Дорохов В.М. - Задачи по обыкновенным дифференциальным уравнениям с ответами

Дорохов В.М.Задачипо обыкновенным дифференциальным уравнениемс ответами.МОСКВА, 2013§1. Уравнения с разделяющимися переменными.1. Найти общее решение уравнения.1.1. xydx+(x+1)dy=01.2. y 2 1dx  xydy1.3. z=10x+z1.4. x dx t 1dt1.5. (x+1)3dy–(y–2)2dx=01.6. sec2xsecydx=–ctgxsinydy1.7.  xy  x y  y  01.8. 2x+y+3x–2yy=01.9. (y+xy)dx+(x–xy)dy=01.10.* x2(2yy–1)=12. Найти частные решения уравнений.1.11.yctgx+y=2y(0)=–1231.12. y  3 yy(2)=01.13. xy+y=y21.14. ydx+ctgxdy=01.15.1.16.1.17.1.18.1.19.1.20.2S=Scos tlnSy2+x2y=02(1+ex)yy=ex(1+x2)y3dx–(y2–1)x3dy=0(1+x2)dy+ydx=0xdy+(y–5)dx=0y(1)=0,5y  3  =–1 S()=1y(–1)=1y(0)=0y(1)=–1y(1)=1y(–4)=83.

Геометрические и физические задачи.1.21. Найти кривые, для которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная а2.1.22. Найти кривые, для которых сумма катетов треугольника построенногокак в предыдущей задаче есть величина постоянная, равная в.1.23. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3;1) и обладающейтем свойством, что отрезок касательной между точкой касания и осьюОХ делится пополам в точке пересечения с осью ОY.1.24. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (–1;–1) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ОХ касательной,проведенной в любой точке кривой, равен квадрату абсциссы точки касания.21.25.

Кривая проходит через точку (1;2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой ее точки к абсциссе пропорциональна угловому коэффициенту касательной, проведенной в той же точке, с коэффициентом пропорциональности K=3. Найти уравнение прямой.1.26. В сосуд, содержащий 10 литров воды, непрерывно поступает со скоростью 2 литра в минуту раствор, в каждом литре которого содержится0,3 кг соли.

Поступающий в сосуд раствор перемешивается с водой исмесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет в сосуде через 5 минут?1.27. Пуля, двигаясь со скоростью V0=400 м/с, углубляется в достаточно толстую стену. Сила сопротивления стены сообщает пуле отрицательноеускорение, пропорциональное квадрату ее скорости. Найти скоростьпули через 0,001 с после вхождения пули в стену, если коэффициентпропорциональности K=7м–1.1.28. Тело охладилось за 10 минут от 1000 до 600. Температура окружающеговоздуха поддерживается равной 200.

Когда тело остынет до 250? (Скорость остывания тела пропорциональна разности температуры тела иокружающей среды).1.29. За 30 дней распалась 50% первоначального количество радиоактивноговещества. Через сколько времени останется 1% от первоначального количества?1.30. За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака с диаметром2R=1,8 м и высотой H=2,45 м через отверстие в дне диаметром 2r=6 см?Ось цилиндра вертикальна. Принять, что жидкость из сосуда вытекаетсо скоростью равной 0,6 2 gh , где g=10м/сек2, h – высота уровня жидкости над отверстием.§2. Однородные уравнения и приводящиеся к ним.2.1 (x+2y)dx–xdy=02.2. (x–y)dx+(x+y)dy=02.3. (y2–2xy)dx+x2dy=02.4. y2+x2y=xyy2.5.

(x2+y2)y=2xy2.6. xy–y=xtg(y/x); y(1)= 22.7. xdy–ydx=ydy; y(–1)=12.8. (y2–3x2)dy+2xydx=0; y(1)=–22.9.* y–xy=xsec(y/x); y(1)=2.10. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3;4) и обладающейтем свойством, что отрезок, отсекаемой любой касательной на оси ординат, равен удвоенному модулю радиуса-вектора точки касания.2.11. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1;4) и обладающейтем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен удвоенной абсциссе точки касания.32.12. (2x+y+1)dx+(x+2y–1)dy=02.13. (x+y+2)dx+(2x+2y–1)dy=02.14. 2(x+y)dy+(3x+3y–1)dx=0; y(0)=22.15. y=(x+y–2)(y–x–4);y(1)=1§3. Линейные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.3.1.3.3.3.5.3.7.y–y=ex(1–x2)y+xy=1ds=(2st+t3)dty–2xy= xe  x3.9.

xy–y= x3.11.3.13.3.15.3.17.3.19*2xy–ytgx+y2cosx=0x2y2y+xy3=1xydy=(y2+x)dxy–ysinx=e–cosxsin2x;y  2  =3 3.2.3.4.3.6.3.8.3.10.3.12.3.14.3.16.y–yctgx=sinxx2y=2xy+3y+ 1 y x +x2=03.18.y– 3xy =x3ex; y(1)=eydx–(3x+1+lny)dy=0; 3.20*y   13  =1y–3x2y–x2=0y– xy =xcosxy+2y=y2ex(x+1)(y+y2)=–yy+y=e x;1  x2y(0)=2ydx+2xdy=2 ydy;y(0)=xsec2y3.21. Найти кривые, у которых площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и ординатой точки касания, есть величина постоянная,равная 3а2.3.22. Найти кривые, у которых площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касания,есть величина постоянная, равная а2.3.23. Точка масса m движется прямолинейно: на нее действует сила, пропорциональная времени, протекающему от момента, когда скорость равнялась нулю (коэффициент пропорциональности равен K1). Кроме того,точка испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости(коэффициент пропорциональности равен K2).

Найти зависимость скорости от времени.3.24. В баке находится 100л раствора, содержащего 10кг соли. В бак втекает5л воды в минуту, а смесь с той же скоростью переливается в другой100-литровый бак, первоначально наполненный чистой водой. Избытокжидкости из него выливается. Когда количество соли во втором баке будет наибольшим? Чему оно равно?4§4. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.4.1.3)dx+(2x+3y2)dy=02(2y–24.2. 2xydx+(x2–y2)dy=04.4.4.3.(2–9xy )xdx+(4y – (x+ln|y|)dx+ 1  x  sin y  dy=3y6x )ydy=004.6.(ey+yex+3)dx=(2–2 234.5. (3x y +7)dx+2x ydy=0xey–ex)dy4.7.3ysin(x+y)dx+xcos(x+y)(dx+ 4.8. x dx +(y +lnx)dy=0dy)=04.9.(2x+yexy)dx+(1+xexy)dy=0;y(0)=14.10.*  y2 sin 2 x  1 dx–y sin2 x x  dy=0 y2Решить уравнение, подобрав интегрирующий множитель или сделав заменупеременных.224.11.

(х +у +х)dx+ydy=04.13. xdx=(xdy+ydx) 1  x 24.15. у2dx–(хy+x3)dy=04.12. (х2+у2+y)dx–xdy=04.14. xy2(xy+y)=1§5. Разные уравнения первого порядка.5.2. (xy2–x)dx+(y+xy)dy=05.1. y+y=xy5.4.5.3. yy+y2ctgx=cosx(ey+2xy)dx+(ey+x)xdy=05.5. y(y–xy)= x 4  y 45.6. x2(dy–dx)=(x+y)ydx5.7.(cosx– 5.8.(1–x2y)dx+x2(y–xsinx)ydx+(xcosx–2y)dy=0 x)dy=05.9. xy(lny–lnx)=y5.10. yy=4x+3y–25.11.5.12.(2x+3y–yy x  y cos  dx+xcos dy =01)dx+(4x+6y–5)dy=0xx35.13. yy+xy=x35.14 x(x–1)y+y3=xy5.15. (x2+y2+1)yy+(x2+y2–1)x=0§6.

Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.6.2. y= 236.1. y=–cosxx56.3. y=113x  1 x  136.5. y=xsinx6.7. y–2yctgx=sin3x6.9. (1+x2)y+(y)2+1=06.11. 1+(y)2+yy=06.13. 2yy=(y)26.15. y+2y(y)3=06.17.y–yctgx=sinx; y 2  =1; y    2 26.4. y= e x  34 x526.6. (1–x2)y–xy=06.8. y+ yx =06.10. xy– y=06.12. ytgy=2(y)26.14. 2yy+(y)2+(y)4=06.16. y=3x2; y(0)=2;y(0)=16.18.(x+2)y–y=0;y(0)=–2; y(0)=56.19. 2y=3y2; y(–2)=1; 6.20.yy=(y)2–(y)3;y(–2)=–1y(1)=1; y(1)=–1§7.

Однородные уравнения высших порядков.1. Найти общее решение уравнений.7.1. y–2y=07.4.y+4y+3y=07.7.y+2y+10y=07.10. y–8y=07.13.y(4)+2y(2)+y=07.3.y–5y–6y=07.6.7.5. y–2y+y=04y+4y+y=07.9.y–7.8. y+4y=06y+13y=047.12.7.11. d 4y –y=0dxy(4)+13y(2)+36y=07.14.y(7)+2y(5)+y(3)=07.2. y+y–2y=02. Найти частное решение уравнения.7.15. y–5y+4y=0; y(0)=0; 7.16. y–2y+2y=0; y(0)=1;y(0)=3y(0)=07.17.2y–7y–15y=0; 7.18.y+4y+5y=0;y(0)=4; y(0)=5y(0)=;–3; y(0)=07.19. y–y=0; y(0)=0; 7.20.y+3y+3y+y=0;y(0)=;–1;y(0)=1y(0)=2; y(0)=3§8. Линейные неоднородные уравнения высших порядковс постоянными коэффициентами.4x8.1. y–2y–3y=e8.2. y+4y+3y=3ex8.3. y+y=3cosx8.4.

y+6y+5y=25x2–268.5. y–2y+10y=37cos3x 8.6. y–6y+9y=3x–8ex8.8.y–y=x+1; y(0)=0;8.7. y+4y=8e2x+5exsinxy(0)=23x8.9. y–3y+2y=e (3–4x); 8.10. y–4y+3y=xe2x;y(0)=0; y(0)=0y(0)=0; y(0)=08.11. y–5y+6y=2cosx;8.12. y–3y–4y=17sinx;1y(0)=3; y(0)= 2y(0)=5; y(0)=68.13. y+2y+y=x+cosx;8.14.y–y(0)=0; y(0)=04y+4y=2(sin2x+x);y(0)=0; y(0)=–1x8.16. y+3y+2y= x18.15. y–2y+y= ee 1x8.17.y+y= sin1 x8.18.

y+4y=2tgx8.19. y+2y+y= 3e x8.20. y+4y= cos12 xx 1Ответы:§1. Уравнения с разделяющими переменными.c( x  1)y= x ;1.3.z=–ln(c–e1.2. lnex= y 2  1x10 )1.1.x=–1221.4. x +t –2t=c1.5.  y 1 2 +12( x  1) 2=c1.8.1.7.x2 13 =c2 18 y ln18ln32 y ln y  2 x  c1.10. x(y2+c)=x2–1.11. y=2–3cosx11.13. y(x+1)=11.14. y=–2cosx1.17. 2e y =ex+121.16. x+y=01.19.lny= 4 –1.20. y=5– 12x1.6.tg2x+sin2y=c1.9.y+ln|xy|=c1.12.3yx–=x–21.15.

ln2s–2tgt=01.18.11x 21  ln yx2 y221.21. y= c2a x arctgx1.22.bln|y|–1.24. y= 12xx 1.23. x=3y2y=x+c;(0<y<b)1.26.3–3e–31.25. y= 2 x1.27. 105,3 м/с11,9кг. соли1.28. 40 мин.1.29. 200 дней.1.30. 17,5 мин.§2. Однородные уравнения и приводящиеся к ним.72.2.ln(x2+y2)+2arctg  xy  =c2.1. x2=c(x+y); x=0 2.3. x(y–x)=cy; y=02.5. y2–x2=cy2.7. x=–y(1+ln|y|)2.9. sin  xy  +ln|x|=02.4. xln|yc|=y2.6. y=xarcsinx2.8. 3y3=8(x2–y2)2.11. y=–2xln|x|+4x2.12. x2+y2+xy+x–y=c2.14.3x+2y–4+2ln|x+y–1|=02.10. x y  2.13.

x+2y+5ln|x+y–3|=cx 2  y 2  27x2–y2+2xy–4x+8y–2.15.6=0§3. Линейные уравнения первого порядка и уравнение Бернулли.x3.1. y=e (x+c)3.3.y= arcsin x 2 c 3.2. y=sin(x+c)1 x2– 1x3.4. y=cx3.7.y= ce x23.5.3.8. y= ce x12e x323.10. y= xsin x  c 3.13. y= 322s=  t2  12  ce t3c2c x 33.6.y= 1 1 x  c  x3 33.9.y= 2x133.11.

y= cos( 1x  c)3.14.y(x+1)(ln|x+1|+c)=13.17. y=  52  12 cos 2 x  e–x  cx3.12. ye x  ce 2 x  =1;y=03.15. y2= cx 2  2x ;x=03.16.y=e–3.18. y=x3exxcosx(arctgxx+2)3.19.3.20.xy2=(ln|cosy|+yt 3.21.3x= y 9 4  13 lnydy)2xy= cx 3  2a 223.22. xy=a +cy23.23.v= kk1 t–3.24.

через 20мин;3,68кг2k1mk 22k2+c e mt§4. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.4.1. 2xy–3x+y3=c4.2. 3x2y–y3=c4.3. x2–3x3y2+y4=c4.4.x22+xln|y|+y–cosy=c84.5. x3y2+7x=c4.7. xsin(x+y)=c4.6. xey+yex+3x–2y=c4.8. 4ylnx+y4=c4.9. x2+y+exy=24.10. x(1+y)+ siny x =c4.11. 2x+ln(x2+y2)=c4.12. x+arctg  xy  =c2 3 34.14. 2x y –3x2=c4.13.