Дополнительная лекция по теме СЛНДУ

Дифференциальные уравнения. Лекция «СЛНДУ»стр.1Лекция №12 (дополнительная)СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДУ С ПОСТОЯННЫМИКОЭФФИЦИЕНТАМИ (СЛНДУ)Определение. Системой линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постояннымикоэффициентами (СЛНДУ) n -го порядка называется СДУ вида: y 1 = a11 y1 + a12 y 2 + ... + a1n y n + f1 (t) y = a y + a y + ... + a y + f (t) 221 122 22n n2........ y n = a n1 y1 + a n2 y 2 + ... + a nn y n + f n (t)Решение СЛНДУ может быть найдено методом вариации произвольных постоянных, а в случае,если функции f j (t) имеют специальный вид – методом подбора частного решения.Решение СЛНДУ методом вариации произвольных постоянныхАлгоритм решение СЛНДУ методом вариации произвольных постоянных1. Решить соответствующую СЛОДУ, записать её общее решение.2. В полученном решении заменить произвольные постоянные C j на неизвестные функцииC j (t )3.

Подставить полученное решение в исходную СЛНДУ, получится система алгебраических .уравнений относительно Cj .4. Решить систему, найти: Cj : C (t) = C5. Найти C j ( t ) , проинтегрировав Cjj∫ j (t)dt + C j6. Подставить полученные выражение в решение из п. 2. Получится решение СЛНДУ.Доцент Лунева С.Ю., каф. 805 МАИ , 2017 г.Дифференциальные уравнения. Лекция «СЛНДУ»стр.2Пример 1. x = 2x + yДано: 4t y = x + 2y − 3eРешить СЛНДУ методом вариации произвольных постоянных.Решение: x = 2x + y1. Решаем ЛОДУ вида: . y = x + 2y 2 1Составим матрицу коэффициентов системы: A = . 1 21 2− λСоставим матрицу A − λE : A − λE = .2 − λ 1Составим характеристическое уравнениеλ 2 − 4λ + 3 = 0и найдем собственные значенияматрицы: λ1 = 1 , λ 2 = 3 . Собственные значения матрицы – корни характеристического уравнения– простые, действительные.Найдем собственные вектора матрицы и запишем решение СЛОДУ:x 1  1⋅t1 3⋅t  = C1   ⋅ e + C 2   ⋅ e y −1 1Запишем решение системы в скалярной форме: x = C1 ⋅ e t + C2 ⋅ e3tt3t y = −C1 ⋅ e + C2 ⋅ e2.

В полученном решении заменим произвольные постоянные на неизвестные функции: x = C1 (t) ⋅ e t + C 2 (t) ⋅ e3tt3t y = −C1 (t) ⋅ e + C2 (t) ⋅ e3. Подставим полученное решение в исходную СЛНДУ.Для этого найдем сначала производные x и y : ⋅ e3t + 3C (t) ⋅ e3tx = C 1 ⋅ e t + C1 (t) ⋅ e t + C22tt3t ⋅ e + 3C (t) ⋅ e3ty = −C ⋅ e − C (t) ⋅ e + C1122 ⋅ et + C ⋅ e3t = 0C12После подстановки получим: t ⋅ e3t = −3e 4t−C 1 ⋅ e + C2Доцент Лунева С.Ю., каф.

805 МАИ , 2017 г.Дифференциальные уравнения. Лекция «СЛНДУ»стр.3 иC .Это система алгебраических уравнений с неизвестными C123 3tC1 = 2 ⋅ e4. Решаем систему: .3t =− eC 223 3t1 3tC(t)=⋅edt=e + C11∫225. Найдем функции C1 (t) и C2 (t) :  = − 3 e t dt = − 3 e t + CC2 2 ∫ 226. Подставим найденные функции в решение из пункта 2: 1 3t t  3 t 3t x =  2 e + C1  ⋅ e +  − 2 e + C2  ⋅ e y = −  1 e3t + C  ⋅ e t +  − 3 e t + C  ⋅ e3t122 2 x = C1 ⋅ e t + C2 ⋅ e3t − e4tПолучим: t3t4t y = −C1 ⋅ e + C2 ⋅ e − 2e x = C1 ⋅ e t + C2 ⋅ e3t − e4tОтвет: t3t4t y = −C1 ⋅ e + C2 ⋅ e − 2eРешение СЛНДУ со специальными правыми частями методом подборачастного решенияВ случаях, когда неоднородности в правых частях уравнений СЛНДУ имеют специальный вид:cos(β t )f j ( t ) = ∑ Pm ( t ) ⋅  или  ⋅ e αt может быть применен метод подбора частного решения.sin(β t ) cos(β t )Рассмотрим подробнее структуру слагаемых правой части ДУ: Pm ( t ) ⋅  или  ⋅ e αt , здесьsin(β t ) •Pm ( t ) = p o + p1 t + p 2 t 2 + p 3 t 3 + ...

+ p m t m - многочлен по целым, неотрицательным степенямt степени m .•cos(βt ) или  - необязательный множительsin(β t ) Доцент Лунева С.Ю., каф. 805 МАИ , 2017 г.Дифференциальные уравнения. Лекция «СЛНДУ»стр.4Алгоритм решение СЛНДУ со специальными правыми частями методом подбора частногорешения1. Решить соответствующую СЛОДУ, записать её общее решение.2. Для каждого слагаемого в правой части каждого уравнения выписать параметры:m - максимальная степень t в многочлене Pm ( t ) , если слагаемое не содержит t , тоm = 0;β - коэффициент при t в аргументе cos(β t ) или sin(β t ) , если слагаемое не содержит ниcos(β t ) , ни sin(β t ) , то β = 0 ;α - коэффициент при t в аргументе экспоненты, если слагаемое не содержит экспоненты,то α = 0 .3. Сгруппировать слагаемые с одинаковыми парами ( α , β )для каждого уравнения, длясформированной группы выписать параметры: максимальное из m и общие β и α .

Каждое изнесгруппированных слагаемых представляет собой отдельную группу со своими параметрами.4. Сгруппировать слагаемые с одинаковыми парами ( α , β ) для всех уравнений, длясформированной группы выписать параметры: максимальное из m и общие β и α .5. Для каждой выделенной группы записать структуру частного решения по следующемуправилу:а) если β = 0 , то Yчаст = Q m +s (t) ⋅ eα⋅t , гдеQ m+s ( t ) - вектор многочленов по целым, неотрицательным степеням t степени m + s в общемвиде, здесьm - параметр группы;α - коэффициент при t в аргументе экспоненты является параметром группы;s - определяется следующим образом: если величина(α + iβ) , составленная изпараметров группы совпадает с корнями λ характеристического уравнения из п.1 , тоs равняется числу совпадений, если же величина (α + iβ) среди корней λ характеристическогоуравнения не встречается, то s = 0 .Доцент Лунева С.Ю., каф.

805 МАИ , 2017 г.Дифференциальные уравнения. Лекция «СЛНДУ»стр.5б) если β ≠ 0 , то Yчаст = [ Q m+s (t) ⋅ cos(β t) + R m+s (t) ⋅ sin(βt)] ⋅ eα⋅t , гдеQ m +s ( t ), R m +s ( t ) - векторы многочленов по целым, неотрицательным степеням t степениm + s в общем виде с разными коэффициентами, здесьm - параметр группы;α - коэффициент при t в аргументе экспоненты является параметром группы;β - коэффициент при t в аргументе cos(β t ) и sin(β t ) является параметром группы;- определяется как и в случае а).6.

Определить значения неизвестных коэффициентов методом неопределенных коэффициентов.7. Записать решение СЛНДУ как сумму решения СЛОДУ и всех частных.Пример 2. x = 2x + yДано: 4t y = x + 2y − 3eРешить СЛНДУ методом подбора частного решения.Решение: x = 2x + y1. Решаем ЛОДУ вида:  y = x + 2y x = C1 ⋅ e t + C2 ⋅ e3tОна имеет решение вида: (см.

пример 1.)t3t y = −C1 ⋅ e + C2 ⋅ e2. Исследуем структуру неоднородности в каждом уравнении исходной системы.Первое уравнение не содержит неоднородности.Второе уравнение содержит неоднородность f 2 (t) = −3e 4t с параметрами α = 4 β = 0 m = 0 .3,4. Группировки по уравнениям нет.5. Сформируем столбец частного решения по параметрам: α = 4 β = 0 m = 0 :α + iβ = 4 + i ⋅ 0 = 4 → S = 0 → m + S = 0 .Доцент Лунева С.Ю., каф. 805 МАИ , 2017 г.Дифференциальные уравнения. Лекция «СЛНДУ»Тогда Yчастстр.6 x част = A ⋅ e4t x част   A  4t=. =   ⋅ e или 4t y част   B y=B⋅e част6. Найдем значения A и B методом неопределенных коэффициентов.Для этого найдем сначала производные x и y :x част = 4A ⋅ e4ty част = 4B ⋅ e4tПодставим найденные функции в исходную систему:4A ⋅ e4t = 2A ⋅ e4t + B ⋅ e 4t4t4t4t4tB ⋅ e = A ⋅ e + 2B ⋅ e − 3 ⋅ e⇒4A = 2A + BB = A + 2B − 3⇒ x част = −e4tОкончательно: 4t y част = −2e x = C1 ⋅ e t + C2 ⋅ e3t − e4t7.

Получим: t3t4t y = −C1 ⋅ e + C2 ⋅ e − 2e x = C1 ⋅ e t + C2 ⋅ e3t − e4tОтвет: t3t4t y = −C1 ⋅ e + C2 ⋅ e − 2eДоцент Лунева С.Ю., каф. 805 МАИ , 2017 г. A = −1 B = −2.