Основы теории нечетких множеств и нечеткой логики

ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящее время все большее значение приобретают различные математические теории, оперирующие с неточно заданными, неопределенными, нечеткими объектами. На практике такие неопределенные объекты и понятия встречаются всюду. Многие понятия: высокий, низкий, красивый, зеленый и т.д. являются размытыми. Координаты, скорость, границы, вес, масса и многие другие физические характеристики объекта описываются нечетко, Для обращения с неточно известными величинами обычно применяют аппарат теории вероятностей, т,е. интуитивно принимается допущение, что неточность, независимо от ее природы, может быть Отождествлена со случайностью.

Впервые понятйя «случайность» й «нечеткость» былй разделейы .Ч.Заде — професс~ром йз унйверсйтета Берклй, С1.ЦА — В работах но теорйй нечетких множеств. Случайность связана е И~ЩФделенноотью„касанз1цейся прйнадлеж ности: йлй непринадлежности Объекта. к некоторому (Обычному) множеству, а понятие нечеткости Относится к к.Вксам, в котОрых ВОзможны различные Грвдацйи степени принадлежности, проме.- жуточные между полнОЙ принадлежностью и непринадлежностью Объектов к да~ному классу. Первой публикацией в построении йечеткой математйкй прйнято считать статью Л, Заде 11~, появившуюся в журнале «1П1огпзаноп апй СОП$го1» в 1965 ~оду, В атой статье Заде предложил Отказаться От основногО утверждения классической теории множеств О том, что некоторый Элемент может либо принадлежать,.

лйбо йе принадлежать множеству, й предложйл оненйвать степень принадлежности алемента мнОжестВу при помОщй специальной характеристической функции ~функции принадлежности), которая прйнймает значенйя йз интервала 10, 1~. 1 ем самым он заложйл о~~о~ы новой математической дисциплйны, в основе когорой лежит не классическая теория множеств, а иыеямя иечилкйх миО.~сесе~в. Цоня~йс нечеткого множес|'ва в смысле Заде положило нача 1о новому импульсу в области математических и прикладных исследований, в рамках которых за короткий срок были предложены нечеткие обобщения всех теоретико-множественных и формально-логических понятиЙ.

Начиная с середины 60-х годов прошлого века появилось большое число работ по теории нечетких множеств, непрерывноЙ и ~~четкой логике. На~более значимыми в атой облас~~ я~л~ю~~я работы Л.Заде, Д. Дюбуа и А. Прада — по теории нечеткой меры и меры возможности, М. Сугено — по нечеткому выводу и нечеткому интегралу, Дж. Беждека — по нечеткой кластеризации и распознаванию образов, Р. Ягера -- по и~четкой логике. Б.

носко была исследована взаимосвязь нечеткой логики и теории нейронных сетей, разр~ботан~ н~~е~кие когнитивные ~од~~~, на ~о~~рых базируется большинство соврем~нных систем динамического М~делирования В Финансах, политике и бизнесе, 8 работах М. Земанковой и других ученых были зало®ены Основы теори~ нечетких СУБД.

Практическое применение нечеткйх моделей В Щюмьпцленнос" ти принято Относить к середине 7О-х годов прошлого Века. 3. Мамдани (Великобритания) использовал нечеткую логику для управления парогенератОроч, Появление мйкропроцессОров и мйкрокОН- троллеров инициировало резко~ увеличение количества бьгговых приборов и промышленных установок с алгоритмами управления на основе нечеткой логики. Сегодня Япония вышла на первое место в мире по разработке и практическому применению нечетких технологий в самых различных технических устройствах, В данном пособии рассматриваются основные понятия теории нечетких множеств, нечетких отношений и нечеткой логики, Пособие создано на основе читаемых автором лекций для студентов специальности «Прикладная математика» по курсу «Дискретная математика».

Этот курс базируется на учебном пособии ~14~, а настоящее пособие является его расширением. Рассматриваемые понятия используются также в различных специальных учебных курсах, в которых изучаются методы интеллектуальных прикладных систем для технических и экономических областей применения. Некоторые работы, содержащие базовые знания о нечетких системах, приведены в библиографическом списке. 1.1. Определение нечеткого множества Интуитивно нечеткое миожвство представляет собой совокуп- НОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ ПРОИЗВОЛЬНОИ ПРИРОДЫ„ОТНОСИТЕЛЬНО КОТОРЫХ нельзя с полной определенностью утверждать — принадлежит ли тот или иной элемент рассматриваемой совокупности данному множеству или нет.

Однако все рассматриваемые элементы должны принадлежать универсальному 1базовому) множеству Г Дадим математическое определение авчвткого миожества. Определение. Нечеткое множество А = ~< х,рА 1х) >» — это множество пар вида <х,р„(х) >, Где хек, а ц,1х) — функция при- нздлежности, которая стзВит В сОотВетстВие каждому из элементов хе ~У ~~которое действительное ~исло из Отрезка 10,1). Из этого Определения видно, что универсальное множество 11 нечеткого мно®ествз А оф~едевеио кзк ~йЬйгст~ оф~вдввей~я фу~~еЯии ифйиФдЯвм7й1ийи р.,~ . При э'тОм, если р,~(х) = 1 ддй некОторОГО хе 17, то Элемент х Определенно принадлежит нечеткому множеству А, 3 если 1хА(х) =О, то это означает, что элемент х определеи- НО не принздлешгг нечеткому множеству А.

Если для всякого хе У ц„1х) =1, то А считают совпядйюп1им с Г а если для Всякого хе 6' ц,,1х) =О, то А считают совпздзю$цим с Я . Г1оэтому нечеткОе пустО6 и нечеткое универсальное множестВЗ можно считать фОрмзльно Определенными и совпздзюйхими с их четкими классическими знзлОГами, 11сче1 кое множесз ВО А называется ЙВЙеййым, если ело носи~ель ЯА) -- конечное множество, В прОтивном случае не(Откос множество А бесйоиейаа, ХХосилелем не ~еткого множесз Ва А н; зы- Ваегся чегкое множество Л(А) = ° хе 1У~Д (х) > 11~. Выедай нечетко- .1 'Г го мно;кества А Обозначается Ь(А) и ОГ11зеделяе гся Ь(А) -= так ьА(х), жУ Иечеткое множество называется ЙюрмФМьиьФм тОГда и тОлькО тОГда, кОГда Й(А)--1.

Если нечеткое множество не Являе'гся но13- мальным, то его мо~но нормализовать при помощи преобразова- 1г ~(х) является уиимодальнОЙ (стрОГО унимодальной). Функция принадлежности Д~(х) называется уйймодйАВЙОЙ ЙЙ ОЙ~ризйи 1а„Ц = Я, если она непрерьгвна на 1а,Ц, а также существует некоторый непустой 1с,~1) с:.

~Й,Ц, такой, что а < с < И <1) и выполняются следующие условия: 1) функция 1х„(х) строго монотонно возрастает на 1а,с~; 2) функция ц~(х) строго монотонно убывает на ~АЙ; 3) любая гочка огрезка 1с,~1~:~а,й являегся точкои максимума функции р. (х). Если интервал 1с,1~ содержит одну точку, т.е. с= д„го функция принадлежности р,,(х) называется сицюго уйймода4ьйой на интервале 1и,Ь1. Функция принадлежности Р4(х) называется УЙЙмодйлВЙОЙ (сй~фоВО УЙЙмодй~ВЙой), если она УЙЙмо" графическая форма которого показана на рис. 1.1,а„или нечетким множеством А, которое определяется функцией принадлежности вида О В противном случае, Возможны и другие варианты.

Пример 1.2. Надо формализовать нечеткое определение «подходящая температура для купания в морг>. Решение задачи. Зададим область рассуждений 1базовое множество) в виде множества Ц =110',...,ЗО" ~. Первый отдыхающий, для которого комфортной является температура 21*, может определить для себя не~~ткое множество (~температура ок~л~ 21" комфортна для купания е морге) НО бЫЛО 6Ы ПРСДСТВВИТЬ В ВИДС МВТРИЦЫ 'г) — ' ~1И .~~ „В КОТОРОЙ ЗЛС- НВДЛСЛ~НОСТИ НСОб~ОДИМО: В) НййТИ Ь~ВИСИМВЛЬНОС СОбСТВСННОВ ЗНВЧСНИС ),„,„МВТРИЦЬ~ .4,; б) НВЙТИ СОбСТВСННЫЙ ВС~ТОР В~т СООТВСТСТВУИИЦИЙ СОбСТВСННОМУ ЗНВ~СНИ~О Х . т Т.С. РС~~ИТЬ УРВВНВНИС: А, В = Х~,„И . ТОГДа Р„(Х,.) =Юр ~ -— 1,2т...,Л, .ЦРММВР 1.5. ПУСТЬ ЗВДВН НОСИТСЛЬ Х = (1,2,...тл) УНИВСРСЗЛЬ- ного (базового) множества и чатрица „4„=~~а, .~ пооарных сравне- фУНИЦИй~ ИРИНВДЛСЛ:НОСТИ НО УСТОД~' ИВРНЫ~ СРВВНСНИЙ.

РСИ~ВНИС ВВДВИИ ВЫПОЛНИТЬ В (:КМ МВФСВ(3. Р~~ВЙ~С Вйдй Ш. 'гг Составляем программы вычисления матрииы ~, =~(а,,~~. ОснОюньи шияы функцйи щи~июдмиж7юсжм. Формальное Определение нечеткого множества не накладывает никаких Ограничений на выбор конкретной функции принадлежности. Однако в практике нечеткого моделирования часто используются типовые функции принадлежности, которые приведены в приложении 1. Пример 1.6. Надо формализовать нечеткое определение «скоростной автомобиль» на базовом множестве 0=10, х „.1, где х„„=100 км~час.

Для решения задачи использовать: а) кусочно-линейные функции принадлежности 1П1.5); б) формулировки, определяющие скорость автомобиля в разгОворной речи: «мйяяя скО~~Ося~ь йя~яомобяяя», «сРсдяяя с~о~~ося~ь йеиОмобияя», «60яьийя скОРОсиь пвждмОЙия». Функции принадлежнОсти нечетких мнОжестВ реализОВать в СКМ Ма1псад и построить их графики. Ре~йеийе зйдйчй, 1) Пусть формулировки, определяю~цие скорость автомобиля В разговОрной речи'.

елйлйЯ скйрйсиь йВшймйбилЯ», «сжднЯЯ скйрйсФь йвщймобилЯ», «большйЯ скорость йвтомобилЯ», порождают соответственно нечеткие множества М, С и В на базовом множестве ~О„х 2) Составляем программы вычисления функций принадлежности нечетких множеств М, Си 8. х = 0,3..100 3 В ф 1 1~~О:,30,50) РВ(ж„50,70) 0.4 ~ьГ(ж,50 „50 „50) ~щ 23 40 00 80 100 Е(А=В)=1 — гпах~р (х) — р. (х)~, где Т=(х~6'; р„(х) ~р8(х)). В Обхе г шсм случае, если некотОрзя задача требует Определения <'Олизос- ти» нечеткого множества к множестВу, исполня1ощему Роль атзло- нз., п15И Решении таких задач„кзк праВилО, используется пОнятие метрического пространства.