1611141258-47e186b55442da1f685bffc23984eb18 (Долгунцева Методические рекомендации к решению задач по теме Определители), страница 3
Описание файла
PDF-файл из архива "Долгунцева Методические рекомендации к решению задач по теме Определители", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 3 страницы из PDF
Òîãäà ìàòðèöà X äîëæíà áûòü êâàäðàòíîé, è êàæäûéåå ñòîëáåö X (i) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé AX (i) = E (i) , ãäåX (i) îáîçíà÷àåò i-é ñòîëáåö X . Ðàçóìíî ïîñòóïèòü àíàëîãè÷íî ïðèìåðó??, ñîñòàâèâ ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó [A|E] è ïðèâåäÿ åå ê ñòóïåí÷àòîìóâèäó, íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó.Ï ð è ì å ð 10. Íàéäèòå îáðàòíóþ ìàòðèöó A−1 äëÿ ìàòðèöû311A = −2 1 0 .100I Ïðèïèñûâàåì ê ìàòðèöå A ñïðàâà ñòîëáöû åäèíè÷íîé ìàòðèöû E ,ò.
å. ñàìó åäèíè÷íóþ ìàòðèöó, çàòåì ïðèâîäèì ëåâóþ ïîëîâèíó ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó:3−2100011011010001110001101010−10012−3−5×××A(1)A(2)A(3)A(4) = A(2) + 2A(3)A(5) = A(1) − 3A(3)A(6) = A(5) − A(4) .Âûïèñûâàåì îñòàâøèåñÿ ñòðîêè ìàòðèöû1 0001000100101−11212 −5A(3)A(4)A(6) .Ìàòðèöà, ñòîÿùàÿ â ïðàâîé ÷àñòè, îáðàòíà ê èñõîäíîé ìàòðèöå A.Ï ð è ì å ð 11. Ðåøèòå ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå2−3−315 3 −5 2 · X = −5 82−4−426J−2−3 .−2I Åñëè ìàòðèöà A íåâûðîæäåíà, òî ðåøåíèå X ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿAX = B (XA = B ) ìîæíî íàéòè, óìíîæàÿ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ ñëåâà(ñïðàâà) íà ìàòðèöó A−1 :X = A−1 B(X = BA−1 ). äàííîì ïðèìåðå ìàòðèöà A íå îáðàòèìà, ò. ê. åå ñòîëáöû ëèíåéíî çàâèñèìû: A(1) + A(2) + A(3) = 0.
Çàìåòèì, ÷òî ñòîëáöû ìàòðèöû B òàêæåëèíåéíî çàâèñèìû: B (1) + B (2) + B (3) = 0. Íàéäåì ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ.Ñîñòàâèì òàáëèöó è ïðèâåäåì åå ëåâóþ ïîëîâèíó ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó:23210001−3−5−4−11−2001220−120−1−3−5−4−11−2005862−1201−2−3−2−1000−1××××A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(8)×= A(2) − A(3)= A(1) − A(3)= A(3) − 2A(4)= A(6) + 2A(5)= A(4) + A(5) . ñòðîêå A(7) âûÿñíèëîñü, ÷òî âñå òðè ñòîëáöà íà÷àëüíîé ìàòðèöû Bäàþò ñîâìåñòíûå ñèñòåìû.
Âûïèøåì îñòàâøèåñÿ íåíóëåâûå ñòðîêè:"1001−1−1011−1−10#A(8)A(5) .Òåïåðü ïî íèì íóæíî çàïèñàòü ôóíäàìåíòàëüíûå ðåøåíèÿ ñîïóòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû AX = 0 è ïî îäíîìó ÷àñòíîìó ðåøåíèþ íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû AX = B (k) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöà ìàòðèöû B . Ïóñòü x3 ïàðàìåòð. Ïîäñòàâëÿÿ x3 = 1, íàõîäèì ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå X0 ;ïîäñòàâëÿÿ x3 = 0 íàõîäèì ÷àñòíûå ðåøåíèÿ X1 , X2 , X3 : 1X0 = 1 ,10X1 = 1 ,1X2 = −1 ,0013X3 = −10 .0Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû AX = B (k) åñòü ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå{X (k) + αk X (0) | αk ∈ R},ïðè÷åì ïàðàìåòðû α1 , α2 , α3 ìåæäó ñîáîé íåçàâèñèìû. Ïîýòîìó îáùååðåøåíèå èñõîäíîãî ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ â âèäå 01 −110 + 1 · α1 α2 α3 ,X = 1 −10èëè00X= 1001−101 −1α1 0 + α10α1α2α2α2α3α3 .α3J1.7. Ïðàâèëî ÊðàìåðàÒ å î ð å ì à 5.
Åñëè det A 6= 0, òî ñèñòåìà AX = B ëèíåéíûõ óðàâíåíèé â ìàòðè÷íîé ôîðìå çàïèñè, îíà æåA(1) x1 + A(2) x2 + . . . + A(n) xn = Bâ ôîðìå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñòîëáöîâ, èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèåX = [bx1 , xb2 , . . . , xbn ]T ,xbj = Dj / det A,ãäå Dj åñòü îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû, ïîëó÷åííîé èç ìàòðèöû A çàìåíîéñòîëáöà A(j) íà ñòîëáåö B .1.8. Äðóãèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëèòåëåéÏ ð è ì å ð 12. Íàéäèòå óñëîâèÿ, íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå äëÿ òîãî,÷òîáû òðè òî÷êè (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ) ëåæàëè íà îäíîé ïðÿìîé.I Ïóñòü Ax + By + C = 0 óðàâíåíèå ïðÿìîé.
Ïðèíàäëåæíîñòüäàííûõ òî÷åê ïðÿìîé ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå òîæäåñòâAx1 + By1 + C = 0,Ax2 + By2 + C = 0,Ax + By + C = 0.3314Äàííóþ ñèñòåìó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îäíîðîäíóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ A, B , C , èìåþùóþ íåíóëåâîåðåøåíèå.Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèåòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà rk A ìåíüøå ÷èñëà ïåðåìåííûõ.
Ïîñëåäíååîçíà÷àåò ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü ñòðîê ìàòðèöû, ÷òî ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâó íóëþ îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû ñèñòåìû, ò. å. x 1 x2 x3y1y2y3111 = 0.JÏ ð è ì å ð 13. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåçòî÷êè (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ), íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé.I Ïóñòü (x, y) åñòü ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà îêðóæíîñòè, è(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 óðàâíåíèå èñêîìîé îêðóæíîñòè. Òàê êàê âñå ÷åòûðå òî÷êè (x, y), (x1 , y1 ),(x2 , y2 ), (x3 , y3 ) ïðèíàäëåæàò íà äàííîé îêðóæíîñòè, òî èõ êîîðäèíàòûóäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ îêðóæíîñòè.
Ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî x0 , y0 è R: 22222x − 2xx0 + x0 + y − 2yy0 + y0 − R = 0,x2 − 2x x + x2 + y 2 − 2y y + y 2 − R2 = 0,1 0101 010x22 − 2x2 x0 + x20 + y22 − 2y2 y0 + y02 − R2 = 0, 22222x3 − 2x3 x0 + x0 + y3 − 2y3 y0 + y0 − R = 0,êîòîðóþ ïåðåïèøåì â âèäå−2xx0 − 2yy0 + (x20 + y02 − R2 ) + (x2 + y 2 ) = 0,−2x x − 2y y + (x2 + y 2 − R2 ) + (x2 + y 2 ) = 0,1 01 00011−2x2 x0 − 2y2 y0 + (x20 + y02 − R2 ) + (x22 + y22 ) = 0,22222−2x3 x0 − 2y3 y0 + (x0 + y0 − R ) + (x3 + y3 ) = 0.Ïîëó÷èëè ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ x0 , y0 è x20 +y02 −R2 . Îíà ñîâìåñòíà òîãäà, êîãäà ñòðîêè ðàñøèðåííîé ìàòðèöû äàííîéñèñòåìû ëèíåéíî çàâèñèìû, ò.
å.−2x−2x1−2x2−2x3−2y−2y1−2y2−2y3111115x2 + y 2x21 + y12x22 + y22x23 + y32 = 0.JÏ ð è ì å ð 14. Äîêàæèòå ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü ñèñòåìû ôóíêöèéek1 x , ek2 x , . . . , ekn x ,ãäå âñå k1 , k2 , . . . , kn ïîïàðíî ðàçëè÷íûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà.I Çàïèøåì òðèâèàëüíóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþα1 ek1 x + α2 ek2 x + . . . + αn ekn x = 0è ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî n − 1 ðàç. Ïîëó÷èì ñèñòåìóóðàâíåíèé: k xk xk xee12...enα1 k1 ek1 xk2 ek2 x...kn ekn x α2 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · . . . = 0.k1n−1 ek1 xk2n−1 ek2 xknn−1 ekn x...αnÒàê êàê eki 6= 0, i = 1, 2, . . . , n, òî ñèñòåìà ðàâíîñèëüíà ñèñòåìå 11...1α1 k1k2...kn α2 . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . · . . . = 0.k1n−1k2n−1...knn−1αnÎïðåäåëèòåëü ìàòðèöû äàííîé ñèñòåìû åñòü îïðåäåëèòåëü Âàíäðåìîíäà,êîòîðûé íå ðàâåí íóëþ äëÿ ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ ÷èñåë k1 , k2 , . . . , kn .Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà óðàâíåíèé èìååò òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå α1 =. . . = αn = 0, è äàííàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé ëèíåéíî íåçàâèñèìà.J16.
