Линеаризованные уравнения возмущенного продольного движения (Лекции)

ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ПРОДОЛЬНОГОДВИЖЕНИЯЛинеаризованные уравнения изолированного продольного возмущенного движения безучета ветра можно известным образом получить из соответствующих нелинейных уравнений&   X a  P cos(    T )  g sin  ,VmYPsin(  T ) g cos  ,&  amVV& z  M Rz / J z ,x&  V cos  ,&  V sin  ,H&  ,z  .Например, из первого уравнения, с учетом того, что X a  X a  X a ,X a  X a X a и т.д., следуетVV&   X a  P cos(  оп   T ) V Vm X  P cos(  оп   T )  Pоп sin(  оп   T )  a g cos оп  m  X aH  P H cos(  оп   T ) 0  z  0  x   g H sin оп H mв X a  P cos(  оп   T )  Pоп sin(  оп   T ) Xa  в ,mm&  a V V  a   a    0    0  x  a H H  a   , гдеили VxxxzxxX   P  cos(  оп   T )  Pоп sin(  оп   T )X  P cos(  оп   T ), a x  a, a x  g cos оп иmmвHHXX  P cos(  оп   T )a Hx  a g H sin оп , a xв  a - динамические коэффициенты.mmВ этих и последующих выражениях переменными с верхним индексом обозначенысоответствующие производные при опорных значениях параметров движения, напримерX aX aV .VОтрицательные знаки перед коэффициентами здесь и далее расставлены такимобразом, чтобы сами коэффициенты для статически устойчивого летательного аппарата снормальной аэродинамической схемой являлись положительными.Проделав аналогичные действия для остальных уравнений можно получить системулинеаризованных уравнений изолированного продольного возмущенного движения без учетаветра в видеa Vx VaV1&    aVVkx &   Va   y & z    a Vmz x&  cos оп&   sin  Hоп &  0    a x  a xa y  a ya mz Vk sin опVk cos оп000 a mzz0010  a Hx0  a Hy0  a Hmz000000 a x  Vk    a xв  a y      a yв в  a mz  z   a mz  в ,0   x   0 0   H   0  0      0  =  - .В том случае, когда можно пренебречь влиянием изменения высоты послеотбрасывания свободных (т.е.

- не входящих в правые части уравнений) компонент системауравнений приобретает вид&    aV  a  aV0 a x  Vk    a xв kxxx &  V a y  a y0a y      a yв      a y ,в  в& z   a Vmza mz a mzz  a mz  z   a mz &  010      0     0где динамические коэффициенты продольного канала при малых углах атаки и  T  0приобретают видвX aV  P VX a  PXaVвax ;ax ; a x  g cos  ;ax ;mmmY V  PVY  PgY вa Vy  a;a y  a;a y  sin  ; a yв  a ;mVmVVmVVzMzMzMzM zвVzвa mz  ;a mz  ;a mz  ; a mz  .JzJzJzJzЭти уравнения обычно называют полными линейными уравнениями продольногодвижения.Если при этом можно пренебречь влиянием изменения величины скорости, тоуравнения приводятся к виду &  a y  a y & z    a mz &  0  0 a mzz1a y      a yв  в  a mz  z    a mzв .0      0 Передаточные функции и частотные характеристики.Если коэффициенты постоянны, то по линеаризованным уравнениям могут бытьполучены передаточные функции (ПФ) возмущенного продольного движения, а по ним частотные характеристики (ЧХ).

Наиболее общий (но не единственный) прием - по известнойсистеме уравнений x=Ax+B+Bww при заданных наборах входов (,w)Т и выходов y = Cx+Dнайти матрицу ПФ W(s) = C(Is-A)-1B+D. В число входов могут включаться как управляющиевоздействия , так и возмущения w. ЧХ формально могут быть получены заменойоператорной переменной s на мнимую переменную j, т.е. W(s)  W(j), где  - значениячастоты из нужного диапазона.2Например, считая входом отклонение руля высоты в, а выходами – отклонения угланаклона траектории , угловой скорости тангажа z и угла атаки , т.е. определивматрицы A, B, C, D в виде a y a y  a y0a y  1 0 0   z A   a mz a mz  a mz  , B   a mz  , C   0 1 0 , D  0 , 0  010101из последней системы уравнений можно получить передаточные функцииследующего вида:или 1 0 0 s  a y  a yW(s)  C( Is  A ) 1 B  D   0 1 0   a mz 1 0 1 0 a yв s 2  a yв a mzz s  a mz a yв  a mzв a y 1 вs(  a mzв s  a mz a yв  a mz(a y  a y ))  , (s )в  a y в s 2  (a mzв  a yв a mzz )s  a mza y W (s)  (a yв s 2  a yв a mzz s  a mz a yв  a mzв a y ) / (s) ;0s  a mzz1 a y a mz s 1 a yв  в  a mz   0 Wz (s)  s(  a mzв s  a mz a yв  a mzв (a y  a y )) / (s) ;W (s)  ( a yв s 2  (a mzв  a yв a mzz )s  a mzв a y ) / (s) ,где(s)  s 3  s 2 (a mzz  a y  a y )  s(a mz  (a y  a y )a mzz )  a y a mz- характеристический полиномсистемы.При этом W(s) = Wz(s)/s, так как  = z.Если необходимо учесть зависимость момента тангажа Mz от производных по углуатаки или по углу отклонения руля из-за запаздывания скоса потока, то в эти соотношения&&вместо коэффициентов a mz и a mzв надо подставить выражения a mz  sa mzи a mzв  sa mzв&соответственно, где a&mzM &M в&  z , a mzв   z .JzJzИсследование динамики возмущенного движения ЛА.Под исследованием динамики понимается анализ основных свойств движения ЛА какдинамического объекта управления - устойчивости, управляемости (эффективностиуправляющих органов), маневренности (прежде всего - предельно достижимых параметровтраектории и перегрузок), а также особенностей возмущенного движения, которыенеобходимо учитывать для управления (монотонность, колебательность, перерегулирование иобратные движения, время переходных процессов по различным составляющим движения).Для такого анализа можно использовать коэффициенты линеаризованных уравнений,которые показывают влияние одних переменных на изменение других, например, a mz характеризует статическую устойчивость, a mzz - аэродинамическое демпфирования, a mzв Ya  P g n y- искривление траекторииmVV- искривление траектории при от отклонения руляэффективность руля высоты (управляемость), a y при изменении угла атаки, а a yв и a yвысоты и под действием силы тяжести.

Поэтому они называются динамическимикоэффициентами. Но они характеризуют лишь изолированное (т.е. - без учета другихпеременных) и непосредственное (т.е. - без учета остальных входящих в систему уравнений)3влияние. Более полный анализ динамики можно получить по передаточным функциям, точнее- по коэффициентам передачи, постоянным времени, коэффициентам затухания.Правда, передаточные функции, полученные для общих случаев, могут оказатьсяизлишне сложными для такого анализа, поэтому такой анализ проводят для отдельныхрежимов.Например, если в качестве опорного режима принят горизонтальный полет, тоga y  sin   0 . Поэтому характеристический полином приобретает видV(s)  s 3  s 2 (a mzz  a y )  s(a mz  a y a mzz )  s(s 2  s(a mzz  a y )  (a mz  a y a mzz ) ,а передаточные функции W (s)  (a yв s 2  a yв a mzz s  a mz a yв  a mzв a y ) / (s) ;в Wz (s)  s( a mzв s  (a mz a yв  a mza y )) / (s) ;W (s)  s( a yв s  (a mzв  a yв a mzz )) / (s) .Отсюда видно, что один из корней характеристического полинома равен нулю, и приотклонении руля высоты на постоянный угол после окончания переходных процессов уголатаки и угловая скорость тангажа примут некоторые постоянные значения, а углы тангажа инаклона траектории будут изменяться с постоянной скоростью.Если опорный режим отличается от горизонтального полета, т.е.

0, тосоответствующий корень характеристического полинома перестанет быть нулевым, но прималых углах наклона траектории будет заметно меньше остальных корней. Таким образом,возмущенное движение распадается на два движения: медленное по углу наклона траекториии быстрое по угловой скорости тангажа и углам тангажа и атаки. При этом увеличение угланаклона траектории  может сделать соответствующие коэффициенты характеристическогополинома отрицательными, т.е. медленная составляющая возмущенного движения можетстать неустойчивой.Аналогичные выводы можно сделать для маневренных летательных аппаратов, длякоторых даже при ненулевых углах наклона траектории можно пренебречь влиянием силытяжести на искривление траектории по сравнению с влиянием подъемной силы, т.е.

дляαθкоторых a y >> a y .Если при тех же условиях можно также пренебречь изменением подъемной силы приотклонении руля высоты по сравнению с общей подъемной силой, передаточные функцииупрощаются дополнительно:W(s) = - ayamz/(s);Wz(s) = - s amz (s + ay)/(s);W(s) = - s amz/(s).Эти передаточные функции обычно представляют в стандартном видеKKK( s  1)W ; W  2 2; Wz  2 2,2 2s(T s  2Ts  1)T s  2Ts  1T s  2Ts  1a mzz  a y112;T;2T.z a mz  a mzaya ya mz  a mzz a ya mz  a mzz a yПо этим передаточным функциям можно очевидным образом определить характервозмущенного движения при отклонении руля высоты, а также установить влияние на этодвижение тех или иных динамических коэффициентов и тех параметров ЛА, от которых этикоэффициенты зависят.где K  a mza y;4Например, видно, что постоянная времени T тем меньше, чем больше a mz , а так какa mz  M zqSb a m z , то переходные процессы будут тем быстрее, чем больше продольнаяJzJzстатическая устойчивость ЛА.

Также видно, что увеличение коэффициента a mzz приводит куменьшению колебательности, что и следовало ожидать, так как этот коэффициентqSb 2a zM zzопределяется демпфирующим моментом a mz z mz .JzJzVДля оценки динамических свойств летательных аппаратов используют также такназываемые передаточные коэффициенты, или передаточные числа ЛА, определяемые напредварительных этапах расчетов по рассматриваемым передаточным функциям.Передаточными коэффициентами называют отношение установившегося значения отклонениянекоторого параметра движения к установившемуся значению вызвавшего это отклонениеотклонению управляющего параметра, или, другими словами - установившееся значениеотклонения параметра движения при единичном ступенчатом отклонении управляющегопараметра.Например,израссматриваемыхпередаточныхфункцийвидно,что&& уст  уст   уст  K уст , т.е.

передаточные коэффициенты от руля высоты к скорости &   изменения угла наклона траектории и угловой скорости тангажа          K .   уст    уст    устТаким образом, K характеризует маневренные свойства ЛА при продольном движении, так& - угловая скорость поворота касательной к его траектории. Для маневренных ЛА иликак Vпри опорном режиме близком к горизонтальному полету n ya  & , поэтому передаточныйg n ya V  K .

С помощью этогокоэффициент ЛА по нормальному ускорению g   усткоэффициента можно, в частности, оценить такой показатель, как располагаемую (т.е.Vпредельно возможную) нормальную перегрузку ( n ya ) расп  K  max , где max - максимальноgдопустимое отклонение руля высоты.Передаточный коэффициент по углу атаки    K характеризует статическую   уступравляемость ЛА, т.е. способность изменять угол атаки отклонением органов управления.Следует обратить внимание, что чем большей статической устойчивостью обладает ЛА, темменьшей управляемостью и маневренностью он обладает. Это видно из выражения длякоэффициента K, в знаменатель которого входит коэффициент a mz , характеризующийстатическую устойчивость ЛА.5.