Основы теории нечетких множеств и нечеткой логики, страница 4

П-06~Фзоие функции принадлежности могут быть зздйны аналитически следу" ющнми выражениями: а) П,(х;а,Ь,С,И) =Ях'„а,Ь) У(х;е,И), где а,Ь,е,а~ — некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением а < ~Ь~ < ~с~ < И. б) П (х;а,Ь,С,И) =О(х;а,Ь) О(х;е,~), где а,Ь,С,Н вЂ” некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения, причем а>0, С<0, и упорядоченные отношением а < ~Ь~ < ~е~ < ~.

1 в) Пз(х,а,Ке) = — — 2,, где а,Ь,е — некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением а < Ь < с, причем параметр Ь > 0 . Зту функцию называют колоколообразной Функцией. -(х-к )- г) П4(х,о,с)=е -' -', где О и с — числовые параметры. Зту функцию в теории вероятности называют функцией плотности нормального распределения в предположении, что ./2ккз=1.

О' — дис- персия; с — математическое ожидание распределения. Приложение 2. ФУНКЦИИ й-ЗНАЧНОЙ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ В Й-значной логике ( й > 2) кроме классических истинностных значений высказывания (истина, лоув) имеются промежуточные значения, располагающиеся В порядке Возрастания «истинностиэ, Зти значения, которые ЯВляются количественной Оценкой степени истинности Высказывания,-обозначают Обычно О, ),..., А-1 „где ПОД СИМВОЛОМ 0 ПОДРВЗУМЕВЙЕТСЯ Ю6СОЛЮФНая ЛОЗкСЬ, а ПОД СИМВО- лом Й- 1 — абсолкииная ис~яина, Однако Вместо мнозкесгва истин- ;кестве В," и г1ринимаюгцая значения во мно~кестве В„, называет- СЯ фУНКПИЕЙ й-ЗНкЗЧНОЙ ЛОГИКИ: Так как число наборов значений переменных равно Й" и для каждого н~б~р~ фу~кци~ ~ожет принятв Й ра~~~~~~х зна~ений, то число всех функций в й-значной логике равно у(д А-) =~~" .

Например, различных функций двух переменных в трехзначной ло- гике всего существует у(2 З)=зз2 =1995З. Выделим среди них некоторые элементарные функции. Рассмотрим нульместные, одноместные и двуместные функции, которые играют роль Основных элементарных операций в й-значной логике. 1. Константы. Функции Й-1 при Х, =е,, Х =е,, Х =е 0 во всех других случаях, Х," йХ" Й.„ЙХ„" = 80 Это представление является аналогом СДНФ булевых функций.

Полные системы функций А-зиачиой логики. Приведем некоторые наиболее употребительные системы функций Й-значной логики." 1) Система Россера-Тыокетта 3) Система Вебба Функции трехзначной логики. Рассмотрим более подробно случай трехзначной логики Вз =(О, 1, 2), При А. = 3 функция п переменных ДХ,,Х2,,Л'„) может быть задана таблицей с числом строк 3" .

Существует, как уже отмечалось, Ж(2,3) = 3з =19953 различных функций трехзначной логики, зависищих от В аргументов, ПриВедем значения ВВеденных Выше ОснОВных элементарных функций при й = 3: 1) функции одного аргумента ~табл. П.2.2); 2) функции двух аргументОВ (табл, П.2.3). о„о) о Т ( 1 2 8 2 1 2 11) Х, Й (Х Й Х3) ~ (Х, Й Х2) Й Х3„ — ассоциативность.

12) Х г(Х гХ ) и(Х, ъ Х ) гХ3; НОСТЬ. 15) 1Й(ХЙХ)=-ХЙХ; 16) (1 ~ Г) й (Х й Х) =- Х Й Х; 17) (Г А Ф) ~ Г и Г; 18) (Р~ Ф)ЙР ы Г; — законы поглощения. 13) (Х, й Х ) ~ Х ) ю (Х, ъ Х ) Й (Х ~г Х ); — дистрибутив- ( 2) 3) ( ! 3) ( 2 3)' А — 2 Ху,==:О..— —,---=.1~, - . тобр . Я В-- В и сис ему ~,' ~=-1 А-1 '-~ ~~~и~еск~х ог1ераций 1(1, 1/2, '., Й, — ~1, Б которой Отрицание -Л ==1- Л' .

1'1онятие формулы в зтой Л~~ик~ Высказываний Определяется так же„как и в двузначной логике, .т.е. формулами яйля- ния„полученные из переменных Х,,Х„..., Л"„и констант О„1,/2 применением ОперациЙ (~~, А, — ~), 1;аждая формула, Конечно, Является функцией Й-значной ло~ ики (говорят„что Она реализует зту функцию). Как и При Д =-2, формулЫ называются зквивалентными. если Они реализуют Одну и ту же функиию, т.е. принимают соответственно одинаковые значения при любых Одинаковых наборах ~на~~нии переменных, НО Б то Бремя как каждая булева фун- кциЯ реализуется булевой формузюй; соответствукйцее утверждение при )г > 2 несправедливо, что явствует из неполно~ы системы ло функций В Рз равно 3з = 27, которые приведены В табл.

П.2.5. Функции трехзначной логики от одной переменной, которые реализуются формулами одной переменной в системе 1О, 1/2, l, й, - 1 приведены Б табл. П.2.6, Функции трехзначной логики от одной переменной, которые реализуются формулами ОднОЙ переменной В системе 10, Й, — ~) приведены в табл. П.2.7. Легко проверить„например, что нет формулы, которая реализовала бы функцию, принимающую следующие значения: Г(0) =1, Г(1) =Г(2)=0 в системе (О, й„ Обозначим через ф, множество всех функций й-значной логики„представимых в виде формул в системе (О, й, 1, тогда Для полнОЙ каракгеристики алгебры дол~кны быль ааданы перечень Определенных В ней Операций и система аксиом„характериауюшик Свойства ОпсрациЙ или свяаь раалиинык Операций друг с другом.

Осн~~~~~и свойствами, ~~горыми могут об~ад~~~ или не Обладать бинарные операции (Операции Обоанаиены СимвОлами «» о~») В аЛГЕбрЕ, яВЛяЮТСя СЛЕдуЮШИЕ: ИдЕМПОТЕНТНОСТЬ." Х о Х -" Х ", КОММутатИВИОСТЬ: Х о у — У о Х; (П.З,)) (П.3.2) Решетку называют дистрибу~ииаоой, если операции дистрибутивны одна относительно другой, т.е. выполняются аксиомы: у о (у Ф ~) = (Х о у) Ф(д о $), (у» ~) о Х = (у о.т) Ф(~ о Х). (П 3,~) В решетке с нулем и единицей нуль (единица) являются единичным Относительно операции ' (*)„т.е.

х, удовлетворяющий условиям: х4~х =0, хох = 1. ~П.3.7) торого выполняются закон двойного дополнения х = х и законы де Моргана (П.3.8) „но не обязательно выполняются законы ~П.3,7), то элемент х называют лсеодОдодолнГнием ЗМВмейжо х, циями объединения (» «) и ~ересе~е~и~ «~-~) ~~~~~~~я дистрибутив- ной решеткой без дОполнения 1с псевдодополнением) или алгеб- рОЙ Елини„так как для нее выполняются законы Елини; Существуют решетки, в которых у некоторых элементов нет дополнений или они определены неоднозначно. Решетка с О и 1 называется решеткой с дополиеииями, если каждый ее элемент имеет хотя бы одно дополнение. ВО всякой дистрибутивнОй решетке с дополнениями выполняются законы де Моргана: х у=х*у, х*у=х ° у. ~П.3.8) Если в решетке с 0 и 1 определена унарная операция, сопоставляюшая каждому элементу х единственный элемент х, для ко- ней не выпол~~ютс~ законы идемпотентности, поглогцения и дистрибутивные, ()на также не содержит дополнения Алгебра Р(~У), „„-,. с операциями ограниченная сумма ./ (~ ~) и ограниченное произведение ( г~) не является регцеткой — В ней не выполняются законы идемпотентности, поглощения и дистрибутивные„но она содер»кит дополнения.

Отметим, что Т(Р-»Д) = Т( Р ~ Д), а значения эквивалентности — по формуле Т(Р - Я) = ТИР:» 9) й (О:» Р)1. Связки ®, ~, о всегда выражаются как отрицания —, й, соответственно; тавтология и противоречие определены как а Т(Р)=Т(Рм Р), Т(Р)=Т(РЙ Р). В нечеткой логике, ассоциированной с ~ Р(6"), ~, г~, ), дизьюнкция и конъюнкция определяются как Т(Р ~ Д) = ~пах(Т(Р), Т(Д)), Т(Р й Д) = пз1 п(Т(Р), Т(9) ) и являюгся коммутативными, ассоциативными, идемпотентными и дистрибутивными Относите~~~~ друг дру~а, но не удовлетворяют закону исключенного третьего и закону противоречия в следующем смысле: 7(РА Р)~0, T(Р~~ —,Р) ~1. Нечеткими логическими функци~ми этой алгебры (алгебра Клини) являются константы О, 1 и формулы, полученные применением к нечетким выска- В нечеткой логике, ассоциированной с ( Р(ФУ), +, °, ), кото- рую часто называют вероятностной логикой, операции т(Р 9) = т(Р) + т(0) — т(Р) У'®), т(РАЯ) = т(Р) У'(О) являются коммутативными, ассоциативными, но не удовлетворяют законам идемпотентности, дистрибутивности и поглощения, Нечеткими логическими функциями этой алгебры являются константы О, 1 и формулы, полученные применением к нечетким выс- казываниям и формулам операций ~, Й, 1.

Ладей Е„А., 7'и~ту Бей. 1п1оппаг1оп апг1 Согпго!. 1965. Уо1, 8. Б. 338- 2. Заде ХА. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. — М.: Мир, 1976. 3. Аофман А. Введение в теорию не ~етких множеств. — М.: Радио и связь, 1982. 4. Нечеткис множества в моделях управления и искусственного интеллекта/ Под ред. Д.А. Поспелова. — М.: Наука, 1973. 5. Прикладныс нечеткие системы / Под рсд.

Т. Тэрано, К. Лсаи, М. Сугено. — М.: Мир, 1993. 6. Дискретная математика: Учебник / В.А, Горбатов, А.В. Горбатов, М.В. Горбатова. -- М.: 000 «Изд-во АСТ»: 000 «Изд-во Астрель», 2003. 7, Леоленкоь А.В. Нечеткое моделирование в среде МАТ1АВ и йхууТЕВТ, — СПб.: БХВ-Петербург, 2003. 8. ~тковекая Я., Пилииьский' М,, Руиковский Х Нейронныс сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы: Пер, с польск. И.Д, Рудинского. — М.: Горячая линия-Телеком, 2004. 9, Яру~~к~лг~ И,Х*. Осно~ы теории нечетких и гибридных систем; Учебное пособие, — М.: Финансы и стати~тика, 2004..

10, Иямбярев И.Н. Гибридные непрерывно.-логические устройства, — М.: Энергоатом издат» 1990, 11, Рвавшею В.Х Геометрические.приложения алгебры логики. — Киев: Гехиика, 1967. 12. Р~~~ев В.Л; Теория Я-функций и некоторые ее приложения. Киев: Наукова Думка, 1982, 13, Яблоьскяй С.В, Введение в дискретную математику: Учебное пособие, -- М.: Наука, 1986. 14.

И.ф~до~ В.И, Осялвей В.А, Курс дискпетной математики, - М.: Изд-во МАИ, 1993. 15. Яйцде~скйй С.В. Нечеткие множества: Учебное пособие, — Калининград: Изд-во КГУ, 2004. 16. Аляуийй А.Е., немухин М.В. Модели и алгоритмы принятия шений в нечетких у~~~~и~~: Монография. — Тюмень.

Изд-во Тюменьскога государственного университета, 2000 — Ы1рЯаъ" м.,Фпгп/1пс1ех. Ыгп. 17, норченко А.Г. Построение систем зашиты информании на нечетких множествах. Теория и практические решения, — Киев: «МК-Пресс», 2006. Сдано в набор 16.07.07. Подписано в печать 11.09,07. Бумага офсетная. Формат 60х84 1/16. Печать офсетная. Уел, печ.

л. 5,58. Уч.-изд, л. 6,0. Гираж 1000 зкз. Зак. 3762/2168, С. 637. Издательство МАИ «МАИ~, Волоколамское ш.„д. 4„Москва, А-80, ГСП-3 125993 Типографии Издательства МАИ «МАИ», Волоколамское нз,, д. 4, Москва, А-ЗО, ГСП-3 125993 .