1611688706-d8f8c22d69fdf4046d7cc52066afbe92 (Вопросы к экзамену)

ВОПРОСЫпо курсу лекций «Численные методы анализа и линейной алгебры»(3 семестр обучения ММФ НГУ, II поток, лектор С.П. Шарый)1. Задачи интерполирования и приближения функций. Алгебраическая интерполяция. Существование и единственность решения задачи алгебраической интерполяции. Интерполяционный полином Лагранжа.2. Разделённые разности и их свойства. Формула для прямого представления разделённых разностей. Интерполяционный полином Ньютона.3. Оценка погрешности алгебраической интерполяции с простыми узлами.Связь разделённых разностей функции с её производными.4. Полиномы Чебышёва, их различные представления.

Свойства полиномовЧебышёва. Применение полиномов Чебышёва в интерполировании.5. Задача алгебраической интерполяции с кратными узлами, существование и единственность её решения. Оценка погрешности алгебраическойинтерполяции с кратными узлами.6. Понятие интерполяционного процесса и его сходимости. Примеры Бернштейна и Рунге. Теорема Фабера и теорема Марцинкевича, их значениедля теории интерполяции. Условия сходимости интерполяционных процессов по чебышёвским узлам.7.

Понятие о сплайне, мотивации конструкции сплайна. Степень сплайна,его дефект. Интерполяционный кубический сплайн (без построения), точность приближения им функции и её производных. Экстремальное свойство естественных кубических сплайнов.8. Построение интерполяционного кубического сплайна.9. Задача приближения функций. Наилучшее приближение в евклидовомпространстве. Метод наименьших квадратов.

Выбор базисных функцийв методе наименьших квадратов.10. Полиномы Лежандра, их свойства. Формула Родрига. Применение полиномов Лежандра в задачах приближения.11. Численное интегрирование, квадратурная формула и её остаточный член.Интерполяционные квадратурные формулы, формулы Ньютона-Котеса.Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций.

Оценка их погрешности.12. Квадратурная формула Симпсона, оценка её погрешности. Составныеквадратурные формулы, их погрешность. Простейшие составные квадратурные формулы и оценки их погрешности.13. Алгебраическая степень точности квадратурных формул. Задача оптимизации квадратур и формулы Гаусса. Простейшие квадратуры Гаусса иих свойства.14. Выбор узлов для квадратурных формул Гаусса в общем случае.

Построение квадратурных формул Гаусса. Погрешность квадратур Гаусса.15. Сингулярные числа и сингулярные векторы матрицы. Сингулярное разложение матрицы. Спектральный радиус и его свойства. Связь спектрального радиуса матрицы и асимптотического поведения её степеней.16. Нормы в пространствах векторов и матриц, их применение. Эквивалентность норм.

Согласованные и подчинённые нормы, примеры согласованияи подчинения. Подчинённые матричные нормы для популярных векторных норм.17. Понятие об обусловленности математической задачи. Число обусловленности матрицы и оценка погрешности решения системы линейных алгебраических уравнений через погрешности входных данных. Примерыхорошо и плохо обусловленных матриц.18. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений,его матричная интерпретация. Различные способы выбора ведущего элемента.19. LU-разложение матрицы, его связь с методом Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия существования LUразложения матриц.

Строго регулярные матрицы.20. Разложение Холесского для матриц, его существование и единственность.21. Метод Холесского (квадратного корня) для решения систем линейныхуравнений.22. Поведение числа обусловленности при матричных преобразованиях. Мотивация применения ортогональных матриц при решении систем линейных алгебраических уравнений. Ортогональные матрицы вращений и отражений.23. Ортогональные матрицы отражения (матрицы Хаусхолдера) и их свойства.24.

Метод Хаусхолдера (отражений) для решения систем линейных уравнений. Ортогональные матрицы вращений (матрицы Гивенса). Метод вращений для решения систем линейных уравнений.25. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Необходимое и достаточное условие сходимости стационарных одношаговых итерационных методов. Доказательство необходимости.26. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Необходимое и достаточное условие сходимости стационарных одношаговых итерационных методов. Доказательство достаточности.27. Способы подготовки системы линейных алгебраических уравнений к итерационному решению.

Предобуславливание. Расщепление матрицы системы. Оптимизация простейшего скалярного предобуславливателя.28. Итерационный метод Якоби, условия его сходимости. Сходимость метода Якоби для линейных систем, матрицы которых имеют диагональноепреобладание.29. Итерационный метод Гаусса-Зейделя, условия его сходимости. Сходимостьметода Гаусса-Зейделя для линейных систем, матрицы которых имеютдиагональное преобладание.30. Признак Адамара неособенности матриц.

Круги Гершгорина. ТеоремаГершгорина.Литература[1] Барахнин В.Б., Шапеев В.П. Введение в численный анализ. – Санкт-Петербург–Москва– Краснодар: Лань, 2005.[2] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – Москва: Бином,2003, а также другие издания этой книги.[3] Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1–2. – Москва: Наука, 1966.[4] Демидович Б.П., Марон А.А. Основы вычислительной математики. – Москва: Наука,1970.[5] Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра.

– Москва: Мир, 2001.[6] Коновалов А.Н. Введение в вычислительные методы линейной алгебры. – Новосибирск:Наука, 1993.[7] Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – Москва: Наука, 1989.[8] Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. – Москва:Наука, 1976.[9] Тыртышников Е.Е. Методы численного анализа. – Москва: Академия, 2007.[10] Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. –Москва–Ленинград: Физматлит, 1963.[11] Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. – Москва: Мир, 1989.[12] Шарый С.П. Курс вычислительных методов.

– Новосибирск: НГУ, 2015. – Электронныйучебник, доступный на http://www.ict.nsc.ru/matmod/index.php?file=u_posobiya.