theory-rk1_1 (ответы на 30 теоретических вопросов к рк1 по матанализу и 10 теорем оформлено в пдф (список вопросов и теорем см ниже))

1) Сформулируйте определение окрестности точки x ∈ R.Окрестностью U(x) точки x называют любой интервал, содержащий эту точку;2) Сформулируйте определение ε-окрестности точки x ∈ R.ε-окрестностью точки x (при ε>0) называют интервал (x − ε, x + ε).3) Сформулируйте определение окрестности +∞.4) Сформулируйте определение окрестности −∞.Окрестностями точек −∞ и +∞ называют соответственно интервалы вида (−∞, a) и (a, +∞),где a — произвольное действительное число.5) Сформулируйте определение окрестности ∞.Бесконечность ∞ «без знака».

Окрестностью такой бесконечности называют объединениедвух бесконечных интервалов (−∞, −a) ∪ (a, +∞), где a — произвольное действительноечисло.6) Сформулируйте определение предела последовательности.Число a называется пределом последовательности {Xn}, если для любого положительного ε существует номер N = N(ε) такой, что для всех номеров n >= N выполняетсянеравенство | a−Xn | < ε. При этом пишут lim (n→∞) Хn = a.7) Сформулируйте определение сходящейся последовательности.Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Поскольку неравенство| a − Хn | < ε эквивалентно неравенству a − ε < Хn < a + ε, то все элементы сходящейсяпоследовательности за исключением конечного их числа при любом ε > 0 лежат вε-окрестности точки a.8) Сформулируйте определение ограниченной последовательности.Последовательность {Хn} называется ограниченной снизу, если существует число С1такое, что Хn >= С1 при всех n = 1, 2, . . . .Последовательность {Xn} называется ограниченной сверху, если существует число C2такое, что Xn <= C2 при всех n = 1, 2, . . .

.Последовательность {Xn}, ограниченная как сверху, так и снизу, называется ограниченной,то есть С1 <= Xn <= C2 при всех n = 1, 2, . . . .9) Сформулируйте определение монотонной последовательности.Последовательностьили возрастающая.называется монотонной, если она убывающая10) Сформулируйте определение возрастающей последовательностиПоследовательностьдля любого,называется монотонно возрастающей, если.11) Сформулируйте определение убывающей последовательности.Последовательностьлюбого,называется монотонно убывающей, если для.12) Сформулируйте определение невозрастающей последовательности.13) Сформулируйте определение неубывающей последовательности.Последовательностьявляется неубывающей или нестроговозрастающей (невозрастающей или нестрого убывающей), если для,.14) Сформулируйте определение фундаментальной последовательности.Последовательность {Хn} называется фундаментальной, если для любого ε > 0 существуетномер N = N(ε) такой, что при любых m >= N и n >= N выполняется неравенство| Xm − Xn | < ε.15) Сформулируйте критерий Коши существования предела последовательности.Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобыона была фундаментальной.16) Сформулируйте определение по Гейне предела функции.Пусть функция f(x) определена в проколотой окрестности U ̊ ( X0 ) точки X0 .

Число aназывается пределом функции f(x) при X → X0, если для любой последовательности{ Xn } точек из U ̊ ( X0 ), для которой lim(n→∞) Xn = X0 , выполняется равенствоlim(n→∞) f(Xn) = a.17) Сформулируйте определение бесконечно малой функции.Функция φ(x) называется бесконечно малой при X → X0, если lim(X→X0) φ(x) = 0.18) Сформулируйте определение бесконечно большой функции.Функция f(x), определённая в некоторой проколотой окрестности точки X0, называетсябесконечно большой при X → X0, если lim(X→X0) | f(x) | = +∞.19) Сформулируйте определение бесконечно малых функций одного порядка.Если существует конечный отличный от нуля предел lim(X→X0) (φ(x))/(ψ(x)) = C, то говорят,что φ(x) и ψ(x) являются при X → X0 бесконечно малыми одного порядка и пишутφ(x) = O(ψ(x))20) Сформулируйте определение несравнимых бесконечно малых функций.В случае C = 1, т.е.

если lim(X→X0) (φ(x))/(ψ(x)) = 1, функции φ(x) и ψ(x) называютэквивалентными бесконечно малыми и пишут φ(x) ∼ ψ(x), при X → X0.21) Сформулируйте определение эквивалентных бесконечно малых функций.Если при X →X0 не существует ни конечного, ни бесконечного предела отношения(φ(x))/(ψ(x)), то говорят, что φ(x) и ψ(x) не сравнимы при X → X0.22) Сформулируйте определение порядка малости одной функции относительно другой.Пусть φ(x) и ψ(x) бесконечно малые при X → X0. Если при некотором k бесконечно малыеφ(x) и (ψ(x))^k являются бесконечно малыми одного порядка, то говорят, что φ(x) имеетпорядок малости k по сравнению с ψ(x) при X → X0.23) Сформулируйте определение приращения функции.Приращением функции называют ∆f(x0) = f(x) − f(x0) = f(x0 + ∆x) −f(x0).24) Сформулируйте определение непрерывности функции в точке (любое).Пусть X ⊂ R, и пусть на X задана числовая функция f(x).

Эта функция называетсянепрерывной в точке x0 ∈ X, если для любого ε > 0 существует число δ = δ(ε) > 0 такое,что при всех x, | x − x0 | < δ, выполняется неравенство | f(x) − f(x0) | < ε.25) Сформулируйте определение непрерывности функции на интервале.Функцияназывается непрерывной в интервалеона непрерывна в каждой точке этого интервала., если26) Сформулируйте определение непрерывности функции на отрезке.Функцияназывается непрерывной на отрезке, если онаявляется непрерывной в интервале, непрерывной справа в точке, то естьи непрерывной слева в точке , то есть27) Сформулируйте определение точки разрыва.Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки Х0 или в проколотойокрестности этой точки. Если данная функция не является непрерывной в точке Х0, тоХ0 называется точкой разрыва функции f(x).28) Сформулируйте определение точки устранимого разрыва.Если Х0 — точка разрыва первого рода, и если f (x0 − 0) = f (x0 + 0), то такой разрывназывают устранимым.29) Сформулируйте определение точки разрыва I-го рода.Если Х0 — точка разрыва функции f(x), и существуют конечныепределы lim(Х→Х0−) f(x) = f(Х0 − 0) и lim(Х→Х0+) = f(Х0 + 0), то x0 называется точкойразрыва первого рода.30) Сформулируйте определение точки разрыва II-го рода.Функция f(x) имеет точку разрыва второго рода при Х=Х0, если покрайней мере один из односторонних пределов не существует илиравен бесконечности.Формулировки теорем1)Сформулируйте теорему об ограниченности сходящейся числовой последовательностиВсякая сходящаяся последовательность ограничена.2) Сформулируйте теорему о связи функции, ее предела и бесконечно малой.Равенство a = lim(x→x0) f(x) имеет место тогда и только тогда, когда f (x) = a + φ(x), гдефункция φ(x) бесконечно мала при X→X0.3) Сформулируйте теорему о сумме конечного числа бесконечно малых функций.Пусть функции φ1(x), ..., φn(x) бесконечно малы при x → x0.

Тогда их алгебраическаясумма (от i=1 до n ) ± φi(x) также бесконечно мала при x→x0.4) Сформулируйте теорему о произведении бесконечно малой на ограниченную функцию.Пусть в проколотой окрестности U ̊(X0) точки X0 заданы функции f(x) и φ(x), причем f(x)ограничена на U ̊(x0), а φ(x) бесконечно мала при X → X0. Тогда произведение f(x)·φ(x) естьбесконечно малая функция при X → X0.5) Сформулируйте теорему о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.Пусть функция φ(x) отлична от нуля в некоторой проколотой окрестности точки X0. Этафункция бесконечно мала при X → X0 тогда и только тогда, когда функция f(x) = 1/φ(x)является бесконечно большой (при X → X0).6) Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии эквивалентностибесконечно малых.Бесконечно малые φ(x) и ψ(x) эквивалентны (при X → X0) тогда и только тогда, когда ихразность имеет более высокий порядок малости при X → X0 по сравнению с каждой изних.7) Сформулируйте теорему о сумме бесконечно малых разных порядков.Пусть φ1(x),…,φn(x), ψ(x) — бесконечно малые при X → X0 функции, и пусть Ki — порядокмалости функций φi(x) относительно ψ(x), i = 1, .

. . , n, причём числа K1, . . . , Kn попарноразличны. Тогда сумма φ1(x) + . . . + φn(x) эквивалентна при X → X0 слагаемомуминимального порядка относительно ψ(x).Определение предела по Коши1) Сформулируйте определение по Коши lim(x→0) f (x) = b, где b ∈ R. Приведитесоответствующий пример (с геометрической иллюстрацией).2)Сформулируйте определение по Коши lim(x→a) f (x) = +∞, где a ∈ R.

Приведитесоответствующий пример (с геометрической иллюстрацией).3) Сформулируйте определение по Коши lim(x→∞) f(x) = 0. Приведите соответствующийпример (с геометрической иллюстрацией).4) Сформулируйте определение по Коши lim(x→a−0) f(x) = −∞, где a ∈ R. Приведитесоответствующий пример (с геометрической иллюстрацией)..