Подъемная сила изолированного прямого крыла бесконечного размаха

ПОДЪЕМНАЯ СИЛА ИЗОЛИРОВАННОГО ПРЯМОГО КРЫЛАБЕСКОНЕЧНОГО РАЗМАХАИзолированное прямое крыло бесконечного размаха, профиликоторого одинаковы по всей его длине, очевидно, является цилиндрическимтелом. Поэтому движение такого крыла в неподвижной воздушной среде соскоростью V, направленной перпендикулярно оси цилиндра, являетсяплоским движением. Чтобы сделать это движение стационарным, егообращают, т.е. рассматривают движение равномерного прямолинейногопотока с той же скоростью V в противоположном направлении относительнонеподвижного крыла. Силы, действующие на крыло при таком движении,параллельны плоскости течения и одинаковы в любом сечении этойплоскостью.

Для бесконечного цилиндрического тела естественно находитьсилы, действующие на единицу длины этого тела вдоль образующих, т.е.силы, действующие на плоскую фигуру, образованную сечением телаплоскостью потока (для крыла – профиль). Размерность этих сил –Ньютон/метр.Таким образом, задача представляется как плоская задача обтеканияпрофиля.

Если предположить, что обтекание является безотрывным, то дляскоростей, меньших половины скорости звука, приближенной модельютакого обтекания является модель безотрывного обтекания контура профиляплоским потоком идеальной несжимаемой жидкости. Для такой моделиможет быть использован математический аппарат, базирующийся на понятиикомплексного потенциала течения.Так как рассматривается идеальная жидкость, то действующие напрофиль силы - это силы давления.Обозначим контур, ограничивающий профиль, символом С,результирующую сил давления на этот контур – F , а ее проекции на осиплоскости течения – Fx и Fy. Сила dF , действующая на элементарный участокконтура dc, будет иметь проекции dFx = -psindc = -pdy и dFy = -pcosdc =pdx, где p - давление потока на этом участке,  - угол наклона dcотносительно оси X, dx и dy - проекции дифференциала дуги dc.

Знак минусв выражении для dFx вызван тем, что положительным направлением нормалик элементу контура dc считается внешнее по отношению к контуру, аположительным давлением - сжимающее, т.е. - направленное внутрь контура.Проекции результирующей силы давления на весь контурFx    p sin dc    pdy и Fy   p cos dc   pdx .CCCCРаспределение давления p на поверхности тела можно определить изуравнения Бернуллиu 2 p  gh  const2(здесь  - плотность жидкости, u =u(x,y) – модуль скорости на контуре (скорости обтекания), h - высотарассматриваемой точки тела, g - ускорение силы тяжести). Пренебрегаяизменениемдавления,вызваннымразличнойвысотойточекрассматриваемого тела, из этого уравнения p  const  u 2 , следовательно21 2u dy ; Fy    u 2dx .

Интеграл по замкнутому контуру от2C2Cконстанты, очевидно, равен нулю.Если вектор скорости невозмущенного потока направлен вдоль оси х,то Fx называется силой лобового сопротивления, Fy – подъемной силой.Вектора u , dz и F можно записать в виде комплексных чиселu  u x  ju y  ue j (так как скорость при безотрывном обтекании направленапо касательной к поверхности, т.е. – по направлению dc),Fx dz  dx  jdy  dce j , F  Fx  jFy   u 2 (dy  jdx)   j  u 2 (dx  jdy )   j  u 2dz222CCCВыражение для силы и ее проекций можно записать черезкомплексный потенциал течения w(z), напримерF*  Fx  jFy j 2u (dy  jdx )  j  u 2 (dx  jdy)  j  u 2 dz * 2C2C2C 2  2 ju e dz  j  (u*) 2 dz  j  ( w ) 2 dz.2C2C2CЗвездочкой (*) обозначено выражение, комплексно сопряженное поотношению к исходному, т.е.

u*(z) – сопряженная скорость, а F * – величина,комплексно сопряженная силе F . Последнее выражение известно какформула Чаплыгина (полученная им в 1910 г.).Таким образом, зная выражение для комплексного потенциалаобтекания контура (что эквивалентно знанию сопряженной скорости илискорости такого обтекания), можно определить интересующие проекциисилы. Способы определения комплексных потенциалов и скоростейобтекания для произвольных контуров, получающихся из окружностейконформным преобразованием, были ранее рассмотрены при рассмотренииплоских потоков.Если для таких контуров нужно найти не всю картину обтекания, алишь силы, действующие на контур при таком обтекании по формулеЧаплыгина, то вычисления можно существенно упростить, есливоспользоваться разложением комплексных функций в ряд Лорана, и учесть,что все рассматриваемые функции являются аналитическими, а конечныеособые точки могут иметь лишь внутри контура С, т.е.

– внерассматриваемого обтекания.На контуре С и везде вне его сопряженную скорость u*(z) можноразложить в ряд Лорана видаu * (z)  a 0  a 1z 1  a 2 z 2  ... .Вид разложения в ряд Лорана зависит от характера функции вточке, в окрестности которой проводится разложение. Показанный видимеет разложение ограниченной аналитической функции в окрестностибесконечно удаленной от начала координат точки. Вне контура С (везде)сопряженная скорость как раз является такой ограниченной аналитическойфункцией.2Подставим это выражение в формулу Чаплыгина.2a ab(u * (z)) 2  (a 0  a 1z 1  a 2 z 2  ...) 2  a 02  0 1   nn ,zn 2 zгде bn – постоянные коэффициенты, вычисляемые понятным образом покоэффициентам ряда Лорана.2a 0 a 1bn 2 2a 0 a 1  b n *22(u(z))dzadzadzdzdz 0CC  0nnzzn 2 z CCC n 2 z 0  2j  2a 0 a 1  0  2j  2a 0 a 1 , так как интегралы по замкнутомуконтуру от всех остальных слагаемых тождественно равны нулю.

Последнеепроверяется непосредственно подстановкой z  re j и переходом кинтегрированию по  от 0 до 2. Итак,F*  Fx  jFy  j  (u*) 2 dz  j 2j  2a 0 a 1  2a 0 a 1 .2C2Таким образом, нужно знать лишь два коэффициента разложениякомплексной скорости.

Один из них, а0 можно найти из разложенияu * (z)z  V *  a 0  0  a 0 , т.е., а0=V*.комплексной скорости при z:Другой, а1 – из интеграла  u *dz . С одной стороны этот интегралC u dz   (aC a 1 z  a 2 z  ...)dz  0  2j  a 1  0  2j  a 1 , с другой – равен1*02Cциркуляции Г. Действительно,dw u dz   dz dz   dw  *CCC jQ C   , так какCпри безотрывном обтекании по контуру С проходит линия тока, а расход j .через линию тока равен нулю.

Таким образом a 1 2j2*Итак, F*  Fx  jFy  2a 0 a 1  jV  . Так как V*=VxjVy, тоFx  Vy  , Fy  Vx  , F  F  V .Если систему координат сориентировать по вектору скорости, т.е., Vx=V,Vy=0,то Fx= 0,Fy  V . Согласно действующему стандарту,составляющую силы, направленную перпендикулярно скорости называютподъемной силой и обозначают Ya, а направленную вдоль скорости впротивоположном направлении – силой сопротивления, обозначая ее Xa. Вэтих обозначениях Ya  V , X a  0 .Таким образом, сила давления, действующая профиль С, т.е.

– наединицу длины бесконечного цилиндрического тела (изолированное крыло),движущегося в неподвижной идеальной несжимаемой среде, прибезотрывном обтекании является подъемной силой, (т.е. направленаперпендикулярноскорости)величинойF  V ,знаккоторойпротивоположен знаку циркуляции скорости вокруг контура С(направляющей этого цилиндрического тела). Это правило называетсяформулой (теоремой) Жуковского (1906г.). Следует обратить внимание нато, что сила сопротивления (т.е. проекция общей силы, направленная вдоль3скорости) оказалась нулевой для любого контура С.

Этот факт называетсяпарадоксом Д'Аламбера.Соответствуют ли полученные результаты реальности? Так какрезультаты математически строго следуют из принятой модели обтекания, тоэтот вопрос эквивалентен вопросу о работоспособности этой модели.Сомнения может вызывать, во-первых – отсутствие силы сопротивления(парадокс Д'Аламбера), а во-вторых – существование циркуляции Г.Отсутствие силы сопротивления объясняется идеальным характеромсреды (отсутствием вязкости) в рассматриваемой модели. В этом случаеединственными силами на поверхность являются силы давления, а ихраспределение по поверхности согласно полученным соотношениям далонулевую суммарную проекцию на направление скорости невозмущенногопотока.

Это не противоречит известным физическим принципам, так какпротивоположный результат означал бы потерю механической энергии ввозмущенной части потока при отсутствии в ней трения и других причинтаких потерь. Для реальных жидкостей при принятых выше условияхнеобратимые потери механической энергии из-за вязкого трения будут, но ихвеличинаприбезотрывном(«гладком»)обтеканиисогласноэкспериментальным данным не столь велика для того, чтобы полученныйрезультат нельзя было считать приближенно верным.Другое дело, что в реальных обладающих вязкостью жидкостях и газахбезотрывное обтекание возможно не для любых тел.

В частности, длякруглого цилиндра оно возможно лишь для очень малых скоростей.Незначительное увеличение скорости неизбежно приводит к «отрыву»потока на задней части окружности и образованию там так называемой«застойной вихревой зоны». При этом сила сопротивления согласноэкспериментальным данным резко возрастает и ее уже нельзя приниматьблизкой к нулю даже приближенно. Тела, для которых возможнобезотрывное обтекание в условиях конкретного эксперимента иногданазывают «обтекаемыми». Таким образом, рассмотренные модели иполученные по ним результаты применимы лишь к обтекаемым телам.

Такиетела имеют, как правило, округлую форму передней части и острую заднююкромку, в которой достаточно плавно смыкаются гладкие верхняя и нижняяповерхности.Сомнения в существовании ненулевой циркуляции Г вокруг контуравызваны теоремой Томсона, согласно которой в идеальной среде вихридолжны иметь постоянную во времени циркуляцию. А по формулеЖуковского любое изменение подъемной силы при постоянной скорости иплотности происходит при изменении циркуляции. В частности, если внекоторый «начальный» момент времени тело было неподвижноотносительно потока, и очевидно, имело нулевую циркуляцию, то откуда онавзялась потом, когда эта скорость стала ненулевой?Чаплыгин и Жуковский дали этому простое объяснение для профилей сострой задней кромкой.

Если такой профиль, который до этого гладко(безотрывно) обтекался потоком, достаточно быстро повернуть в плоскостипотока, то в момент поворота безотрывность обтекания у острой задней4кромки нарушится. Образовавшиеся при этом вихри будут уносится(«сдуваться») набегающем потоком. Так как эти вихри имеют ненулевуюциркуляцию, то по теореме Томсона вокруг профиля циркуляция тожедолжна меняться – на ту же величину, но в противоположном направлении.И так будет происходить до тех пор, пока не прекратится перетекание потокачерез острую кромку, т.е.