1611676862-a9490cc55273dc5a0c742f1aee83dda6 (Дифференцируемые функции 2)

Дифференцируемые функции.Монотонность дифференцируемых функций:Критерий монотонности функции. Пусть функция f дифференцируема на (a, b) ⊂ R.Функция f возрастает (убывает) на (a, b) тогда и только тогда, когда f ′ (x) ≥ 0 (f ′ (x) ≤ 0), ∀x ∈(a, b).Функция f строго возрастает (убывает) на (a, b) тогда и только тогда, когда f ′ (x) > 0 (f ′ (x) <0), ∀x ∈ (a, b).Функция f постоянна на (a, b) тогда и только тогда, когда f ′ (x) = 0, ∀x ∈ (a, b).Достаточное условие локального экстремума:Теорема. Пусть функция f непрерывна на (a, b) ⊂ R и дифференцируема на (a, b), кромеможет быть точки x0 ∈ (a, b).

Если f ′ положительна (отрицательна) на (a, x0 ) и отрицательна(положительна) на (x0 , b), то x0 — точка локального максимума (минимума) функции f .Теорема. Пусть функция f дифференцируема на (a, b) и имеет вторую производную в точкеx0 ∈ (a, b), причем f ′ (x0 ) = 0. Тогда если f ′′ (x0 ) > 0 (f ′′ (x0 ) < 0), то x0 — точка локальногомаксимума (минимума) функции f .Выпуклость дифференцируемых функций:Опр.Дифференцируемую на (a, b) функцию f назовем:a) выпуклой вниз (строго выпуклой вниз) на (a, b), если ее график расположен не ниже (выше)касательной, проведенной к графику в каждой точке интервала (a, b);b) выпуклой вверх (строго выпуклой вверх) на (a, b), если ее график расположен не выше (ниже)касательной, проведенной к графику в каждой точке интервала (a, b);Опр.(общее) Функция f , определенная на некотором интервале (a, b), выпукла вниз, если длялюбых двух значений аргумента x, y и для любого числа t ∈ [0, 1] выполняется неравенствоЙенсена:f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y).Если это неравенство является строгим для всех t ∈ (0, 1) и x ̸= y, то функция f строго выпуклавниз.

Если выполняются обратные неравенства, то выпукла вверх и строго выпукла вверх.Теорема. (Первый критерий выпуклости) Пусть функция f дифференцируема на (a, b). Тогдаf выпукла вниз (вверх) на (a, b) в том и только том случае, если ее производная f ′ возрастает(убывает) на (a, b).Следствие.Пусть функция f дифференцируема на (a, b). Тогда f строго выпукла вниз (вверх)на (a, b) в том и только том случае, если ее производная f ′ строго возрастает (убывает) на (a, b).Теорема. (Второй критерий выпуклости) Пусть функция f дважды дифференцируема на(a, b). Тогда f выпукла вниз (вверх) на (a, b) в том и только том случае, если f ′′ неотрицательна (неположительна) на (a, b).Следствие.

Пусть функция f дважды дифференцируема на (a, b) и f ′′ положительна (отрицательна) на (a, b). Тогда f строго выпукла вниз (вверх) на (a, b).Точки перегиба:Опр. Пусть f непрерывная на (a, b) функция либо дифференцируема в точке x0 ∈ (a, b), либоимеет бесконечную производную. Точку x0 называют точкой перегиба функции f , если найдетсятакая окрестность Uδ (x0 ), в пределах которой функция имеет разные направления (строгой)выпуклости слева и справа от точки x0 .Теорема.

(Необходимое условие перегиба) Пусть функция f дифференцируема на (a, b) и вточке x0 ∈ (a, b) имеет вторую производную. Если x0 — точка перегиба, то f ′′ (x0 ) = 0.Теорема. (Первое достаточное условие перегиба) Пусть функция f дважды дифференцируемана (a, b), за исключением, может быть, точки x0 ∈ (a, b) в которой она либо дифференцируема,либо имеет бесконечную производную. Если существует такая окрестность Uδ (x0 ), в пределахкоторой f ′′ (x) имеет разные знаки по разные стороны от точки x0 , то x0 — точка перегибафункции f .Теорема. (Второе достаточное условие перегиба) Пусть функция f дважды дифференцируемана (a, b) и в точке x0 ∈ (a, b) имеет производную третьего порядка.

Если f ′′ (x0 ) = 0, а f ′′′ (x0 ) ̸= 0,то x0 — точка перегиба функции f .Асимптоты:Асимптотой графика функции f называют прямую, к которой график функции "неограниченно приближается когда точка (x; f (x)) графика уходит в бесконечность. Различают вертикальные и наклонные (в частности, горизонтальные) асимптоты.Опр. Прямую x = x0 назовем вертикальной асимптотой функции f , если хотя бы один изпределов lim f (x),x→x0lim f (x),x→x0 −0lim f (x) существует и равен ∞.x→x0 +0Опр. Прямую y = kx + b назовем наклонной асимптотой функции f при стремлении x к ∞(+∞, −∞), если lim (f (x) − (kx + b)) = 0 ( lim (f (x) − (kx + b)) = 0, lim (f (x) − (kx + b)) = 0).x→∞x→+∞x→−∞Теорема.

Прямая y = kx + b служитa) асимптотой графика функции f при стремлении x к ∞ тогда и только тогда, когдаf (x)= k, lim (f (x) − kx) = b.x→∞ xx→∞limb) асимптотой графика функции f при стремлении x к +∞ тогда и только тогда, когдаf (x)= k, lim (f (x) − kx) = b.x→+∞ xx→+∞limc) асимптотой графика функции f при стремлении x к −∞ тогда и только тогда, когдаf (x)= k, lim (f (x) − kx) = b.x→−∞ xx→−∞limПостроение графиков функций:Полное исследование функции, имеющее целью построение ее графика, включает в себяследующие действия:1) нахождение области определения функции;2) установление свойств четности (нечетности) и периодичности, если они имеются;3) нахождение точек пересечения с осями координат и промежутков знакопостоянства;4) нахождение промежутков монотонности и точек экстремума;5) нахождение промежутков выпуклости и точек перегиба;6) установления характера поведения функции при приближении к границам области определения, в частности, нахождение асимптот, если они имеются..