1612042250-4d38920b8eadcd1956f65c931e87552f (Я.В. Базайкина - Дифференциальная геометрия (программа курса))

Программа курса лекций Я.В. Базайкина"Дифференциальная геометрия", 2012. Лекция 1 (11 февраля). Плоские кривые: длина дуги, натуральный параметр, кривизна, формулыФрене, задание плоской кривой ее кривизной, примеры. Лекция 2 (18 февраля). Пространственные кривые: кривизна, кручение, формулы Френе, заданиепространственной кривой ее кривизной и кручением, примеры. Лекция 3 (25 февраля). Различные определения регулярной поверхности, длина кривой наповерхности, первая квадратичная форма. Теорема Менье, вторая квадратичная форма.

ФормулаЭйлера, главные кривизны и направления, гауссова кривизна, средняя кривизна и их геометрическийсмысл. Примеры: поверхность, заданная как график функции от двух переменных, поверхностьвращения, поверхность вращения трактриссы, ее гауссова кривизна. Лекция 4 (3 марта). Уравнения Вейнгартена, символы Кристоффеля, их выражение черезкоэффициенты первой квадратичной формы.

Деривационные уравнения, уравнения ГауссаПетерсона-Кодацци. Теорема Бонне о локальном задании поверхности первой и второйквадратичными формами (без доказательства). Лекция 5 (10 марта). Теорема Гаусса. Понятие о внутренней геометрии поверхности. Модельгеометрии Лобачевского в верхней полуплоскости, ее символы Кристоффеля, гауссова кривизна.Форма площади поверхности, понятие об ориентации.

Критические и регулярные точки отображенияповерхностей. Теорема Сарда (без доказательства). Лекция 6 (17 марта). Степень отображения регулярных поверхностей. Понятие гомотопииотображения, независимость степени отображения от гомотопии. Независимость степени от выборарегулярного значения. Лекция 7 (24 марта). Гауссово отображения. Теорема о якобиане отображения Гаусса (обратныйперенос формы площади).

Теорема о связи интеграла от гауссовой кривизны и степени отображенияГаусса. Ковариантное дифференцирование векторных полей на поверхности. Лекция 8 (31 марта). Параллельный перенос. Геодезические, локальное существованиегеодезической. Экспоненциальное отображение, его свойства. Лекция 9 (7 апреля). Лагранжиан, функционал действия, понятие вариации пути, экстремалифункционала действия. Уравнения Эйлера-Лагранжа. Геодезические как экстремали функционаловэнергии и длины. Понятие интегрируемости геодезического потока.

Примеры: геодезический потокна сфере, поверхности вращения (интеграл Клеро), плоскости Лобачевского. Лекция 10 (14 апреля). Полугеодезическая система координат. Геодезическая является кратчайшейкривой, соединяющей достаточно близкие ее точки. Лекция 11 (20 апреля). Модели геометрии Лобачевского: в пространстве Минковского, в круге, наверхней полуплоскости, связь между ними, геодезические в этих моделях. Лекция 12 (4 мая). Формула Гаусса-Бонне (доказательство локального варианта). Симплициальноеразбиение поверхности, его эйлерова характеристика.

Теорема об эйлеровой характеристикеповерхности, гомеоморфной кругу. Лекция 13 (5 мая). Формула Гаусса-Бонне (доказательство общего случая поверхности,гомеоморфной кругу). Теорема Гаусса-Бонне для замкнутой поверхности. Инвариантность эйлеровойхарактеристики. Лекция 14 (12 мая). Метод Картана, форма связности, форма кривизны поверхности. Структурныеуравнения Картана. Понятие индекса векторного поля. Лекция 15 (19 мая).

Теорема Пуанкаре, несуществование гладких ненулевых векторных полей насфере. Понятие минимальной поверхности, уравнение минимальной поверхности..