Основы теории нечетких множеств и нечеткой логики, страница 2

14 Равенство нечетких множеств. Два нечетких множества А и В равны, т.е. А=,б', тогда и только тогда, когда Р~(х) =ИВ(х) для Л 106О! 0 х б ~ ~ . Замети~, что нечеткие множества могут быть ПОЧ~И Рав~ы между собой. В такой ситуации можно ввести понятие степени Равенства нечеткик МНожеств А и В, например, В виде О.1 0.3 0,9 0.4 0,2  — + + ' + ' + * . Требуется найти нечеткие множества: Х1 Х2 Хз Х~ Х5 А, В, А ~ В, А г~ В, А ~ В, В ~ А, А г~ В, А ~Л~, А ы В, А г~ В, Проверить, выполняются ли для заданных множеств следуюшие равенства и неравенства; 16 — 1 0,7 0.6 1 — 0.9 0.7 0,1 0,6 0.8 А= — + — '+ — '* —, В= — + — + — '+ — '+ —, Х! Х2 Х4 Х3 Х Х2 Х3 Х4 Х~ Применим к множествам А, А и В, В операции (1.4) — ~1.3), находим: АиВ- + ' + + ' + — ', Аг~В= — '+ — '+ — '-, 0.1 0.3 1 0.4 0,2 О.З 0.9 0.4 ! 2 3 4 $2 3 4 1 1 ДОказатсльстВО равенстВЯ множестВ на ОснОВС утверждения.

А~ «(А~-~8) =- А =~)1 ., (х) =~1 „(х), ьстВе использованы ОбОзийчения: ~х ~(х) = 4~, РВ(х) = В ~ условий: ~ Имеем; Имеем: «х (х) =' й к А совпадаит т.е, в общем случае (А~ В)г~(А ~В)~А и (А~".8) 4(АпЗ)~А. Решеиие задачи. Оформлено в виде таблицы, Заметим, что рассмотренные операции над нечеткими множествами получили наибольшее распространение при решении практических задач нечеткого моделирования.

Это связано с тем, что построенная таким образом алгебра нечетких множеств наиболее близка к булевой алгебре и является ее обобщением, Однако, например, для операций объединения, пересечения и дополнения нечетких множеств возможны и другие корректные способы их определения, а целесообразность их применения обусловлена специфическими особенностями конкретных прикладных задач, Рассмотрим некоторые из них. 20 Доказательство неравенства множеств на основе утверждения: А В А 81 ) р41 При доказательстве использованы обозначения: р„(х) = а, ра(х) = О. При выполнении условии: 1) и«Ь«1-Ь 3) 1-Ь«и «Ь 4) а«1-Ь«Ь 5) Ь«1 — Ь«а Имеем: "'~А з) ~л Ж1з') ! = тш(тах(а, Ц,тих~а, ! — Ц~ 1 — Ь А 1 07 06 1 0.9 0.7 0.1 0.6 0.8 В = — '+ — + — '+ — '+— х1 х2 х3 х4 х5 х, к х х, Применяя к множествам А, А и В, В операции (1.9) — (1.13), находим: А ВВ~(Аг~В)и(Вг~А).

Реждение зйдй~и. Вычисляя абсолют)тное йополнение множеств А и В по формуле (1.11), находим АВВ, (Ае В)+(Ае В), (А+ В)е(А+В), А+А, В+ В, АеА, Ве В. Проверить, выполняются ли для нашего примера следующие равенства и неравенства: Ае В=А+В, А+В=Аешь, А+(АеВ)=А, Ае(А+В)=А, АеАе(В+В) =АеА, (Ае А)+В+В=В+В, А+В ~А+(А е В), АеВ~Ае(А+В), А~(А+В) ° (А+В), А~«Ае В)+(Ае В) .

Решение задачи. Вычисляя абсолютное дополнение множеств А и В по формуле (1.16), находим: 1 0.7 0,6 1 — 0,9 0.7 0.1 0.6 0.3 А — — + — '+ — '+,  — ' + ' + ' + ' + Х1 Х2 Х4 Х5 Х1 Х2 ХЗ Х4 Х5 А+(Зг»С) =(А+ 6) г»(А+С), А+( В~ «С) =(А+,В)» «(А+С). Пример $.14.

Доказать закон А+(В».«С) =(А+ З)» «(А+С). Решение. Пусть р~(х) =а, р~(х) =Ь, рс(х) =с. Тогда Р „~д„с~(х) = а+гпакФс) — а п«ах®с), »»< „,, (х) = тах(а+ Ь вЂ” аб,а+ с — ас). При Ь 1 с получаем р«, 8„с(х) = а+ Ь-а-Ь, а «»,„,„,(х) =а+Ь-аЬ (учитывая, что а<1). Аналогичный ре- Рассмотренные примеры нечетких теоретико-множественных операций не исчерпывают все возможные способы их задания. Большой класс подобных операций, включая уже рассмотренные, допускает обобщенное представление на основе нечетких операторое.

Из многообразия нечетких операторов выделим треугольную норму «Г-норма) и конорму «Т-конорма или Я-норма), которые являются обобщением операторов нечеткого пересечения и нечеткого объединения соответственно. Произвольная действительная функция двух переменных 1Ч:~0, Цх~О„Ц вЂ” ~~0, Ц называется треугольной нормой «треугольной конормой) и обозначается Т«х у) ( ъ(~,у) ), Осли она удовлетворяет слелуюшим свойстйзм, ййзывйе- мым Йкси0мпми Ш~РИуГ0льнОЙ иОрмы (к0н0~уми): 1.7. Некоторые дополнительные операции над нечеткими множествами Т(х,О) =О; Т(х,1) =х; Т(х,у) = Т(у,х); Т(х, Т(у, ~)) = Т(Т(х„у), ~) „ Т(х,у) < Т(~,,~,), .ъ(х,у) = ъ(у,х)„ ,ъ (х, Х(х, у)) = ъ(Я(х, у), ж); Ях,у) <Я(~,,~,), ГАВ Ф =ее ХгуХ2е*" К "ь — КОртеж Из М ЭЛФМФНТОВ» КЙ~ДЬ$Й Йз КОТОрых ВЫбнраЕТСЯ ИЗ СВОЕГО ОВЗОВОГО МНОЖССтсва; х, в Х,,х а Х2,,х„в А',, а р (Я) — функция принадлежности данного нечеткОГО Отнозпения, которая Определяется как Отображение р~:Р— >~0, Ц.

Если для всякого и ~ У р„(и) =1, то р считают совпадающим с б и называют полным нечетким отношением, а если для всякого и~У рА(и)=0, то р считают совпадающим с О и называют пусиим нечсиким ОинОшснием. Особое значение в приложениях имеет бинарное нечеткое от- ношение у =1< х у> р Ьху)~. Здесь р ~ху)=р (<ху>) — функция принадлежности бинарного нечеткого отношения, которая определяется как отображение ц„: Х х У --~ ~0, Ц . Если Х = $', то говорят, что нечеткое отношение задано на базовом множестве Х. Заметим„что частным случаем нечеткого отношения является йи~е~йй~ Ошо6фйжеййе.

Рассмотрим только бинарное нечеткое отображение (функцию), 'р„(х, у,.), есла р,,(х,,у.) >О, ь/ ~ 0 — 6 ОсР$ияьи ых случиях. 1, если х=у, 0.8, если ~х — у~=1, 0.6, если ~х-у =2, 0.4, если ~~х — у =3. К,(х,у) = Отношение р может быть задана в виде матрицы Пример 2.2.

Пусть Х= У =10, 120) — длительность жизни человека, В этом случае отношение р с функцией принадлежности О,если х — у«0, х — ~ р. ~х, у) =, если О «х — у «30, 30 1, если х-у>30 представляет собой нечеткое утверждение особа х намного с~парше особы у», а программная реализация этой Функции принадлежности в СКМ МаФсад и ее два сечения для возраста 30 и 60 лет «особы у» показаны на рис. 2.1. Пример 2.3.

Пусть Х=-1х,„х2,хз,х~,х ~, а У=(у,,у~,у,~, Тогда матри ца 11 О 01 О 0.7 0 ~ .Ч' =-~ 0 О 0.71 0 1 0 ~ ~0.8 О О „~ Поско~~~у каждое нечеткое отношение пред~~~вляе~ собой нечеткое множество, то применительно к нечетким отношениям оказываются справедливыми все операции, заданные на нечетких множествах. Поэтому рассмотрим только некоторые специфические операции с нечеткими бинарными отношениями.

1) Обратное ~инверсное~ нечеткое бинарное отношение. Пусть задано бинарное нечеткое отношение о' на декартовом произведении ХхУ, тогда обратным к нему нечетким бинарным отношением называется такое бинарное нечеткое отношение а ', кото- рое задано на декартовом произведении У~ Х и функция принад- лежности которого определяется по Формуле ПОЭТОМУ 0.8 0.9 0.2 Т'Огда М о М = ~0.6 1 0,41 .

0.5 0.3 1 ТОГДВ НСЧСТКИС ПОДМНОЖССТВЗ ЙЛ И йу МНОЖВСТВВ Х И УСООТВСТ СТВСННО НВЗЫВЙЮТСЯ ИРОЕКЦИЯМИ ИВЧИИКО8О ОЙИЩ~ИОГО ОЖИОШГИИЯ Й Нй МНОЖССТВЗ ХИ Х; ЕСЯИ И~ фУН~ЦИИ ПРИНВЛЛСЖНОСТИ ОПРСДСЯЯЮТСЯ СЛСДУЮШИМИ ВЬЦИЖСНИЯМИ: проекцией отношения и. Если Ь(а) =1, то и нормально, в противном случае — субнормально. Проекции а и иг нечеткого отношения а в свою очередь определяют в Х х У нечеткие отношения о., и и, с функциями принадлежности; р„(х„у) =ц„х(х) при любом у, р, (х,у) =р, (у) при любом х, называемые соответственно ~~ляидрйчОск~м ~~~одол~ееийем йх и (ху . Пример 2.6.

Пусть Х = У = Р— числовая прямая и в Я2 = Л' х У 4) ЙСЧС~~ЯОС 0ЛЬЧОЯ~СЛЯИ ~ЧВКВЛЛСйЛ~ЯОСЛ~й, БКНВРНОС НСЯСТ~ОС отнозненне о =1«е У > н1яяЧ, зыанное на множестве Х низыва- ЮТСЯ МГЧСУЛКЙЧ ОЛМИОЙЮИИСМ ЗКВМВЙЛСИЖИОСФИ, ССЛК ОНО ОДНОВРСМСННО ЯВЛЯЮТСЯ РСфЛСЕСКВНЫМ, СИММСТРИЧНЫМ К ТРВНЗИТИВНЫМ. 5) Ай~~йСЛЧЧС~ЛрйЧЧОС~ЛЬ. БИНАРНОЮ НСЧСТ~ОС ОТНОНЗСНИС Р = ~< ту >Р>(ай~, заданное на множестве Х, называется анпнзсизз- МСЯ~ЗИЧКЬ~М> СОЛИ ВЫПОЛНЯЮТСЯ СЛСДУИБЫС УСЛОВИЮ: 6) КСЧС~~~ОС 0~Л00й~~~С Чй~~~ЧйО~О ЛОВЯдЯй. БКНВРНОЮ НСЧСТ- иое отнозоенне Р = 1» я у > д>(» уз~, заданное на множестве Х, на- ЗЫВВСТСЯ ЛСЧС~~Ч~И ОЛ~ЯОЯ~СЯЯСЧ Ч~ТС~й~ЧЯО~О Л0фЯдЧйз СОЛИ ОНО ОДНОВРСМСННО ЯВЛЯЮТСЯ РСфЛСКСИВНЫМз ЗНТИСКММСТРИЯНЫМ И ТРВНЗИТКВНЫМ.

7) СЛйб~Л ЛОЛЯОХЛЛ. БКНВРНОЮ НЮЧСТКОС ОТНО~~СНКС й=1<я,з'>,д >е,И), заданное на множестве Х, называется лабо ВОЛЯМ,И ~ЛЯЛСЙЯЫИ КЛЯ СВЯЗЛЬМХ), СОЛИ ВЫНОЛНЯЮТСЯ СЛЮДУ~ОЦ~СС УСЛОВИЮ: з) ЙОСТРОИТЬ НСЧСТКОС ОТНО$ЛСНКС О з е'.ОТОРОС СОДСРЖВТСЛЬНО Ой ИСЫВВСТ УСЛОВИЮ: «ЯйЛЧ)т~йЛЬЯОС ЧИСЛО Х, ЛР~ХбЛЬ.ЯСТВО ~йВ00 Лй~ЛУ~ЙЛЬЙОЛФУ ЧИСЛУ Х. »', 0.5 0.2 0 1 0.8 0,5 0.2 ~ 1 0.8 0.5 , 0.6 1 0.8 О 0.6 1 а =((х, х.)~ х~, р-„~х„х ) =! — ~„(х,,х )1 1 0.8 0.5 0.2 О 0.1 О.З 0.5 0.8 1 могут быть представлены в виде матриц Принцип расширения позволяет перенести (расширить) различные математические операции с четких множеств на нечеткие множестВа. 2.6.7.

ХХос~~~оеййе Ое~е~~~~ й-й~~~иВ~х ОГ~~йо~еиий Рассмотрим некоторое четкое прямое произведение Х, хЛ; х...хЛ'„, Где Х,,Х,...,Х„некоторые обычные четкие конечные или бесконечные множества, Пусть А,. =-(<х,,ц (х,.) >) бу- Ю дет заданным нечетким множестВом, Определенным на множсстВе Х,, т,е..4„. с: Х,, ~ =1„2,...,п. ТОГда принцип расширения заклвзчает- длЯ ВсякоГО кортежа <х1,х~,, „х„>~=- Л1~Х2К,.

хХ„, Где Л ( «) оператор Т-нормы или ъ-нормы, Пример 2.9. Полагаем М(«).— --гп1Г(«), 6'=ХхХ, Х вЂ” 11, 2, 31. 1~усть 4, и А, - это нечеткие множества чисел, «блязких чмслу.Ъ: 6 = Х к Л „будет задаВать нечеткий предикат: «чмслО х, близкое чУсАУ 2, близкд чйслу у, блязкому чйслу Ъ. ПОлучаем ве(1: 0.8) ппп(0,8; 0.7) пйп(0,8; 1) пй~(0.8: 0.8) 1„2> <1, 3> 0.8 0.8 — + — '— Пример 2,10. Допустим, что А = — '+ — ' — + — ' и ~(х) = 2х+! . 0.1 0,4 0,7 3 2 5 Б соответствии с принципом расширения полу ием Рассмотрим теперь ситуацию, в которой более чем один элемент множества Хотобра~кается в один и тот ~ке влемент у~ К (отобра~кение ~ не я~ляетс~ вааимно одноаначным), В такой ситуации степень принадлежности элемента у к нечеткому множеству ,6'= ~(А) равна максимальной степени принадлежности среди тех ыр ппп(р (х,)„.р~ (х,)1.

если~' '(у) ~ З, (у) — ~ '.~ .~; ...,Х > 1 О, если ~-'(у)=- В. гп(п(1; 1) ппп(0.8; 0.8) ппп(1; 0,9) ппп(0.8; 1) 8 9 10 12 гп1п(0.8; 0.9) 0.7 0.7 0.7 0.8 1 0.8 0.9 0,8 0.8 15 3 4 5 6 8 9 10 12 15 Пример 2.13. Полагаем ~У=.Х' и Х=(1, 2,..., 4). Пусть А,— 0.7 1 0.8 это цечегкое множество чисел, «близких «шслу Ъ: А = — + — + —, 2 3 0.8 1 0.6 Аз = — + — + †. Гота множество В= ~ (А,,А ) „формируемое ото- бражением у = ~(х) ~хз) = х~ 'х~ „будет нечетким множеством чисел, «близких числу 6э>, причем В с .

К =(1, 2, 3,..., 161, СоГласно определению (2.21), так как элемент у — Х(х,(й),х (у)) может принимать одно и то же значение при различных значениях элементов х,(г) и х О), получаем В=~(А,,А )= ппп(0.7'„0.8) пип(0,7; 1) птифп1п(0.7; 0,6), ппп(1; 0.8)1 гпш(0.7; 0.5) шах'1ппп(0.7; 1), пцп(1; 0.5) ~ ! ''2 1/2 гпах1гп1п(0.7; 0.8),гп1п(0.8;0.5)) гпш(1; 1) гпах1гп1п(1; 0,8),пцп(0,8; Ц гп1п(0.8; 0.8) 0,5 0.7 0,7 1 0.8 0.8 4/3 1/3 1/2 2/3 3/4 1 4/3 Заметим, что полученные в этом примере нечеткие множества опять оказались нечеткими числами.

Однако результатом арифметических операций над нечеткими числами не всегда оказывается нечеткое число. Эта проблема устраняется, если нечеткие числа А, классической ма|ематической логи~с Формализуются и записываются соответственно в Биле слелующих тождественно-истинных формул — ~РА-.Р) Р ~ Р Здесь высказывание Р имел только значение «истина» 1 И„1 ) или значение «ложь» ( Л, 0 ), т.е. Р при- нимает значение из множества истинностных значениЙ 10. 11. Нечеткая ло1 ика, которую предложил Л.