1611689370-01d0560721743ce262e51a4d940c3311 (Лекции Старовойтов)

Математический анализЛекции. Семестр 3.В.Н. Старовойтовc В.Н.Старовойтов, 2016⃝Оглавление9 Функциональные последовательности и ряды9.1 Последовательности функций . . . . . . . . . . . . . . . .9.1.1 Поточечная сходимость . . . . . . .

. . . . . . . . .9.1.2 Равномерная сходимость . . . . . . . . . . . . . . .9.1.3 Непрерывность и предельный переход . . . . . . .9.1.4 Интегрирование и предельный переход . . . . . . .9.1.5 Дифференцирование и предельный переход . . . .9.2 Функциональные ряды . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .9.3 Равномерная сходимость вещественных степенных рядов9.4 Методы суммирования расходящихся рядов . . . . . . . ....................................................................................................44467101112161810 Интегралы, зависящие от параметра10.1 Собственные интегралы, зависящие от параметра . . .

. . . . . . . . . . . . .10.1.1 Общие результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.1.2 Теорема Вейерштрасса об аппроксимации непрерывной на отрезкефункции последовательностью полиномов . . . . . . . . . . . . . . . .10.2 Несобственные интегралы, зависящие от параметра . . . . . . . . . .

. . . .10.2.1 Равномерная сходимость несобственных интегралов . . . . . . . . . .10.2.2 Несобственные интегралы и некоторые операции по параметру . . . .10.2.3 Функции Эйлера Γ и B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24242411 Мера и интеграл Лебега11.1 Общее понятие меры . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .11.2 Мера Лебега в Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2.1 Внешняя мера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2.2 Измеримые множества и мера Лебега . . . . . . . . . . .11.2.3 Борелевские множества . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .11.2.4 Изменение меры множеств при линейных отображениях11.3 Измеримые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.3.1 Понятие измеримой функции . . . . . . . . . . . . . . .11.3.2 Последовательности измеримых функций . . . . . . .

.11.4 Интеграл Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.4.1 Простые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.4.2 Интеграл Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.4.3 Интеграл Лебега и предельный переход . . . . . . . . .11.4.4 Связь интеграла Лебега с интегралом Римана .

. . . . .11.4.5 Теорема Фубини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .424245455158606666697171748286882........................................................................................................................283030333911.4.6 Замена переменных в интеграле Лебега . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 9511.5 Пространства интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013Глава 9Функциональные последовательности ирядыЛекция №1. 01.09.2016.9.1Последовательности функцийВ предыдущих лекциях мы встречались с последовательностями, элементами которыхбыли числа или множества. В этой главе мы рассмотрим последовательности функций. Впринципе, круг исследуемых вопросов будет тем же, что и раньше: сходимость и предел,однако в данном случае возникает ряд особенностей, связанных с зависимостью свойствпоследовательностей от аргумента функций.9.1.1Поточечная сходимостьПоследовательность называется функциональной, если её элементами являются функции.При этом предполагается, что все входящие в последовательность функции имеют одну иту же область определения X ⊂ Rn .

Для обозначения функциональных последовательностей будут использованы привычные обозначения: {fk , k ∈ N}, {fk }k∈N , {fk }∞k=1 или просто{fk }. Здесь fk : X → R для каждого k ∈ N. Полученные результаты несложно обобщитьна случай векторных функций.Скажем, что функциональная последовательность {fk } сходится в точке x ∈ X, еслисходится числовая последовательность {fk (x)} значений функций fk в точке x.Определение 9.1.1.

Пусть E есть некоторое подмножество в X. Функциональная последовательность {fk } называется сходящейся поточечно на множестве E, если она сходитсяв каждой точке множества E.•Если на множестве E ⊂ X последовательность {fk } сходится поточечно, то мы можем определить функцию f : E → R, задаваемую соотношением f (x) = lim fk (x).

Этаk→∞функция называется поточечным пределом последовательности функций {fk }. При этомговорят, что последовательность {fk } сходится поточечно к функции f на множестве E.Часто, если это понятно из контекста и возможность путаницы исключена, слово «поточечный» опускают и говорят просто о пределе и о сходимости последовательности.4x|x|. Очевидно, что после1 + x2довательность {fk (x)} сходится при всех x ∈ X, то есть, E = X. Поточечным пределомпоследовательности {fk } является функция−1, если x < 0,f (x) = sgn(x) = 0,если x = 0,1,если x > 0.Пример 9.1.2.

Пусть X = R и fk (x) = φ(kx), где φ(x) =Заметим, что если мы возьмем φ(x) = th x, то последовательность {fk } будет сходитьсяпоточечно на R к тому же самому пределу — функции sgn.•Пример 9.1.3. Пусть X = R и{fk (x) =|x|−2 , если x > k −1 ,k2,если x 6 k −1 .Последовательность {fk } сходится поточечно к функции f (x) = |x|−2 на множестве E =R \ {0}.•Пример 9.1.4. Пусть X = R и fk (x) = sin kx.

Последовательность {fk } сходится поточечно на множестве E = {nπ, n ∈ Z}. В самом деле, если x0 ∈ E, то fk (x0 ) = 0 для всехk ∈ N. Покажем, что если x0 ∈ R \ E, то последовательность {fk (x0 )} расходится. Будемдоказывать этот факт от противного. Предположим, что {fk (x0 )} сходится к некоторомучислу A.

Переходя к пределу при k → ∞ в известных тригонометрических равенствахsin 3kx0 = 3 sin kx0 − 4 sin3 kx0 ,sin 5kx0 = 5 sin kx0 − 20 sin3 kx0 + 16 sin5 kx0 ,мы получим:A = 3A − 4A3 ,A = 5A − 20A3 + 16A5 .Единственным решением этой системы является A = 0. Поэтому, переходя к пределу вравенствеsin(k + 1)x0 = cos kx0 sin x0 + sin kx0 cos x0 ,мы получим:sin x0 lim cos kx0 = 0.k→∞То есть, если x0 ̸∈ E, то limk→∞ cos kx0 = 0. Но это соотношение противоречит тому,что sin2 kx0 + cos2 kx0 = 1 для всех k ∈ N, поскольку, согласно нашему предположению,limk→∞ sin kx0 = A = 0.•В анализе часто приходится исследовать свойства предельной функции. Будет ли онанепрерывной, дифференцируемой или интегрируемой, если такими свойствами обладали функции, образующие последовательность? Как показывает пример 9.1.2, поточечнойсходимости недостаточно для сохранения непрерывности и дифференцируемости.

Из примера 9.1.3 видно, что и интегрируемость не сохраняется. Наша цель — найти условия,достаточные для сохранения этих свойств.59.1.2Равномерная сходимостьОпределение 9.1.5. Говорят, что последовательность функций fk : X → R равномерносходится к функции f на множестве E ⊂ X, если для любого ε > 0 существует такоеkε ∈ N, что |fk (x) − f (x)| < ε для всех k > kε и всех x ∈ E.•Заметим, что в этом определении kε зависит лишь от ε.

Независимость kε от x и составляет суть понятия равномерной сходимости. Это определение можно записать в другомвиде. Для произвольных функций f : X → R и g : X → R и для произвольного множестваE ⊂ X определим числоϱE (f, g) = sup |f (x) − g(x)|.x∈EМы взяли супремум, так как максимум на множестве E может и не существовать. Например, если E = (0, 1), f (x) = x и g(x) = 0 при x ∈ E, то supx∈E |f (x) − g(x)| = 1, аmaxx∈E |f (x) − g(x)| не существует. В то же время, мы не исключаем, что супремум можетобратиться в бесконечность.Ранее мы ввели понятие метрики.

Несложно проверить, что ϱE является метрикой намножестве определенных на E функций. Эта метрика называется равномерной.Определение 9.1.6. Говорят, что последовательность функций fk : X → R равномерносходится к функции f на множестве E ⊂ X, если для любого ε > 0 существует такоеkε ∈ N, что ϱE (fk , f ) < ε для всех k > kε .•Упражнение 9.1.7. Доказать, что определения 9.1.5 и 9.1.6 эквивалентны.•Очевидно, что из равномерной следует поточечная сходимость последовательностифункций.

Как показывает следующий пример, обратное утверждение неверно.Пример 9.1.8. Пусть X = [0, 1] и последовательность функций {fk } определяется следующим образом:при x ∈ [0, 1/k],kx,fk (x) = 2 − kx, при x ∈ [1/k, 2/k],0,при x ∈ [2/k, 1].Рис. 9.1: Функция fk .сто на любом отрезке [δ, 1], где δ > 0.Для любой точки x0 ∈ (0, 1] существует натуральное число k0 , такое, что x0 ∈ [2/k, 1] длявсех k > k0 . Поэтому последовательность {fk (x)}сходится к нулю всех x ∈ (0, 1]. Если же x = 0,то fk (x) = 0 при всех k. Таким образом, последовательность {fk } сходится поточечно на X кфункции f , тождественно равной нулю. В то жевремя, ρX (fk , f ) = 1 при всех k, откуда следует,что равномерной сходимости на X нет. Заметимоднако, что равномерная сходимость имеет ме•Упражнение 9.1.9.

Показать, что функциональные последовательности {fk }, определенные в примере 9.1.2 также не сходятся равномерно на [−1, 1].•6Для равномерной сходимости последовательности {fk } к функции f на множестве Eчасто используют обозначение fk ⇒ f или fk ⇒ f на E.EОбычно, при исследовании той или иной последовательности предельная функция ещёнеизвестна. Может случиться, что она вообще не существует (если последовательность несходится). Поэтому разумно ввести следующее определение.Определение 9.1.10. Последовательность функций fk : X → R называется равномерносходящейся на множестве E ⊂ X, если существует такая функция f : E → R, что fk ⇒ fна E.•Теорема 9.1.11 (Критерий Коши равномерной сходимости).

Для равномерной сходимости последовательности функций fk : X → R на множестве E ⊂ X необходимо идостаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало такое натуральное число kε , чтонеравенство ϱE (fm , fn ) < ε было выполнено для всех m и n, больших kε .Доказательство. Необходимость. Предположим, что функциональная последовательность{fk } сходится равномерно на некотором множестве E ⊂ X. Тогда согласно определению 9.1.10 существует функция f : E → R, такая, что fk ⇒ f на E. Поэтому для произвольного ε > 0 существует такое kε ∈ N, что ϱE (fm , f ) < ε/2 при всех x ∈ E и всехнатуральных m > kε . Тогда, в силу неравенства треугольника, для всех натуральных m иn, больших kε , имеет место требуемое неравенство:ϱE (fm , fn ) 6 ϱE (fm , f ) + ϱE (fn , f ) < ε/2 + ε/2 = ε.Достаточность. По условию, для любого ε > 0 можно подобрать такое kε ∈ N, что|fm (x) − fn (x)| 6 ϱE (fm , fn ) < ε(∗)для всех m и n, больших kε , и всех x ∈ E.

То есть, для каждого фиксированного x ∈ Eчисловая последовательность {fk (x)} удовлетворяет признаку сходимости Коши. Следовательно она сходится при каждом x ∈ E к некоторому числу, которое, вообще говоря,зависит от x. Тем самым, мы можем определить некоторую функцию f как поточечныйпредел последовательности {fk }. Тогда предельный переход в (∗) при m → ∞ влечётнеравенство |f (x) − fn (x)| < ε, которое справедливо для всех n > kε и всех x ∈ E.