1611141258-47e186b55442da1f685bffc23984eb18 (Долгунцева Методические рекомендации к решению задач по теме Определители), страница 2

Ïðè ýòîì,âû÷èñëèâ èç ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ íåñêîëüêî îïðåäåëèòåëåé ìàëûõïîðÿäêîâ, ñòàðàþòñÿ çàìåòèòü âèä èñêîìîãî âûðàæåíèÿ, à çàòåì äîêàçûâàþò ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî âûðàæåíèÿ ïðè ëþáîì n ñ ïîìîùüþ ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ è èíäóêöèè ïî n.II ñïîñîá (¾ñâåðõó âíèç¿).  ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå, âûðàæàþùååîïðåäåëèòåëü n-ãî ïîðÿäêà, ïîäñòàâëÿþò âûðàæåíèå îïðåäåëèòåëÿ (n−1)ãî ïîðÿäêà, ïîëó÷åííîå èç òîãî æå ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ çàìåíîén íà n − 1, äàëåå ïîäñòàâëÿþò àíàëîãè÷íîå âûðàæåíèå äëÿ îïðåäåëèòåëÿ (n − 2)-ãî ïîðÿäêà è ò. ä., ïîêà íå âûÿñíèòñÿ âèä èñêîìîãî îáùåãîâûðàæåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ n-ãî ïîðÿäêà.6Ìîæíî êîìáèíèðîâàòü îáà ïóòè, èñïîëüçóÿ âòîðîé ñïîñîá äëÿ íàõîæäåíèÿ îáùåãî âèäà âûðàæåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ n-ãî ïîðÿäêà, à çàòåì äîêàçûâàÿ ñïðàâåäëèâîñòü äàííîãî âûðàæåíèÿ ïî èíäóêöèè.Ï ð è ì å ð 6.

Âû÷èñëèòå ìåòîäîì ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé îïðåäåëèòåëü 5 6 0 0 0. . . 0 0 4 5 2 0 0. . . 0 0 0 1 3 2 0. . . 0 0 . . . 0 0 .Dn = 0 0 1 3 2 ................................ 0 0 0 0 0. . . 3 2 0 0 0 0 0... 1 3 I Áóäåì ðàçëàãàòü äàííûé îïðåäåëèòåëü ïî ïîñëåäíåé ñòðîêå. 5 6 0 0 0... 0 0 4 5 2 0 0... 0 0 0 1 3 2 0... 0 0...

0 0Dn = (−1)n+n · 3 · Dn−1 + (−1)n+(n−1) 0 0 1 3 2 ................................ 0 0 0 0 0... 3 0 0 0 0 0 0... 1 2.Äàëåå ðàçëîæèì âòîðîé îïðåäåëèòåëü ïî ïîñëåäíåìó ñòîëáöó. Ïîëó÷èìðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèåDn = 3 · Dn−1 − 2 · Dn−2 .Äàííîå ñîîòíîøåíèå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê âûðàæåíèþ âèäàDn − Dn−1 = 2 · (Dn−1 − Dn−2 )èëèDn − 2Dn−1 = Dn−1 − 2Dn−2 .Ðàññìîòðèì ïåðâîå èç íèõ.

Èñïîëüçóÿ ýòî ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ Dn−1 −Dn−2 è ïîäñòàâèì åãî â èñõîäíîå (ìåòîä ¾ñâåðõó âíèç¿).Dn − Dn−1 = 2 · (Dn−1 − Dn−2 ) = 22 · (Dn−2 − Dn−3 ).Ïðîäîëæàÿ òàê äàëåå, íàõîäèì âûðàæåíèå äëÿ Dn − Dn−1 ÷åðåç îïðåäåëèòåëè íàèìåíüøèõ ïîðÿäêîâ D2 è D1 , êîòîðûå ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû 1è 5.Dn − Dn−1 = 2n−2 · (D2 − D1 ) = −2n .7Òåïåðü ðàññìîòðèì âòîðîå ñëåäñòâèå ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿDn − 2Dn−1 = Dn−1 − 2Dn−2 .Ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ, íàõîäèì çíà÷åíèå Dn − 2Dn−1 :Dn − 2Dn−1 = Dn−1 − 2Dn−2 = . . . = D2 − 2D1 = −9.Èç ñèñòåìû ðàâåíñòâDn − Dn−1 = −2n ,Dn − 2Dn−1 = −9,íàõîäèì Dn−1 = 9.

Òîãäà Dn = Dn−1 − 2n = 9 − 2n .JÏðåäñòàâëåíèå îïðåäåëèòåëÿ â âèäå ñóììû îïðåäåëèòåëåé. Íåêîòîðûåîïðåäåëèòåëè ëåãêî âû÷èñëÿþòñÿ ïóòåì ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ â ñóììó îïðåäåëèòåëåé òîãî æå ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî ñòðîê (ñòîëáöîâ).Ï ð è ì å ð 7. Ïðåäñòàâèâ îïðåäåëèòåëü â âèäå ñóììû äâóõ îïðåäåëåòåëåé, âû÷èñëèòå x1a1 b2 a1 b3 . . . a1 bn a2 b1x2a2 b3 .

. . a2 bn x3. . . a3 bn .Dn = a3 b1 a3 b2 .............................. an b1 an b2 an b3 . . . xn I Ê xn ïðèáàâèì è âû÷òåì an bn . Òîãäà ïîñëåäíèé ñòîëáåö äàííîãî îïðåäåëèòåëÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ ñòîëáöîâ, à ñàìîïðåäåëèòåëü â âèäå ñóììû äâóõ îïðåäåëèòåëåé, îòëè÷àþùèõñÿ òîëüêîïîñëåäíèìè ñòîëáöàìè. x1a1 b2 . . .a 1 bn a2 b1x...ab22 n=Dn = ...................................... an b1 an b2 . . . (xn − an bn ) + an bn x1a1 b2 . .

. a1 bn x1a1 b2 . . .0 a2 b1x...ababx...022 n 2 12= + ............................. ........................ an b1 an b2 . . . an bn an b1 an b2 . . . xn − an bn Ðàçëàãàÿ âòîðîé îïðåäåëèòåëü ïî ïîñëåäíåìó ñòîëáöó, ïîëó÷èì îïðåäåëèòåëü òîãî æå âèäà, ÷òî è èñõîäíûé, òîëüêî ïîðÿäêà n − 1.Ðàññìîòðèì îòäåëüíî ïåðâûé îïðåäåëèòåëü. Âû÷èñëèì åãî ìåòîäîìïðèâåäåíèÿ ê òðåóãîëüíîìó âèäó. Çàìåòèì, ÷òî âñå ýëåìåíòû ïîñëåäíåé8ñòðîêè êðàòíû an . Âûíåñåì an èç ïîñëåäíåé ñòðîêè è, ïîñëåäîâàòåëüíîäîìíîæàÿ åå íà ai , áóäåì âû÷èòàòü èç i-îé ñòðîêè, ãäå 1 ≤ i ≤ (n − 1). x1 x1 a1 b2 . .

. a1 bn a1 b2 . . . a1 bn a2 b1 a2 b1 x2 . . . a2 bn x2. . . a2 bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = an · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = an b1 an b2 . . . an bn b1b2...bn x1 − a1 b10. . . 0 0x2 − a2 b2 . . . 0 = an · .............. . . . . .

. . . . . . . . . . . . b1b2. . . bn Ïîëó÷åííûé îïðåäåëèòåëü îïðåäåëèòåëü íèæíåòðåóãîëüíîé. Îí ðàâåíïðîèçâåäåíèþ ýëåìåíòîâ ãëàâíîé äèàãîíàëè. Ñëåäîâàòåëüíî, x1a1 b2 . . . a1 bn a2 b1x2. . . a2 bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

= an bn (x1 −a1 b1 )(x2 −a2 b2 ) . . . (xn−1 −an−1 bn−1 ). an b1 an b2 . . . an bn Èòàê, ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå äëÿ Dn èìååò âèäDn = (x1 − a1 b1 )(x2 − a2 b2 ) . . . (xn−1 − an−1 bn−1 )an bn + (xn − an bn )Dn−1 .Èñïîëüçóÿ ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå, íàõîäèìDn =(x1 − a1 b1 )(x2 − a2 b2 ) . . . (xn−1 − an−1 bn−1 )an bn ++ (x1 − a1 b1 ) .

. . (xn−2 − an−2 bn−2 )(xn − an bn )an−1 bn−1 ++ (xn − an bn )(xn−1 − an−1 bn−1 )Dn−2 .Ïðîäîëæàÿ òàê äàëåå, ïîëó÷èìDn =(x1 − a1 b1 )(x2 − a2 b2 ) . . . (xn−1 − an−1 bn−1 )an bn ++ (x1 − a1 b1 ) . . . (xn−2 − an−2 bn−2 )(xn − an bn )an−1 bn−1 + . . .+ (x2 − a2 b2 ) .

. . (xn−1 − an−1 bn−1 )(xn − an bn )a1 b1 .Âûíîñÿ ìíîæèòåëü(xi − ai bi ), ïîëó÷èì âûðàæåíèå îïðåäåëèòåëÿQ1≤i≤nDn =Y(xi − ai bi ) ×1≤i≤nX1≤j≤n9aj bj.xj − aj bjJÂûäåëåíèå ëèíåéíûõ ìíîæèòåëåé. Îïðåäåëèòåëü ðàññìàòðèâàåòñÿ êàêìíîãî÷ëåí îò îäíîé èëè íåñêîëüêèõ âõîäÿùèõ â íåãî áóêâ.

Ïðåîáðàçóÿåãî, âûÿñíÿþò, ÷òî îí äåëèòñÿ íà ðÿä ëèíåéíûõ ìíîæèòåëåé, à çíà÷èò,åñëè ýòè ìíîæèòåëè âçàèìíî ïðîñòû, è íà èõ ïðîèçâåäåíèå.Ñðàâíèâàÿ îòäåëüíûå ÷ëåíû îïðåäåëèòåëÿ ñ ÷ëåíàìè ïðîèçâåäåíèÿìíîæèòåëåé, íàõîäÿò ÷àñòíîå îò äåëåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ íà ýòî ïðîèçâåäåíèå è òåì ñàìûì íàõîäÿò ñàì îïðåäåëèòåëü.Ï ð è ì å ð 8. Âû÷èñëèòå ìåòîäîì âûäåëåíèÿ ëèíåéíûõ ìíîæèòåëåéîïðåäåëèòåëü Âàíäåðìîíäà n-ãî ïîðÿäêà 1 x1 x21 . . .

xn−11 1 x2 x22 . . . x2n−1 .Dn = . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . .n−1 1 xn xn . . . xn I Ðàññìîòðèì Dn êàê ìíîãî÷ëåí îò ïåðåìåííîé xn â êîýôôèöèåíòàìè, çàâèñÿùèìè îò x1 , x2 , . . . , xn−1 . Âèäèì, ÷òî Dn îáðàùàåòñÿ â íóëüïðè xn = x1 , xn = x2 , .

. . , xn = xn−1 . Ñëåäîâàòåëüíî, Dn äåëèòñÿ íàìíîãî÷ëåíû xn − x1 , xn − x2 , . . . , xn − xn−1 . Òàê êàê âñå ýòè ìíîãî÷ëåíûâçàèìíî ïðîñòû, òî Dn äåëèòñÿ è íà èõ ïðîèçâåäåíèå, ò. å.Dn = q · (xn − x1 )(xn − x2 ) . . . (xn − xn−1 ),(2)ãäå q íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí, çàâèñÿùèé îò x1 , x2 , . . . , xn .Ðàçëàãàÿ îïðåäåëèòåëü Âàðäåðìîíäà ïî ïîñëåäíåé ñòðîêå, âèäèì, ÷òîîí ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè n − 1 îò xn , ïðè÷åì êîýôôèöèåíò ïðèñòàðøåì ÷ëåíå xn−1ðàâåí Dn−1 :nDn = Dn−1 xn−1+ ìëàäøèå ÷ëåíû.nÑ äðóãîé ñòîðîíû, èç ðàâåíñòâà (2) êîýôôèöèåíò ïðè xn−1ðàâåí q . Ñëånäîâàòåëüíî,q = Dn−1 .Ïîëó÷èëè ðåêóððåíòíóþ ôîðìóëóDn = Dn−1 (xn − x1 )(xn − x2 ) . .

. (xn − xn−1 ).Îòêóäà íàõîäèì âûðàæåíèå äëÿ èñõîäíîãî îïðåäåëèòåëÿYDn =(xi − xj ).1≤j<i≤n10J1.5. Ðàíã ìàòðèöû ïî ìèíîðàì. Ìåòîä îêàéìëÿþùèõ ìèíîðîâÎ ï ð å ä å ë å í è å 6. Ðàíãîì ïî ìèíîðàì ïðîèçâîëüíîé (íåîáÿçàòåëüíîêâàäðàòíîé) ìàòðèöû A íàçûâàþò íàèáîëüøèé ïîðÿäîê rk M A åå ìèíîðàñ íåíóëåâûì çíà÷åíèåì.Ò å î ð å ì à 2. Ðàíã ìàòðèöû ïî ìèíîðàì ðàâåí åå ñòðî÷íîìó/ñòîëáöîâîìó ðàíãó.Î ï ð å ä å ë å í è å 7. Îêàéìëÿþùèì ìèíîðîì äàííîãî ìèíîðà M ìàòf, âû÷åðêèâàíèå èç êîòîðîãî êðàéíåéðèöû A íàçûâàþò êàæäûé ìèíîð Mñòðîêè è êðàéíåãî ñòîëáöà äàåò M .Ò å î ð å ì à 3. Ðàíã A ïî ìèíîðàì ðàâåí òàêîìó ÷èñëó r, ÷òî ó A èìååòñÿ íåíóëåâîé ìèíîð M ïîðÿäêà r, à çíà÷åíèÿ âñåõ ìèíîðîâ A, îêàéìëÿþùèõ M , íóëåâûå.Òàêèì îáðàçîì, ïðè âû÷èñëåíèè ðàíãà ìàòðèöû A ïî ìèíîðàì, ñëåäóåò ïåðåõîäèòü îò ìèíîðîâ ìåíüøèõ ïîðÿäêîâ ê ìèíîðàì áîëüøèõ ïîðÿäêîâ.

Åñëè M 6= 0 ïîðÿäêà r, òî ñëåäóåò âû÷èñëÿòü ëèøü ìèíîðû ïîðÿäêàr + 1, îêàéìëÿþùèå M . Åñëè âñå îíè ðàâíû 0, òî rk A = r.Ï ð è ì å ð 9. Íàéäèòå ìåòîäîì îêàéìëÿþùèõ ìèíîðîâ ðàíã ìàòðèöû2−13A =  4 −2 52−11−21847 .2I  êà÷åñòâå íåíóëåâîãîìèíîðàïîðÿäêà 1 ìîæíî âçÿòü M1 = 2. 2 −1 Ðàññìîòðèì ìèíîð M2 = ïîðÿäêà 2, îêàéìëÿþùèé íàéäåííûé4 −2 ìèíîð M1 .

Çàìåòèì,÷òî M2 = 0. Ïîýòîìó ðàññìîòðèì åùå îäèí ìèíîð23 ïîðÿäêà 2, îêàéìëÿþùèé ìèíîð M1 . Òàê êàê M20 6= 0, òîM20 = 4 5 ïåðåéäåì ê ìèíîðàì 3-ãî ïîðÿäêà, îêàéìëÿþùèì äàííûé ìèíîð. ìàòðèöå A ñîäåðæèòñÿ òðè ìèíîðà ïîðÿäêà 3, îêàéìëÿþùèõ ìèíîðM20 . À èìåííî, 2 3 −1 2 3 −2 2 3 4 M3 = 4 5 −2 , M30 = 4 51 , M300 = 4 5 7 . 2 1 −1 2 1 2 1 2 8 Ïîñêîëüêó êàæäûé èç íèõ ðàâåí íóëþ, òî rk M A = 2.J1.6. Êðèòåðèé íåâûðîæäåííîñòè ìàòðèöû. Îáðàòíûå ìàòðèöû11Ò å î ð å ì à 4.

Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ íà n × n ìàòðèöó A ðàâíîñèëüíû :1) det A 6= 0;2) rk A = n;3) ñóùåñòâóåò òàêàÿ ìàòðèöà A−1 , ÷òî AA−1 = A−1 A = E .Î ï ð å ä å ë å í è å 8. Åñëè ýòè óñëîâèÿ âûïîëíåíû, òî ìàòðèöó A íàçûâàþò íåâûðîæäåííîé, à ìàòðèöó A−1 îáðàòíîé ê A.Îáîçíà÷èì A∨ òðàíñïîíèðîâàííóþ ìàòðèöó àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëi+jíåíèé, ò. å. ìàòðèöó ñ ýëåìåíòàìè a∨Mji .

Òîãäàij = (−1)A−1 =1· A∨ .det AÎäíàêî ïðè âû÷èñëåíèè îáðàòíûõ ìàòðèö áîëåå ýôôåêòèâíûì è ìåíååòðóäîåìêèì ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé.Çàìåòèì, ÷òî îáðàòíàÿ ìàòðèöà A−1 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ìàòðè÷íîãîóðàâíåíèÿ AX = E ñ èçâåñòíîé ìàòðèöåé A è åäèíè÷íîé ìàòðèöåé E(òîãî æå ðàçìåðà).