1611690425-9964444cbbc2f20ece8a8e7bc211dd95 (Программа курса Батяев)

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКАЛектор: доц. Е. А. Батяев3 семестрПредмет теоретической механики, область применения, основные разделы. Основныепонятия. Пространство, время, система отсчета. Относительность движения и покоя.1. Кинематика точки и твердого телаКоординатно-векторное представление движения точки. Траектория точки. Движение вдекартовых и ортогональных криволинейных координатах.

Векторы скорости и ускорения.Коэффициенты Ламе. Физические компоненты скорости и ускорения. Естественное описаниедвижения точки. Кривизна траектории. Естественные компоненты скорости и ускорения.Представление движения твердого тела в виде композиции поступательного ивращательного движений.

Углы Эйлера. Векторы угловой скорости и углового ускорениятела. Поле скоростей и ускорений (формула Ривальса) точек твердого тела.Сферическое движение тела. Мгновенная ось вращения. Плоское движение тела. Полескоростей и ускорений плоской фигуры.

Мгновенный центр скоростей и ускорений.Сложное движение точки. Относительное, переносное и абсолютное движение.Абсолютная и относительная производные по времени. Теоремы сложения скоростей иускорений (теорема Кориолиса).Сложное движение тела. Теоремы сложения угловых скоростей и угловых ускорений.2. Динамика материальной точкиВзаимодействие тел. Силы и масса. Свободная материальная точка.

Инерциальнаясистема отсчета. Законы Ньютона. Равнодействующая. Дифференциальные уравнениядвижения точки в декартовых, криволинейных координатах и в естественном базисе.Основные задачи динамики. Определение движения по силе и начальному состоянию.Движение несвободной материальной точки. Связи. Принцип освобождаемости отсвязей. Нормальная и тангенциальная реакции. Закон Кулона. Движение точки по линии.Уравнения равновесия точки.

Сила инерции. Принцип Даламбера.Относительное движение материальной точки. Основной закон динамки точки внеинерциальной системе отсчета. Переносная и кориолисова силы инерции. Принципотносительности Галилея. Относительное равновесие точки вблизи Земли. Маятник Фуко.Движение точки в центральном силовом поле.

Секторная скорость. Закон площадей.Формулы Бине. Закон всемирного тяготения. Движение точки в ньютоновском полетяготения. Вектор Лапласа. Законы Кеплера.Задача двух тел. Уточнение третьего закона Кеплера.3. Система материальных точекМеханическая система. Внешние и внутренние силы. Дифференциальные уравнениядвижения механической системы. Главный вектор, главный момент относительно точки и осисистемы сил. Свойства внутренних сил. Работа и мощность системы сил. Потенциальноесиловое поле и потенциальная энергия.Центр масс системы точек.

Количество движения и кинетическая энергия системы.Момент количества движения (кинетический момент) системы относительно точки и оси.Теорема о движении центра масс системы точек. Теоремы об изменении количествадвижения, кинетического момента относительно неподвижной точки, кинетической энергиидля механической системы. Законы сохранения количества движения и кинетическогомомента системы. Замкнутая система. Закон сохранения полной механической энергии.Движение механической системы относительно центра масс.

Кенигова системакоординат. Теорема Кёнига. Кинематические характеристики и теоремы динамикимеханической системы для движения относительно её центра масс.Динамика точки переменной массы. Закон Мещерского. Реактивная и тормозящая силы.Движение ракеты вне поля сил. Формула Циолковского.4. Абсолютно твердое тело.Геометрия масс твердого тела. Центр масс тела. Момент инерции тела относительно оси.Теорема Гюйгенса-Штейнера. Осевые и центробежные моменты инерции. Тензор и эллипсоидинерции.

Главные оси инерции тела.Количество движения, кинетический момент тела относительно точки и оси.Кинетическая энергия тела. Теоремы динамики и законы сохранения для твердого тела.Неизменяемая система. Элементарная работа сил, приложенных к телу.Дифференциальные уравнения движения тела.

Плоское движение тела. Равновесиетвердого тела. Статически определимая система. Эквивалентные системы сил. Пара сил имомент пары. Теорема Пуансо. Законы Кулона для различных видов трения.Вращение тела вокруг неподвижной оси. Статические и динамические реакции.Физический маятник. Теорема Гюйгенса.4 семестр5.

Аналитическая динамика механических систем со связямиВведение в аналитическую механику. Типы вариационных принципов. Виды связей имеханических систем. Условия, накладываемые связями, на скорости и ускорения точексистемы.Возможные, действительные и виртуальные перемещения механической системы.Вариации координат. Синхронное варьирование.

Число степеней свободы системы.Основная задача динамики несвободной системы. Элементарная работа сил навиртуальных перемещениях системы. Идеальные связи.Уравнения Лагранжа первого рода.Принцип Даламбера-Лагранжа. Принцип виртуальных перемещений. Элементарнаяработа сил инерции для неизменяемой системы.Обобщенные координаты, скорости и ускорения. Обобщенные силы. Уравненияравновесия системы в обобщенных координатах. Виртуальный дифференциал. Потенциальнаяэнергия. Экстремальность потенциала при равновесии.Уравнения Лагранжа второго рода.

Кинетическая энергия системы в обобщенныхкоординатах и скоростях. Положительная определенность квадратичной формы кинетическойэнергии относительно обобщенных скоростей.Теорема об изменении полной механической энергии голономной системы.Консервативные системы. Закон сохранения полной механической энергии. Гироскопическиесилы. Диссипативные силы.Функция Лагранжа. Обобщенный потенциал. Натуральные системы.

Определенностьфункции Лагранжа.Преобразование Лежандра. Обобщенные импульсы. Гессиан функции Лагранжаотносительно обобщенных скоростей. Переменные Лагранжа и Гамильтона. Теорема Донкина.Функция Гамильтона. Канонические уравнения Гамильтона.Обобщенная механическая энергия. Обобщенно-консервативные системы. Обобщенныйинтеграл энергии (интеграл Якоби). Уравнения Уиттекера. Уравнения Якоби.Позиционные и циклические координаты.

Циклические интегралы. Методигнорирования циклических координат.Переменные и функция Рауса. Уравнения Рауса. Движение сферического маятника.Первые интегралы уравнений движения и законы сохранения. Скобки Пуассона ипервые интегралы. Теорема Якоби – Пуассона. Инволютивность системы интегралов.6. Устойчивость равновесия и малые колебания консервативных системУстойчивость положений (состояний) равновесия систем. Достаточные условияустойчивости равновесия консервативной системы, теорема Лагранжа. Влияниегироскопических и диссипативных сил на устойчивость равновесия неконсервативных систем.Теоремы Ляпунова о неустойчивости равновесия консервативных систем.Приведенная система.

Потенциал Рауса. Гироскопически несвязанная система.Стационарное движение консервативной системы с циклическими координатами и ихустойчивость. Теорема Рауса. Устойчивость вращения диска вокруг вертикального диаметра.Положение относительного равновесия и его устойчивость при равномерном вращениисистемы вокруг неподвижной оси.

Потенциал центробежной силы инерции.Дифференциальные уравнения движения линейного приближения консервативныхсистем около устойчивого положения равновесия. Малые колебания. Уравнение частот.Главные колебания и нормальные координаты. Свободные колебания и собственные частоты.Влияние периодических и диссипативных внешних сил на колебания консервативных систем.7.

Устойчивость движений механических системНевозмущенное движение и отклонения. Устойчивость и асимптотическая устойчивостьпо Ляпунову решений автономных систем. Функция Ляпунова. Теоремы Ляпунова обустойчивости и асимптотической устойчивости невозмущенного движения.Устойчивость линейных систем возмущенного движения. Теорема Ляпунова обасимптотической устойчивости по линейному (первому) приближению.

Критерииасимптотической устойчивости Рауса-Гурвица и Льенара-Шипара.8.Интегральные вариационные принципы механикиПрямой и окольный пути голономной системы. Расширенное координатноепространство. Сопряженные кинетические фокусы. Перестановочное соотношение.Принцип Гамильтона-Остроградского для ненатуральных систем.Функционал и его вариация. Основная лемма и простейшая задача вариационногоисчисления. Стационарное значение (экстремум) функционала. Уравнения Эйлера иэкстремаль.

Задача о брахистохроне.Действие по Гамильтону. Принцип Гамильтона-Остроградского для натуральныхсистем. Экстремальное свойство действия по Гамильтону.Изоэнергетическое варьирование для консервативных систем. Действие по Лагранжу.Принцип наименьшего действия в форме Мопертюи – Лагранжа и Якоби.Литература1. Маркеев А.П. Теоретическая механика: Учебник для университетов. - Ижевск: НИЦ"Регулярная и хаотическая динамика", 2007. - 592 С. ISBN 978-5-93972-604-72.

Бондарь В. Д. Лекции по теоретической механике.: Учебное пособие. - НГУ, 1970, ч. 1;1972, ч. 2; 1974, ч.3.3. Голдстейн Г. Классическая механика: Учебник. 2-е изд. – М.: Наука, 1975. – 416 С.4. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике: Учебное пособие для вузов/ Под ред.Е.С.Пятницкого, - 3-е изд.

- М.:ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 264 С.5. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики.: Учебник. Ч.1 10-е изд. 480с., Ч.2.7-е изд. 336с. –СПб.: Издательство «Лань», 2009.6. Арнольд В. И. Математические методы классической механики.: Учебник. – 5-е изд. –М.:Наука, 2003. – 416 С.Дополнительная литература.7. Вильке В.Г. Теоретическая механика: Учебник. 3-е изд., перераб. и дополн. – СПб.Издательство «Лань», 2003.-304с.8.

Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. Учебник. 2-е изд. перераб. и дополн.М.:Изд.МГУ, 2000. - 719 С.9. Кеппе О.Э. и др. Сборник коротких задач по теоретической механике. Учеб.пособие длявтузов. – М.: Высш.шк., 1989. – 368 С..