1611676862-c54b19ed6887dca3c772d674863a47a8 (Асимптотические сравнения функций)
Описание файла
PDF-файл из архива "Асимптотические сравнения функций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Асимптотические сравнения.Опр. Пусть f, g : X → R и a – предельная точка X.Говорят, что функция f (x) есть o-малое от g(x) при x → a и пишут f (x) = o(g(x)), x → a, если f (x) = α(x)g(x),где α(x) → 0 при x → a.Говорят, что функция f (x) есть O-большое от g(x) при x → a и пишут f (x) = O(g(x)), x → a, если f (x) =β(x)g(x), где β(x) ограничена в некоторой окрестности a.Утв. Пусть функции f (x), g(x) определены в некоторой проколотой точки a и g(x) ̸= 0 на ней. Тогда1) f (x) = o(g(x)), x → a тогда и только тогда, когда f (x)/g(x) → 0, x → a.2) f (x) = O(g(x)), x → a тогда и только тогда, когда существует проколотая окрестность точки a, чтофункция f (x)/g(x) ограничена на ней.Свойства.(правила работы с o-малым и O-большим) Выражения с o-малыми и O-большими, где аргумент,рассматриваемых функций, стремится к одной и той же точке, можно преобразовывать по следующим правилам,в которых равенство означает, что левую часть можно заменить на правую (но не наоборот):1.
o(f ) = O(f );2. o(f ) + o(f ) = o(f );O(f ) + O(f ) = O(f );3. o(o(f )) = o(f );O(O(f )) = O(f );4. O(o(f )) = o(f );o(O(f )) = o(f );5. f · o(g) = o(f · g);f · O(g) = O(f · g);если C – постоянная, не равная нулю, то1. C · o(f ) = o(f );C · O(f ) = O(f );2. o(C · f ) = o(f );O(C · f ) = O(f );Опр. Пусть f, g : X → R и a – предельная точка X.Говорят, что функция f (x) эквивалентна функции g(x) при x → a и пишут f (x) ∼ g(x), x → a, если f (x) =γ(x)g(x), где γ(x) → 1 при x → a.Свойства. При стремлении аргумента, рассматриваемых функций к одной и той же точке, имеют место1.
f ∼ g ⇔ g ∼ f ;2. f ∼ g, g ∼ h ⇒ f ∼ h;Теорема.(связь ∼ с o-малым) f (x) ∼ g(x), x → a тогда и только тогда, когда f (x) = g(x) + o(g(x)), x → a.Утв. Пусть функции f (x), g(x) определены в некоторой проколотой точки a и g(x) ̸= 0 на ней. Тогда1) f (x) ∼ g(x), x → a тогда и только тогда, когда f (x)/g(x) → 1, x → a.2) если f (x) ∼ g(x), x → a, то существует проколотая окрестность точки a, что функция f (x) ̸= 0 на ней.Утв.
Пусть функции f (x), g(x), fe(x), ge(x) определены в некоторой проколотой точки a и fe(x), ge(x) ̸= 0 на ней,причем f (x) ∼ fe(x), g(x) ∼ ge(x) при x → a. Тогда если существует lim fe(x)/eg (x), то существует lim f (x)/g(x),x→ax→aпричем эти пределы совпадают.Сравнения показательной, степенной и логарифмической функций: Пусть a > 1 и p > 0. Тогдаxpaxxp = o(ax ), x → +∞ т.е. lim x = 0;ax = o(xp ), x → −∞ т.е. lim p = 0;x→+∞ ax→−∞ xlogxaloga x = o(xp ), x → +∞ т.е.
lim= 0;loga x = o(x−p ), x → +0 т.е. lim xp loga x = 0;x→+∞ xpx→+0Сравнения некоторых элементарных функций:ex = 1 + x + o(x), x → 0;ex − 1 ∼ x, x → 0;ln(1 + x) = x + o(x), x → 0;ln(1 + x) ∼ x, x → 0;sin(x) = x + o(x), x → 0;sin(x) ∼ x, x → 0;tan(x) = x + o(x), x → 0;tan(x) ∼ x, x → 0;arcsin(x) = x + o(x), x → 0;arcsin(x) ∼ x, x → 0;arctan(x) = x + o(x), x → 0;arctan(x) ∼ x, x → 0;(1 + x)µ = 1 + µx + o(x), x → 0;(1 + x)µ − 1 ∼ µx, x → 0;.