчивой?16. При каких значениях коэффициента усиления k в системе управления (см. задание 15)возможны автоколебания.17.

Для задачиx (t )   n x (t )  u(t ) ,n 1I 0x (0)  n  10,5 ;1 22 n u (t )  x (t ) dt  min ,найти оптимальное программное управление u * () и оптимальную траекторию x * () .18. Найти оптимальное по быстродействию управление u * () , соответствующую емутраекторию x * () системы:x1 (t )  x 2 (t )  n  10,5 ,x 2 (t )  u (t ) ,| u(t ) |  1 , 0  t  T ,и время T , затрачиваемое на переход из начального состояния x1 (0)  n , x 2 (0)  1в начало координат.6Методические указания и примеры выполненияЗадание №11.

Согласно алгоритму линеаризации (разд. 8.1) выполнить линеаризацию данного уравненияаналогично примеру 8.1.2. Согласно алгоритму построения структурной схемы построить структурную схемулинеаризованной системы аналогично примерам 1.1-1.3.Задание № 21. Решить задачи анализа выходных процессов классическим способом аналогичнопримерам 1.12,1.13.2. Решить задачи анализа выходных процессов с помощью преобразования Лапласааналогично примерам 3.9,3.11.3. Сравнить полученные результаты.Задание № 31. Решить задачи анализа выходных процессов классическим способом аналогичнопримерам 1.21,1.24.2.

Решить задачи анализа выходных процессов с помощью преобразования Лапласааналогично примеру 3.21.3. Сравнить полученные результаты.Задание № 4Найти ИПФ, следуя примеру 2.2.Задание № 5Найти ИПФ и реакцию на входные воздействия согласно примерам 2.10,2.11.Задание № 61. Найти передаточные функции от входа в виде возмущения к выходу. Для этого применитьспособы нахождения передаточных функций с несколькими входами (примеры 3.2,3.3).2. Приравнять полученные выражения к нулю. Из полученных уравнений найти выражениядля передаточных функций корректирующего звена.3. Перейти от передаточной функции к частотной характеристике и построить амплитуднофазовую характеристику (пример 3.27).Задание № 71.

Исследовать устойчивость, используя критерий Рауса-Гурвица, согласно примеру 1.38.2. Исследовать устойчивость с помощью критерия Михайлова согласно примеру 3.36.3. Исследовать устойчивость с помощью критерия Найквиста-Михайлова согласно примеру3.41.4. Сравнить полученные результаты.7Задание № 8Решить задачу анализа выходных процессов, следуя примеру 4.4.Решение в системе Mathcad 2000 (прилагается к указаниям).89Задание № 9Исследовать устойчивость, используя критерийхарактеристического уравнения, следуя примеру 5.14.устойчивостипоИсследовать устойчивость дискретной системы:11  1  n2 x(k  2)  x(k  1)   2  x(k )  g (k )n4 n Решение1)Составим и решим характеристическое уравнение:11  1  n2 2    2  0n4 n 1 1  n2D  2  2  1nn1in1,2 21 11  i2n 21 12  i2n 211 1 1  n2 1 n2  n2212224n4 2n2n2Оба СЗ по модулю меньше 1, поэтому система асимптотически устойчива.i 10корнямЗадание № 101.

Решить задачу анализа выходных процессов классическим методом, следуя примеру5.7.2. Решить задачу анализа выходных процессов с помощью Z-преобразования, следуяпримеру 6.1 .3. Исследовать устойчивость, следуя примеру 5.14.Найти свободное, вынужденное движения и выходной сигнал.x(k  1)  (n  2) x(k )  g (k )если x(0)  n , g (k )  nk .РешениеСпособ 1.I)Составим и решим характеристическое уравнение:  (n  2)  0    (n  2)xсв (k )  C1    n  2kxсв (0)  C1  nxсв (k )  n    n  2kII) x(k  1)  (n  2) x(k )  nk x(0)  0xo.o.

(k )  C1    n  2kxчастн. (k )  Ak  BA(k  1)  B  (n  2)  Ak  B   nkAk  A  B  (n  2)kA  (n  2) B  nkk  A   n  2 A   A  B   n  2 B   nk n  3 A  nn An3 A  B   n  2 B  0n n  3 B  n3nB n  3 2nnxчастн.

(k ) kn3 n  3 2xвын (k )  C1    n  2 kxвын (0)  C1 xвын (k ) n n  3n n  322nnkn3 n  3 2 0  C1    n  2kn n  3 2nnkn3 n  3 211III)x(k )  xсв (k )  xвын (k )  n    n  2 nk n  32   n  2knnkn3 n  3 2kn nnk n n  2  2 n3 n  3  n  3 2Способ 2.I)G ( z )  Z  g (k )   Z  nk  II)nz z  1 2D( z )  z   n  2 ,M ( z)  1,Dн ( z )  x0 z  nz1M ( z)W ( z) D ( z ) z   n  2Dg ( z )  g (0) 1 z   0III)Dg ( z )Dн ( z ) W ( z )G ( z ) D( z )D( z )nznzx( z ) 2z  (n  2)  z  1  z   n  2 x( z ) nzAzzzBCz  (n  2)z 1 z  1 2 z  1  z   n  22n  A  z  1  B  z   n  2   z  1  C  z   n  2 2z  1:n  C (n  3)  C z   (n  2) :n  A  n  3  A 2z  2: n  3 2n(n  3) 2  n  n(n  3)(n  4) n  3Bx( z ) 12nn  A  B  n  4  C  n  4nnn B  n  4  n  42n3 n  3B (n  4) IV)nn32 n ( n  4)(n  3) 2n n  3 2nznznznz22z  (n  2)  n  3 z  (n  2) (n  3) z  1 n  3  z  1 2xсв (k )  Z 1  xсв ( z )   n    n  2xвын (k )  Z 1  xвын ( z )  x( k )  n    n  2  kn n  3n n  322   n  2    n  2 kkknnk2(n  3) n  3nnk2(n  3) n  3k n nn    n  2   n k2 n  3  n  3 (n  3)2Задание № 111.

Решить задачу анализа выходных процессов классическим методом, следуя примеру5.6.2. Решить задачу анализа выходных процессов с помощью Z-преобразования, следуяпримеру 6.3 .3. Исследовать устойчивость, следуя примеру 5.14.Найти свободное, вынужденное движения и выходной сигнал системыx(k  2)  (n  5) x(k  1)  (4n  4) x(k )  g (k )nесли x(0)    , x(1)  3 , g (k )  2 .5РешениеСпособ 1.I)Составим и решим характеристическое уравнение: 2  (n  5)  (4n  4)  0D  (n  5) 2  4(4n  4)  n 2  10n  25  16n  16  n 2  6n  9   n  31,2 2 n  5   n  322n  21  n 122  4xсв (k )  C1 4k  C2 (n  1) knxсв (0)  C1  C2   5xсв (1)  C1 4  C2 (n  1)  3nn3 4  5  (n  1)  35C1 , C2 n3n3nn 5  (n  1)  3 k 3  4  5 xсв (k ) 4 (n  1) kn3n313II) x(k  2)  (n  5) x(k  1)  (4n  4) x(k )  2 x(0)  0 x(1)  0xo.o.

(k )  C1 4k  C2 (n  1) kxчастн. (k )  AA  (n  5) A  (4n  4) A  2A  An  5 A  4 An  4 A  223 An  2  A 3n23n22xвын (0)  C1  C2  0  C2    C13n3n2xвын (1)  4C1  (n  1)C2 03n 2 24C1  (n  1)   C1  0 3n 3n2224C1   nC1   C1 033n3n22C1  3  n    C1  33  n  36C2 3n  n  3xвын (k )  C1 4k  C2 (n  1) k III)nn 5  (n  1)  3 k 3  4  5 262x(k )  xсв (k )  xвын (k ) 4 (n  1) k 4k (n  1) k n3n33  n  33n  n  33n nn(n  1)  33 4  52  k 2 25 k  4  (n  1) 3  n  3 3nn3n  n  3  n3Способ 2.I)G ( z )  Z  g (k )  Z  2 II)142zz 1D( z )  z 2   n  5 z  (4n  4)   z  4  z   n  1  ,W ( z) M ( z)1D( z )  z  4  z   n  1 nDн ( z )  x0 z 2   n  5 z  x1 z    z 2   n  5 z  3z 5M ( z)  1, nnn z    z  3    n    5 555 Dg ( z )  0III) nnn z    z  3    n    5 512z55 x( z )  z  4  z   n  1  z  4  z   n  1  z  1nnn z    z  3    n    55zz55 ABz   n  1z4 z  4  z   n  1 nnn 5  z  3   5  n   5  5  A  z  4  B  z   n  1 z  4:nn    3    n  B  3  n55n3     n  15Bn3z  n  1:n3 4 n53  4    A  n  3  A n35nn3 4 3     n  1zz5 5xсв ( z ) n  3 z   n  1n3z4nn3 4 3     n  1 5 n 1 k 54kxсв (k )  n3n3IV)zz2zzABCz 1z4z   n  1 z  1 z  4  z   n  12  A  z  4  z   n  1   B  z  1  z   n  1   C  z  1 z  4z  1:2  3nA  A z  4:23n152  3B  n  3  B  23  n  3z  n  1:2n  n  32 z2z2zxвын ( z ) 3n z  1 3  n  3 z  4 n  n  3 z   n  1222xвын (k ) 4k  n  1 kn  n  33n 3  n  32  n  n  3 C  C  nnn  1  33 4   5  222k5 kx(k )   4   n  1 n3n  n  3 3  n  3 3n n3Задание № 121.