1611690643-ae109fafd4042ce6b646d4d0fc73c5c0 (Программа курса)

ÒÅÎÐÈß ÔÓÍÊÖÈÉÊÎÌÏËÅÊÑÍÎÃÎ ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÃÎËåêòîð Àëåêñàíäð Þðüåâè÷ ÁåðåçèíÏðîãðàììà êóðñà ëåêöèé(3-é ñåìåñòð, ëåêöèè 36 ÷., ñåìèíàðû 36 ÷., ýêç.)1. Àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãîÊîìïëåêñíûå ÷èñëà. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ è ïîêàçàòåëüíàÿôîðìûêîìïëåêñíîãî÷èñëà.Ïðåäåëïîñëåäîâàòåëüíîñòèêîìïëåêñíûõ÷èñåë.Îòêðûòûå,çàìêíóòûå,îãðàíè÷åííûå,êîìïàêòíûå ìíîæåñòâà íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Ñôåðà Ðèìàíà.Ñòåðåîãðàôè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ. Êîìïàêòèôèêàöèÿ êîìïëåêñíîéïëîñêîñòè. Ïðåäåë è íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè êîìïëåêñíîãîïåðåìåííîãî.Äèôôåðåíöèðîâàíèåôóíêöèéêîìïëåêñíîãîïåðåìåííîãî.

Óñëîâèÿ Êîøè Ðèìàíà. Àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè.Ñîïðÿæåííûå ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñëìîäóëÿ è àðãóìåíòà ïðîèçâîäíîé. Îñíîâíûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèèêîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî: ìíîãî÷ëåíû, ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè,ýêñïîíåíòà, ãèïåðáîëè÷åñêèå è òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè.Òåîðåìà îá îáðàòíîé ôóíêöèè.Ìíîãîçíà÷íûå ôóíêöèè è òî÷êè√âåòâëåíèÿ. Âåòâè ôóíêöèé n z è Ln z .2. Èíòåãðèðîâàíèå ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãîÈíòåãðàë ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî ïî îðèåíòèðîâàííîéêðèâîé. Îáùèå ñâîéñòâà èíòåãðàëà ôóíêöèè êîìïëåêñíîãîïåðåìåííîãî ïî îðèåíòèðîâàííîé êðèâîé, ñâÿçü ñ êðèâîëèíåéíûìèèíòåãðàëàìè.

Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè. Èíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëàÊîøè. Èíòåãðàë òèïà Êîøè. Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿïðîèçâîäíûõ. Áåñêîíå÷íàÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòü àíàëèòè÷åñêîéôóíêöèè. Ïåðâîîáðàçíàÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè. ÔîðìóëàÍüþòîíà Ëåéáíèöà. Òåîðåìà Ìîðåðû. Èíòåãðàëû, çàâèñÿùèåîò ïàðàìåòðà. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà ìîäóëÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè.13. Ðÿäû àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé×èñëîâûå ðÿäû. Ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû â êîìïëåêñíîéîáëàñòè.

Òåîðåìû Âåéåðøòðàññà î ðÿäàõ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé.Ñòåïåííûå ðÿäû: ïåðâàÿ òåîðåìà Àáåëÿ, êðóã è ðàäèóñ ñõîäèìîñòè,àíàëèòè÷íîñòü ñóììû ñòåïåííîãî ðÿäà. Âòîðàÿ òåîðåìà Àáåëÿ.Ðÿä Òåéëîðà. Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè. Ðàçëîæåíèå îñíîâíûõýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé â ñòåïåííîé ðÿä. Òåîðåìà î ðàçëîæåíèèàíàëèòè÷åñêîé â êîëüöå ôóíêöèè â ðÿä Ëîðàíà. Åäèíñòâåííîñòüðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ëîðàíà. Íåðàâåíñòâà Êîøè äëÿ êîýôôèöèåíòîâðÿäà Ëîðàíà. Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ. Êëàññèôèêàöèÿ èçîëèðîâàííûõîñîáûõ òî÷åê àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè. Íóëè àíàëèòè÷åñêîéôóíêöèè.

Áåñêîíå÷íî óäàë¼ííàÿ îñîáàÿ òî÷êà. Ïîâåäåíèå ôóíêöèèâ îêðåñòíîñòè ñóùåñòâåííî îñîáîé òî÷êè. Ïîíÿòèå î öåëûõ èìåðîìîðôíûõ ôóíêöèÿõ.4. Ýëåìåíòû òåîðèè âû÷åòîâÂû÷åò â êîíå÷íîé îñîáîé òî÷êå. Îñíîâíàÿ òåîðåìà òåîðèè âû÷åòîâ.Ôîðìóëà äëÿ íàõîæäåíèÿ âû÷åòà â ïîëþñå. Âû÷åò â áåñêîíå÷íîóäàë¼ííîé òî÷êå. Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíî-òðèãîíîìåòðè÷åñêèõôóíêöèé. Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé. ÏðåîáðàçîâàíèåÔóðüå ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè. Ëåììà Æîðäàíà.

Èíòåãðèðîâàíèåðàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé ñî ñòåïåííûì ¾âåñîì¿. Èíòåãðàëûòèïà áåòà-ôóíêöèè. Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ ñ ëîãàðèôìè÷åñêèìèîñîáåííîñòÿìè. Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿïî Êîøè. Ïðèíöèï àðãóìåíòà. Òåîðåìà Ðóøå. Äîêàçàòåëüñòâî¾îñíîâíîé òåîðåìû àëãåáðû¿.5. Êîíôîðìíûå îòîáðàæåíèÿ. Àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèåÏîíÿòèåêîíôîðìíîãîîòîáðàæåíèÿ.Äðîáíî-ëèíåéíûåôóíêöèè. Ôóíêöèÿ Æóêîâñêîãî. Îòîáðàæåíèÿ îñóùåñòâëÿåìûåàíàëèòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè. Àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ãàììàôóíêöèè.6.

Ïðåîáðàçîâàíèå ËàïëàñàÀíàëèòè÷íîñòü èçîáðàæåíèÿ. Âîññòàíîâëåíèå îðèãèíàëîâ ïðèïîìîùè òåîðåì ðàçëîæåíèÿ.27. Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäûÎïðåäåëåíèå ñòåïåííûõ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé. Ñâîéñòâà:åäèíñòâåííîñòü,àëãåáðàè÷åñêèåîïåðàöèè,èíòåãðèðîâàíèå,äèôôåðåíöèðîâàíèå. Ìåòîä Ëàïëàñà: ëåììå Ìîðñà; âêëàä îò êîíöîâèíòåðâàëà; ëåììà Âàòñîíà; âêëàä îò íåâûðîæäåííîé ñòàöèîíàðíîéòî÷êè. Ìåòîä ñòàöèîíàðíîé ôàçû: ëåììà Ýðäåéè; âêëàä îòíåâûðîæäåííîé ñòàöèîíàðíîé òî÷êè. Ìåòîä ïåðåâàëà: ïåðåâàëüíûéêîíòóð; ëèíèÿ íàèñêîðåéøåãî ñïóñêà; ãëàâíûé ÷ëåí àñèìïòîòèêè.Ðàçëîæåíèå ïî ïðîèçâîëüíîé àñèìïòîòè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:îïðåäåëåíèå, îñíîâíûå ñâîéñòâà.Ëèòåðàòóðà1.

Àëåêñàíäðîâ Â. À. Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà. Ìåòîäè÷åñêèåóêàçàíèÿ. ÍÃÓ, 1992. (Øèôð áèáëèîòåêè ÍÃÓ Â17 Ï723.)2. Áåðåçèí À. Þ., Ðîìàíîâ À. Ñ. Òåîðèÿ ôóíêöèéêîìïëåêñíîãîïåðåìåííîãî.(Òîëüêîýëåêòðîííàÿâåðñèÿ:http://phys.nsu.ru/ok03/manuals.html).3. Áèöàäçå À. Â. Îñíîâû òåîðèè àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèéêîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Ì.: Íàóêà, 1984.4. Âîëêîâûñêèé Ë. È., Ëóíö Ã. Ë., Àðàìàíîâè÷ È.

Ã. Ñáîðíèê çàäà÷ïî òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Ì.: Íàóêà, 1970.5. Åâãðàôîâ Ì. À. è äð. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî òåîðèè àíàëèòè÷åñêèõôóíêöèé. Ì.: Íàóêà, 1972.6. Çîðè÷ Â. À. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ò. 2. Ì.: Íàóêà, 1984.7. Ëàâðåíòüåâ Ì. À., Øàáàò Á. Â. Ìåòîäû òåîðèè ôóíêöèéêîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Ì.: Íàóêà, 1987.8. Ëåáåäåâ Í. Í. Ñïåöèàëüíûå ôóíêöèè è èõ ïðèëîæåíèÿ. Ì.Ë.:Ôèçìàòãèç, 1963.9. Ëåîíòüåâà Ò. À., Ïàíôåðîâ Â. Ñ., Ñåðîâ Â. Ñ. Çàäà÷è ïî òåîðèèôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1992.10 Ìàðêóøåâè÷ À. È.

Òåîðèÿ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ò. 1, 2. Ì.:Íàóêà, 1967.11. Ïðèâàëîâ Â. È. Ââåäåíèå â òåîðèþ ôóíêöèé êîìïëåêñíîãîïåðåìåííîãî. Ì.: Íàóêà, 1977.12.ÐîìàíîâÀ.Ñ.Òåîðèÿôóíêöèéêîìïëåêñíîãîïåðåìåííîãî. Çàïèñêè ëåêòîðà. (Òîëüêî ýëåêòðîííàÿ âåðñèÿ:http://phys.nsu.ru/ok03/ Manuals.html)313. Ðîìàíîâ À. Ñ.

Ýëåìåíòàðíûå àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû. (Òîëüêîýëåêòðîííàÿ âåðñèÿ:òàì æå).14. Ñèäîðîâ Þ. Â., Ôåäîðþê Ì. Â., Øàáóíèí Ì. È. Ëåêöèè ïî òåîðèèôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Ì.: Íàóêà, 1989.15. Øàáàò Á. Â. Ââåäåíèå â êîìïëåêñíûé àíàëèç. ×. 1. Ì.: Íàóêà,1976.Ïëàí ñåìèíàðîâ1. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà. Ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî.

ÓñëîâèÿÊîøè Ðèìàíà. Àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè.2. Ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî: ìíîãî÷ëåíû,ýêñïîíåíòà, ãèïåðáîëè÷åñêèå, òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè èîáðàòíûå ê íèì; âûäåëåíèå âåòâåé.3.Èíòåãðèðîâàíèåôóíêöèéêîìïëåêñíîãîïåðåìåííîãî.Ïåðâîîáðàçíàÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè. Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìàÊîøè è ôîðìóëà Êîøè.4. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðÿä Òåéëîðà.5. Ðÿä Ëîðàíà. Îñîáûå òî÷êè.6. Âû÷åòû. Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ ñ ïîìîùüþ âû÷åòîâ.7. Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ îò ðàöèîíàëüíûõ è ðàöèîíàëüíî-òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé.

Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ðàöèîíàëüíîéôóíêöèè.8. Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ îò ðàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé ñîñòåïåííûì ¾âåñîì¿, èíòåãðàëîâ òèïà áåòà-ôóíêöèè è èíòåãðàëîâ ñëîãàðèôìè÷åñêèì âåñîì.9. Ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà àðãóìåíòà è òåîðåìû Ðóøå.10. Äðîáíî-ëèíåéíûå ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ Æóêîâñêîãî.11. Îòîáðàæåíèÿ ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè.12. Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà: âîññòàíîâëåíèå îðèãèíàëà ïðè ïîìîùèòåîðåì ðàçëîæåíèÿ.13.

Ñòåïåííûå àñèìïòîòè÷åñêèå ðàçëîæåíèÿ. Ïðîñòåéøèå ñïîñîáûïîëó÷åíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèÿ.14. Ìåòîä Ëàïëàñà.15. Ìåòîä ñòàöèîíàðíîé ôàçû.Ïðîãðàììó ëåêöèé è ïëàí ñåìèíàðîâ ïî ÒÔÊÏ ñîñòàâèëê. ô.-ì. í. À. Þ. Áåðåçèí4Çàäàíèÿ ïî òåîðèè ôóíêöèéêîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãîÇàäàíèå 1ñäàòü äî 21 îêòÿáðÿ)(√1. Íàéäèòå âñå êîðíè óðàâíåíèÿ sh iz − i 3 cos z + 1 = 0 è óêàæèòåáëèæàéøèé èç íèõ ê òî÷êå z = 0.2.

Íàéäèòå àíàëèòè÷åñêóþ ôóíêöèþ f (z) = u(x, y) + iv(x, y),02z = x + iy , åñëè f (0) = 4i, f (i) = i, Re f (z) = 3(x− y 2 ) − 4y.p3(1 − z)z 2 , äîïóñêàåò3. Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ f (z) =âûäåëåíèå îäíîçíà÷íûõ âåòâåé â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ñ ðàçðåçàìèïî îòðåçêó [0, 1] âåùåñòâåííîé îñè è íàéäèòå√ çíà÷åíèå â òî÷êå z = iòîé âåòâè, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå − 3 4 â òî÷êå z = 2.4. Èñïîëüçóÿ èíòåãðàëüíóþ ôîðìóëó Êîøè, âû÷èñëèòåèíòåãðàëZdz(êîíòóð îáõîäèòñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè),(z − a)n (z − b)n=1,2,3,... , ãäå Ñ - îêðóæíîñòü |z| = r, |a| < r < |b|C√√15.

Óñòàíîâèâ îäíîçíà÷íîñòü ôóíêöèè f (z) = sh( z) · sin( z),zíàéäèòå åå ðàçëîæåíèå â ðÿä ïî ñòåïåíÿì z.16. Äàíà ôóíêöèÿ f (z)=. Óêàæèòåz 3 − 6z 2 + 10z − 8ìàêñèìàëüíîå êîëüöî, ñîäåðæàùåå òî÷êó z = 3, â êîòîðîì ýòàôóíêöèÿ äîïóñêàåò ðàçëîæåíèå â ðÿä Ëîðàíà ïî ñòåïåíÿì z + 1, èíàéäèòå ýòî ðàçëîæåíèå.7. Ðàçëîæèòå â ðÿä zËîðàíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 = 2 ôóíêöèþf (z) = (z + 1)2 e z−2 , è íàéäèòå çíà÷åíèå ãëàâíîé ÷àñòè ýòîãîðàçëîæåíèÿ ïðè z = 1.8.

Âûÿñíèòå ñóùåñòâóåò ëè ôóíêöèÿ f (z), àíàëèòè÷åñêàÿ âîêðåñòíîñòèòî÷êè z = 0 è óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ: 1n + cos πnf=, n=1,2,3,... .n3n + 2 ñëåäóþùèõ çàäà÷àõ äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè f (z) òðåáóåòñÿ íàéòèîñîáûå òî÷êè, îïðåäåëèòü èõ òèï è â èçîëèðîâàííûõ òî÷êàõâû÷èñëèòü âû÷åòû. Êðîìå òîãî, íåîáõîäèìî èññëåäîâàòü ïîâåäåíèåôóíêöèè íà áåñêîíå÷íîñòè.9. f (z) =(z + 1)2 sin(1/z).(3z + 1)25z.1+z1211.

f (z) =− 2.1 − cos zz10. f (z) = (z + 2)2 cosÇàäàíèå 2ñäàòü äî 25 íîÿáðÿ)(Âû÷èñëèòå èíòåãðàëû, ñ÷èòàÿ, ÷òî êîíòóðû ïðîõîäÿòñÿ ïðîòèâ÷àñîâîéZñòðåëêè:z sin(1/z)1.dz4z 2 + i|z−1|=2Zz 2 dz2.sin2 3z1|z+1|= 2Z(z − 2) dz3.cos(1/z) − 1|z|=54. Âû÷èñëèòå èíòåãðàë ïî ãðàíèöå îáëàñòè, ñ÷èòàÿ, ÷òî ãðàíèöàîáëàñòèïðîõîäèòñÿ òàê, ÷òî ñàìà îáëàñòü îñòàåòñÿ ñëåâà:Zzezπ dz, D = {z : Rez < 0}.2 − 2iz − z 2∂D5. Èíòåãðèðóÿ ôóíêöèþ f (z) =eazïî ãðàíèöå ïðÿìîóãîëüíèêà+1ezp = {|x| ≤ R, 0 ≤ y ≤ 2π}âû÷èñëèòå èíòåãðàë+∞Zeax dx,ex + 10 < a < 1.−∞Âû÷èñëèòå èíòåãðàëû:Z2π6.ecos ϕ sin(nϕ − sin ϕ)dϕ, n = 0, 1, 2, ....07.+∞ √Z3x3−∞+∞Z8.x dx.+ 4xx sin x dx.x4 + 5x2 + 4069.+∞ √Zx ln x dx.(x + 4)(x + 2)0Íàéäèòå ãëàâíîå çíà÷åíèå èíòåãðàëà:+∞Zcos x dxv.p..2(x + 9)(x − 1)11.−∞Èñïîëüçóÿ òåîðåìó Ðóøå íàéäèòå êîëè÷åñòâî êîðíåén(z + 1)óðàâíåíèÿ+ 2z n + 3 = 0 â êðóãå |z| < 3, ãäå n=0, 1, 2, ...z−4.Çàäàíèå 3ñäàòü äî 30 äåêàáðÿ)(1.Íàéäèòåäðîáíî-ëèíåéíîåîòîáðàæåíèå,ïåðåâîäÿùååòî÷êè ∞,−i,1 ñîîòâåòñòâåííî â òî÷êè −i, 0,1, è íàéäèòå îáðàçïîëóêðóãà|z| < 2, Im z > 0ïðè ýòîì îòîáðàæåíèè.2.