1611141258-47e186b55442da1f685bffc23984eb18 (Долгунцева Методические рекомендации к решению задач по теме Определители)

1. ÎÏÐÅÄÅËÈÒÅËÈ1.1. Ïåðåñòàíîâêè è ïîäñòàíîâêèÎ ï ð å ä å ë å í è å 1. Âñÿêîå ðàñïîëîæåíèå ÷èñåë 1, 2, . . . , n â íåêîòîðîìïîðÿäêå íàçûâàåòñÿ ïåðåñòàíîâêîé (n-ïåðåñòàíîâêîé).Ìíîæåñòâî âñåõ n-ïåðåñòàíîâîê îáîçíà÷àåòñÿ Pn . ×èñëî âñåâîçìîæíûõ n-ïåðåñòàíîâîê ðàâíî n!.Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Ãîâîðÿò, ÷òî â äàííîé ïåðåñòàíîâêå ÷èñëà i è j îáðàçóþò èíâåðñèþ, åñëè i > j , íî ñòîèò ðàíüøå j . Ïåðåñòàíîâêà íàçûâàåòñÿ÷åòíîé, åñëè ÷èñëî èíâåðñèé ÷åíîå, èíà÷å íå÷åòíîé.Î ï ð å ä å ë å í è å 3.

Âñÿêîå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà {1, 2, . . . , n} íà ñåáÿ íàçûâàåòñÿ ïîäñòàíîâêîé (n-ïîäñòàíîâêîé).Îáû÷íî ïîäñòàíîâêè çàïèñûâàþò â âèäå òàáëèöû, ðàñïîëàãàÿ ÷èñëà âïåðâîé ñòðîêå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ:1 2 ... nσ=,i1i2...inãäå (i1 , i2 , . . . , in ) n-ïåðåñòàíîâêà. Òàêàÿ ôîðìà çàïèñè îçíà÷àåò, ÷òîσ(1) = i1 , σ(2) = i2 , .

. . , σ(n) = in .Ìíîæåñòâî âñåõ n-ïîäñòàíîâîê îáîçíà÷àåòñÿ Sn . ×èñëî ðàçëè÷íûõ nïîäñòàíîâîê ðàâíî ÷èñëó âñåõ n-ïåðåñòàíîâîê. ×èñëî èíâåðñèé ïîäñòàíîâêè inv σ ðàâíî ÷èñëó èíâåðñèé ïåðåñòàíîâêè (i1 , i2 , . . . , in ). Çíàê sgn σïîäñòàíîâêè σ ðàâåí (−1)inv σ .Ï ð è ì å ð 1. Îïðåäåëèòå ÷åòíîñòü ïåðåñòàíîâêè (7, 5, 6, 4, 1, 3, 2).I Êîëè÷åñòâî èíâåðñèé ìîæíî ïîäñ÷èòàòü êàê ÷èñëî ýëåìåíòîâ ïåðåñòàíîâêè ïåðåä 1 + ÷èñëî ýëåìåíòîâ ïåðåä 2, êðîìå 1, + ÷èñëî ýëåìåíòîâïåðåä 3, êðîìå 1 è 2, è ò.ä..

. .Äëÿ äàííîé ïåðåñòàíîâêè ÷èñëî èíâåðñèé ðàâíî 4+5+4+3+1+1 = 18.Ñëåäîâàòåëüíî, äàííàÿ ïåðåñòàíîâêà ÷åòíàÿ.J1.2. Êîìáèíàòîðíîå îïðåäåëåíèå îïðåäåëèòåëÿÎ ï ð å ä å ë å í è å 4. Ïóñòü A êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà n-ãî ïîðÿäêà.Îïðåäåëèòåëåì ìàòðèöû A íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà n! ñëàãàåìûõ, êàæäûé ÷ëåí êîòîðîé ïðîèçâåäåíèå n ýëåìåíòîâ ìàòðèöû A,âçÿòûõ ïî îäíîìó èç êàæäîé ñòðîêè è êàæäîãî ñòîëáöà. Ïðè ýòîì êàæäîåñëàãàåìîå a1i1 a2i2 . . .

anin âõîäèò ñî çíàêîì sgn σ , ãäå σ =11 2 ... ni 1 i2 . . . i n,ò. å.det A =Xsgn σ a1i1 a2i2 . . . anin .(1)σ∈SnÏ ð è ì å ð 2. Âûÿñíèòå, êàêèå èç ïðîèçâåäåíèé âõîäÿò â îïðåäåëèòåëüñîîòâåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà? Åñëè âõîäÿò, òî ñ êàêèì çíàêîì?à) a27 a36 a51 a74 a25 a43 a62 ;á) a33 a16 a72 a27 a55 a61 a44 .I à) Íå âõîäèò, ò. ê.

ïðîèçâåäåíèå ñîäåðæèò äâà ìíîæèòåëÿ èç âòîðîéñòðîêè: a27 è a25 .á) Âõîäèò ñî çíàêîì +, ò. ê. ïîäñòàíîâêà16273344556172÷åòíàÿ (÷èñëî èíâåðñèé ðàâíî 16).JÏ ð è ì å ð 3. Ïîëüçóÿñü òîëüêî îïðåäåëåíèåì îïðåäåëèòåëÿ, âû÷èñëèòå a110...0 a21 a22 . . .0 .................... .

an1 an2 . . . ann I Çàìåòèì, ÷òî åäèíñòâåííûì íåíóëåâûì ñëàãàåìûì â ïðàâîé ÷àñòè (1) áóäåò òîëüêî ïðîèçâåäåíèåa11 a22 . . .ann . Åãî èíäåêñû ñîñòàâëÿþòòîæäåñòâåííóþ ïîäñòàíîâêó ε =1 2 ... n1 2 ... na110...0a21 a22 . . .0....................an1 an2 . . . ann, sgn ε = 1. Ñëåäîâàòåëüíî, = a11 a22 . . . ann .J1.3. Âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëåé ìàëîãî ïîðÿäêàÏ ð å ä ë î æ å í è å 1 (Ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåé).1) Äëÿ ëþáîé êâàäðàòíîé ìàòðèöû det A = det AT . ÷àñòíîñòè, âñå ñâîéñòâà, ñôîðìóëèðîâàííûå äëÿ ñòðîê, âåðíû è äëÿñòîëáöîâ.2) Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñ íóëåâîé ñòðîêîé ðàâåí íóëþ.3) Åñëè â ìàòðèöå ïîìåíÿòü ìåñòàìè ëþáûå äâå ñòðîêè, òî îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñìåíèò çíàê íà ïðîòèâîïîëîæíûé.24) Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñ äâóìÿ îäèíàêîâûìè ñòðîêàìè ðàâåí íóëþ.5) Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû åñòü ïîëèëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ ñòðîê ìàòðèöû.6) Äëÿ ëþáîé n × n ìàòðèöû A è ëþáîãî ñêàëÿðà λdet(λA) = λn det A.7) Ïðèáàâëåíèå ê îäíîé ñòðîêå äðóãîé, óìíîæåííîé íà ÷èñëî, íå ìåíÿåò îïðåäåëèòåëÿ.8) Äëÿ âñåõ n × n ìàòðèö A è Bdet(A · B) = det A · det B.Î ï ð å ä å ë å í è å 5.

Ìèíîðîì ïîðÿäêà k (íå îáÿçàòåëüíî êâàäðàòíîé)ìàòðèöû A íàçûâàþò îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû, ñîñòàâëåííîé èç ýëåìåíòîâìàòðèöû A, ñòîÿùèõ íà ïåðåñå÷åíèè êàêèõ-ëèáî ðàçëè÷íûõ k ñòðîê è kñòîëáöîâ ìàòðèöû A.Ïóñòü A n × n ìàòðèöà. Îáîçíà÷èì Mij (A) ìèíîð ïîðÿäêà n − 1, ïîëó÷åííûé èç A âû÷åðêèâàíèåì ñòðîêè è ñòîëáöà, ñîäåðæàùèõ aij . ×èñëî(−1)i+j Mij (A) íàçûâàþò àëãåáðàè÷åñêèì äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà aij ìàòðèöû A.Ò å î ð å ì à 1 (Ëàïëàñ). Äëÿ êàæäîé ñòðîêè ìàòðèöû A îïðåäåëèòåëü det A ðàâåí ñóììå ïðîèçâåäåíèé ýëåìåíòîâ â ýòîé ñòðîêå íà èõàëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ; àíàëîãè÷íî äëÿ êàæäîãî ñòîëáöà:Xdet A =(−1)i+j aij Mij (A), 1 ≤ i ≤ n;1≤j≤ndet A =X(−1)i+j aij Mij (A),1 ≤ j ≤ n.1≤i≤nîïðåäåëèòåëåé,Ï ð è ì å ð 4.

Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè âû÷èñëèòå: a 3 0 5 1111 0 b 0 2 1 −111 ;à) á). 11 −11 1 2 c 3 0 0 0 d 111 −1 I à) Îïðåäåëèòåëè ïîðÿäêà 4 è âûøå âû÷èñëÿþò ðàçëîæåíèåì ïîñòðîêå èëè ïî ñòîëáöó. Ïðè ýòîì ëó÷øå âûáèðàòü òó ñòðîêó (èëè ñòîëáåö),â êîòîðîé ïî÷òè âñå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ. äàííîì ïðèìåðå ðàçëîæèì îïðåäåëèòåëü, íàïðèìåð, ïî ïîñëåäíåéñòðîêå.

Òàê êàê ïî÷òè âñå ýëåìåíòû ýòîé ñòðîêè, êðîìå d, ðàâíû íóëþ,3òî åäèíñòâåííûì íåíóëåâûì ñëàãàåìûìãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå a 3 0 5 a 0 b 0 2 = (−1)4+4 d · 0 1 2 c 3 1 0 0 0 d Äàëåå ìîæíî ðàçëîæèòü a 3d · 0 b 1 2áóäåò ïðîèçâåäåíèå d íà åãî àë-3b200c a 3 0 = d · 0 b 0 . 1 2 c ïî ïîñëåäíåìó ñòîëáöó0 a 30 = (−1)3+3 cd 0 bc = abcd.á) Ïðåîáðàçóåì îïðåäåëèòåëü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îäèí èç åãî ñòîëáöîâ (èëè îäíà èç ñòðîê) ñîäåðæàë(à) ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî íóëåé.Äëÿ ýòîãî áóäåì ïðèáàâëÿòü ê ñòðîêàì (ñòîëáöàì) îïðåäåëèòåëÿ äðóãèåñòðîêè (ñòîëáöû), óìíîæåííûå íà ïîäõîäÿùèå ÷èñëà. Ïðè ýòîì âàæíîñëåäèòü çà òåì, ÷òîáû èçìåíÿòü èìåííî òó ñòðîêó (ñòîëáåö), ê êîòîðîéïðèáàâëÿåì, à òàêæå çà ïîðÿäêîì ñòðîê.Ïðèáàâèì ïîñëåäíþþ ñòðîêó êî âñåì ïðåäûäóùèì è ðàçëîæèì îïðåäåëèòåëü ïî ïîñëåäíåìó ñòîëáöó 1111 2 2 20 2 2 2 1 −1 2 0 2110= = (−1)4+4 · (−1) · 2 0 2 .

1 2 2 01−110 2 2 0 111 −11 1 1 −1Äàëåå, åñëè âûíåñòè 2 èç êàæäîé ñòðîêè îïðåäåëèòåëÿ è âû÷åñòü èç ïåðâîãî ñòîëáöà ïîñëåäíèé, ïîëó÷èì 2 2 2 0 1 1 − 2 0 2 = −23 · 0 0 1 . 2 2 0 1 1 0 Îñòàëîñü ðàçëîæèòü ïî ïåðâîìó ñòîëáöó: 03 −2 · 0 110111033+1 1· = −2 · (−1) 01.4. Âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëåé4n-ãî113 = −2 .ïîðÿäêàJÌåòîä âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëåé ñ ÷èñëîâûìè ýëåìåíòàìè, ñîñòîÿùèé â îáðàùåíèè â íóëü âñåõ ýëåìåíòîâ íåêîòîðîé ñòðîêè (ñòîëáöà), êðîìå îäíîãî, è ïîñëåäóþùåì ïîíèæåíèè ïîðÿäêà, ñòàíîâèòñÿ âåñüìà ãðîìîçäêèì â ñëó÷àå îïðåäåëèòåëåé ñ áóêâåííûìè ýëåìåíòàìè. Òåì áîëååýòîò ìåòîä íåóäîáåí â ñëó÷àå âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëåé ïðîèçâîëüíîãîïîðÿäêà n.Îáùåãî ìåòîäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ òàêèõ îïðåäåëèòåëåé íå ñóùåñòâóåò.Ê îïðåäåëèòåëÿì òîãî èëè èíîãî ñïåöèàëüíîãî âèäà ïðèìåíÿþò ðàçëè÷íûå ìåòîäû, ïðèâîäÿùèå ê áîëåå ïðîñòîé, ÷åì (1) , ôîðìóëå.

Ïðèâåäåìíàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå èç íèõ.Ïðèâåäåíèå ê òðåóãîëüíîìó âèäó. Îïðåäåëèòåëü ïðåîáðàçóþò ê òàêîìó âèäó, ãäå âñå ýëåìåíòû, ëåæàùèå ïî îäíîìó ñòîðîíó îäíîé èç äèàãîíàëåé, ðàâíû íóëþ. Ñëó÷àé ïîáî÷íîé äèàãîíàëè ñâîäèòñÿ ê ãëàâíîé ïóòåìèçìåíåíèÿ ïîðÿäêà ñòðîê (ñòîëáöîâ).Ï ð è ì å ð 5. Âû÷èñëèòå ïðèâåäåíèåì ê òðåóãîëüíîìó âèäó îïðåäåëèòåëü 1 2 3 ... n − 2 n − 1 n 2 3 4 ... n − 1nn nnn .D = 3 4 5 . . . ................................. n n n ...nnn I Âû÷òåì ïîñëåäíþþ ñòðîêó èç êàæäîé ñòðîêè. 1 2 3 . .

. n − 2 n − 1 n 1 − n 2 − n . . . −2 −1 0 2 3 4 ... n − 1nn 2 − n 3 − n . . . −100nnn = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .D = 3 4 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −10...000 n n n ...nnn nn... nn n.Ðàçëîæèì ïîëó÷åííûé îïðåäåëèòåëü ïî ïîñëåäíåìó ñòîëáöó.

Ïîëó÷èìîïðåäåëèòåëü, ñîäåðæàùèé íóëåâûå ýëåìåíòû íèæå ïîáî÷íîé äèàãîíàëè.Ïðè ýòîì ïîëó÷åííûé îïðåäåëèòåëü èìååò ïîðÿäîê n − 1. 1 − n 2 − n . . . −2 −1 2 − n 3 − n . . . −1 0 .D = (−1)n+n · n · ............................ −10...00 Ïåðåñòàíîâêîé ñòîëáöîâ ïðèâåäåì ìàòðèöó îïðåäåëèòåëÿ ê âåðõíåòðåóãîëüíîìó âèäó. Äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà ïîñòàâèì ïîñëåäíèé ñòîëáåö íà ìåñòîïåðâîãî, ïîñëåäîâàòåëüíî ïåðåñòàâëÿÿ åãî ñ ñîñåäíèì ñòîëáöîì.

Ïðè ýòîì5áóäåò ïðîèçâåäåíî n − 1 ïåðåñòàíîâêà ñòîëáöîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëèòåëü èçìåíèò çíàê n − 1 ðàç. −1 1 − n 2 − n . . . −2 2 − n 3 − n . . . −1 n−1 0D = n · (−1)·. ............................ 0−10...0 Àíàëîãè÷íî ïåðåñòàâèì ïîñëåäíèé ñòîëáåö ïîëó÷åííîãî îïðåäåëèòåëÿ íàìåñòî âòîðîãî. Ïðè ýòîì îïðåäåëèòåëü èçìåíèò çíàê n − 2 ðàçà. −1 −2 1 − n 2 − n . . .

−3 0 −1 2 − n 3 − n . . . −2 .D = n · (−1)(n−1)+(n−2) · .................................. 00−10...0 Ïðîäîëæàÿ òàê äàëåå ïåðåñòàâëÿòü ñòîëáöû, ïîëó÷èìD==(n−1)+(n−2)+...+1 n · (−1)·n · (−1)n(n−1)2−1 −2 . . . 1 − n0−1 . . . 2 − n.....................00...−1· (−1)n−1 = (−1)(n−1)(n+2)2J· n.Ìåòîä ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé. Îïðåäåëèòåëü âûðàæàþò, ïðåîáðàçóÿ è ðàçëàãàÿ ïî ñòðîêå èëè ñòîëáöó, ÷åðåç îïðåäåëèòåëè òîãî æåâèäà, íî ìåíüøåãî ïîðÿäêà. Ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ ðåêóððåíòíûì ñîîòíîøåíèåì.I ñïîñîá (¾ñíèçó ââåðõ¿). Ïî îáùåìó âèäó îïðåäåëèòåëÿ âû÷èñëÿþòñòîëüêî îïðåäåëèòåëåé íèçøèõ ïîðÿäêîâ, ñêîëüêî èõ áûëî â ïðàâîé ÷àñòè ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ. Îïðåäåëèòåëè áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîââû÷èñëÿþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî èç ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ.