Основы теории нечетких множеств и нечеткой логики, страница 3

Заде в 1965 году, предназначена лля формализапии человеческих способностей к неточным или приближенным рассуждениям. Она является обобщением некоторой алгебраическ~й системы многозначной логики 1см, приложение 2). В зтом варианте нечеткоЙ логики множество истинностных зн~ч~ний выск~зы~ан~й обобща~тс~ до отрезка дей- ментарного нечеткого высказывания. Элементарным нечетким высказыванием называется повествовательное предложение, выражающее законченную мысль, относительно которой мы можем суди~~ об ее истинности или ложности только с некоторой степенью уверенности. В нечеткой логике степень истинности элементарного нечет- кого высказывания принимает значение из отрезка 10, Ц, причем 0 и 1 являются предельными значениями степени истинности и совпадают со значениями «ложь» и «истина» соответственно.

Рассмотрим несколько примеров злементарных нечетких высказываний:1) О. Бендер имеет довольно высокий аост. 2) Завтра будет пасмурная погода. 3) 3 — малое число. 4) Ваз-2110 является скоростным авигомобилем. 5) Возможно, нам подадут горячий кофе. ей. ОднакО для Определения степени истинности конъюнкции нечетких ВысказыВаний могут быть использОВаны следующие альтернативные формулы. АЯГеб~~ццч~ское лцоцзВедейце степени истинности нечетких Высказываний (записывается РеД): 3. Д~зв~й~~ц~. Дйзв®цкццец нечетких высказываний Р и Д (записывается как Р ~ Д и читается — ~Р или Д~) называется бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием, истинность которого определяется по формуле Дизъюнкцию нечетких высказываний также называют нечеткцм ЛОГцческцм с<ИЛИ'», цГчГфцд)ц Дцзьяцкццец, или птах-дизъюнкцией.

Однако для определения степени истинности дизъюнкции нечетких высказываний могут быть использованы следующие альтернативные формулы. е Алгебраическая сумма степени истинности нечетких Высказываний (записывается Р+Д ) ~ „фасФическая сумма степени истинности нечетких Высказываний (записывается Р7Д) 'Т(Ц), если Т(Р) =0; Т(Р ~ Ц) = Т(Р), если Т(Д) =0; О, в остальных случаях.

(З.9) 4. Омпликация. Нечеткой имлликацией или просто — импликацией нечетких аысказыааний Р и Д (записыаается как Р -~ Д и читается — ВНЕСЛИ Р, то 9>) называется бинарная логическая операпия, р~Зул~~а~ которой яяляется нечетким аысказыаанием, ~~т~~- нОсть которого может принимать значение, Определяемое по ОдНОИ ИЗ СЛЕД)ЧО1ПИХ ФОРМУЛ. Классическая 'ЙФчеткая' импйикация (иечбюкая имплимщия Зад8) «Нечеткая импликация по формуле граничной (Ограниченной] СумМЫ 13.1М Нечеткая импликация играет важную роль в процессе нечетких рассуждений, а приведенные формулы для определения истинност~ нечеткой импликации Можно Считать Только Основными. Классическая нечеткая импликация находит наибольшее применение при решении прикладных задач.

Она остается справедливой в случае обычных высказываний классической логики. Однако остальные способы вычисления нечеткой импликации в отдельных ситуациях оказываются более эффективными с вычислительной точки зрения. 5, Зквивалеитноеть. Эквивалентностью нечетких высказываний Р и Д или просто нечеткой эквивалентностью (записывается как Р - Д и читается — «Р тоГда и тОлькО тоГда, коГда Д») называется бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием, истиннОсть котороГО может принимать значение, определяемое по следующей формуле: Г Б11ЗОВОС ЛИНГЗ11СТИ 1ССКОС ЗНЗЧСНИС 1 ! Нзчзло недели Ссрсдинз нсдсли Консц нсдсли знзчснис х ПОНСДСЛЬНИК 1 0 Вторник' ,0,6 0.2 Среда 1 0 1 Четверг 0.6 Лятницз 0 0.1 Суббота 0 О Воскресе ньс 1 О ' 0 о 1 ОЗ 11„„(х) = 1п(И„(х),Н„(х)) = 11„(х) а Н (х) = =Р(х,~„) Й ь1(х,1з) = 1п1п(11(х,1„),фх,1 )) = =-п31п(т(Р),Ха)) =Т(рйО) =Фх,~А й~д); 60 Р(хо,~А) =Т(Р).

Кроме того, отображение Т(Р(1)) =г1(хз,1) можно рассматривать как нечеткий предикат, заданный на терм-множестве Х.. Из сказанного ясно, что каждой операции над нечеткими множествами ставится во взаимно однозначное соответствие логичсская Оперяци51 над элсмснтами тсрм-мнОжсств (нсчеткими высказываниями) или, что то жс самОС, над их Функциями принадлежности. Например, для оп~рации пересечени~, объединения и абсол1отного дополнения имеем: тинности:~ой же дизьюнкиии, рассчитанные по формулам 13.7)-- ~3.9), соответственно равны: 7~Х'+ Д) = 0.76, Г(Р З Д) = 0.9, Пусть задан алфавит б=б, ~б иб нечеткой логики высказываний, где 6, =~Х,,Х,,...,Х,, ~, б =~, ~, А,:з,-», б,=-~(,) ). Символы Х,,~ б~ — это нечеткие высказывательные переменные, степень истинности которых 7~Х) может принимать произвольное значение из отрезка )О,1~. Символы из алфавита б2 — зто нечеткие логические операции, а скобки из б, — вспомогательные символы.

Слово в алфавите б называется иечеткой формулой, если оно удовлетворяет следующему определению: 1) любая нечеткая высказывательная переменная или констан- та из отрезка 10,11 — нечеткая формула; (А:з В), (А — 8) — нечеткие формулы; 3) только те слова являются нечеткими формулами, для которых это следует из 1) и 2). Пусть формулы Р,(Х,, Х,..., Х„) и Р'(Х,, Х,..., Х,) определены на множестве О заданных оценок (и,, и2,„., а„~~ О списка переменных (Х,, Х~„, Х„), где и,. = Т(Х,.) . 'Гогда: 1) будем называть их равиосильиыми (У, =-У2) на множестве О, если на любой оценке (а,, а2„..., а„~ списка переменных (Х, Х,,..., Х„~ они принимают одинаковые значения; 2) будем называть их йФ ~~й~~ 6~~а~~л~~ (Р; "Р~) на множеств~ О, если на любой оценке Е (а,, а„..., а„) =- 7(Е,(Х, „Х,...., Х„)). Если фР;,Р;) <0.5, то формулы Р(Х,„Х,,....

Х,) и .г2(Х; Х)~. ° Х„) ид яюяяюРися нечетко блкзкимк". Р,'(Х,, Х„.... Х„) = К„(Х,, Х„,, Х ), Замегим, что если ц(~,Р,) =-0 5 „то формулы Р" (Л',, Х....... Х„) н Г)(Х~. Х~,..., Л„) Одновременно являются и не являются нечет- Ф~,~;)= Й (( 7'(Х)= Ё(У))-(Т(Л')й Т6')))= (Т( Х), Т($'))еО = ~(-.0.8 ~ 0.3) — (0.8 й 0.3)) Й ((-,0,8-~ 0,4) — (0.8 й. 0.4)) й й(( О.бэ03) -(О.бй О.З))й(( 0.6~0.4)- (О.бй 0.4))й Й((- 0.7-.~ 0,3) — (0.7 Й-,О.З)) Й(( —,0,7 ~ 0.4) - (0,7 Й- 0,4)) = -((0.8 - 0.7) й(0.8 -0.6) й((0.6 - 0.6) й(0.6 - О.б)) й(0,7- 0.7) й Отсюда следует, что формулы Р~ и Г~ ие являются равносильи~~л~~, ~о яйллютсй иечи~~е~ б~~з~йл~~ на (~ = ~(0.8, 0,3), (0.8, 0.4), (0,6, 0,3~, (0.6, 0.4~, (0,7, 0.3), (0.7, 0.4ц.

Если сделатт та~ую же пройер~у, полагая, что 2) АЙАнА, АчА=А; 3) АЙВ=ВЖА, А ~ВиВ~А; 4) АА(ВАС)=~АЙВ)ЙС, Ан(В~С)ж(АчВ)ъ С; 5) А й 13 ~ С) И (А й В) l (А й С), А ~ 13 й с) Ж (А Ъ В) й (А / С); 6) (АЙВ) в А г .В, (А~г В) и 4й- В; 7) А й(А ~ В) ю А, А г (А й В) ж А; 8) ~АЙ- А) й(В г В) и Ай- А, (Ай А)~~(Въ В) =- В» .В; Кроме того, пусть О, с, 1 константы и О < с < 1 „тогда: 12) А8сОиО, АЙ1юА; 13) А~ Он А, А~1=1; А, если А<с, 14) Айса Ай с, если А<с, 15) Аъ с=- А, если А>с. Например, для доказательства свойства (6) надо доказать нечеткую близость формул Р;(А,В)= (АЙВ) и Р (А,В)= — Ач В.

Оценим степень истинности формул Х, и Р,. Имеем Т(~(А,В)) = Т( АжВ)) =1 — 1п(Т(А), Т(В)), Т(Г2(А,В)) = Т( 4ч — В) = упах(1 — Т(А), 1 — Т(В)). Если Т(А)<Т(В), то Т(Р,(А,В))=1-Т(А) и Т(Р,(А,В))=1 — Т(А), Т.е. степени истинности формул У', и У~ совпадают, откуда где Р и Д вЂ” это четкие высказывания. Допустим, что присутствук)шие В эз их правилах Высказывания характеризу1отся нек01орыми нечеткими множестВами. В этом случае Обобщенное 1нечеткое) правило ВыВода ~мг~~1' 'о1ойи5 ролла можно Опрелелить следук1щей схемой Вывода: где Р="1х зтО А ", Ц="~ это В", Р'="и это А' ", Д='*р это 8' " — нечеткие высказывания, а А, А'с= л'. и .8, В'с- У СТВО Х„= (" малая", "средняя", ",большая", "очень большая "~ — множество значений лингвистической переменной 1х, Х = (" малый", "средний", "не очень высокий", "высокий*'~ — множество значений лингвистической переменной р .

Каждому элементу множеств Х,, и Х„ставится в соответствие нечеткое множество. Для нашего случая получаем следующие нечеткие множества: = «очень А», причем Р„4х) =Р ~(х); А" = «почти А», причем Н 4У) = АР пп'пЬ~(х),Р„1х)Рв(У)1 =ИВЫ. Пример 3.7. Пусть в рассуждении используется схема вывода (3.24).

Будем считать„что данные нечеткие высказывания Р и Д характеризуются нечеткими множествами 0.6 0.4 0.8 0.2 1 0.3 0.9 0.4 1 0.7 0.3 0,5 А — — + — '+ — '+ — '+ + и В = — + — '+ — + — '+ — '+ — ' 1 2 3 4 5 6 У1 У2 Уз УФ У5 У6 заданными на базовых множествах Х = ~х,,х,,хз,х„, х „х„,~, ~ =~У1 У~ Уз У~ У5*У6 ~. Требуется по формуле ~3.28) найти нечеткое множество В'= А'.(А- В) при условии, что бинарное отно- 70 выполнить в СКМ МаФсад.

Реиеиие задачи. 1) Составляем программу вычисления матрицы М бинарного отношения А ~ 8 по правилу Заде (3.10) и нечетким множествам Аи В. !) Кусочпо-линейные 4упкции припадлежпоети. Наиболее характерным примером таеих функций являются Фш««еу8Ольппя~> и с~п«рппе««пеппдпйп~ фунинии приналлежности. Фупкппп пппппд,«е~кпосп«и класса «(треугольная) в общем случае может быть аадана аналитически следующим выражением: «(х;а,й,е) = (П.1.1) О, х<Ф $ х — Ф вЂ” —, а<х<Ь| Ь-а У (х„п, Ь„с,п) = 1, Ь < х < с — — -- „с < х '~ 4 — с ~0, Ф<х 1, х<а У (х;а, Ь) = — + - сок — й, а < х < Ь; 1 х — а 2 2 Ь вЂ” а О, х>Ь (П.1.4) Х.(х;а,Ь) = (П.1.5) где а,Ь вЂ” некоторые числовые параметры„принимающие произвольные дейстиител~ные значения и Упорядоченные отношение~ а<Ь.

Эти функпии испол~зу~~тси для зздания тзкик свойств множеств, которые хяряктеризук)т неопределенность типй: <кмалае кдлуцесщва», ~цгбалыаае зцацецие». «йезцацатеаьйац величцйа», <сциз- При этом В случае а > 0 имеем Ж-Образную Функцию принздлежИОсти, 3 в случае а <0 имеем Я-Образную функцию принздлеж- НОСТИ. 2) П-Офюиьзе функцки щнРЙймжяаеюи (кмйее П).