рактический курс физики. Механика (Практический курс физики. Механика), страница 8

В частном случае, когдамасса системы постоянна, его можно записатьnk rrma=(3.6)∑ i c ∑ Fjвнеш ,i =1j =1rгде ac - ускорение центра масс системы, равноеrr dvcac =.(3.7)dtСистема материальных точек называется замкнутой, есливходящие в систему частицы взаимодействуют между собой и невзаимодействуют с другими телами, т.е. на систему не действуютk rвнешние силы ∑ Fjвнеш = 0 .j =1Законсохранения импульсаrP = const(3.8)выполняется в замкнутой системе.Из закона сохранения импульса следует, что скорость центраrrмасс vc замкнутой системы постоянна. А если vc = 0 = const , то икоордината центра масс не изменяется в процессе движения.Пусть на тело (материальную точку) действует сила F .Элементарнаяработа силы F на пути dsr rdA = F , dr = Fds cos α ,(3.9)rгде α - угол между векторами силы F и элементарного перемещенияrrdr , dr = dsrРабота, совершаемая силой F , равна2r r 2A = ∫ F dr = ∫ F cos α ds .(3.10)(1)1Работаrпостоянной силыrΔA = F , Δr = FS cos α .(3.11)Средняя мощность за интервал времени Δt = t2 − t1ΔAN =.(3.12)ΔtМгновенная мощностьr rdAdsN== F cos α = Fv cos α = F , v .(3.13)dtdtКинетическая энергия материальной точки массы m (тела,движущегося поступательно)()( )44mv 2 p 2=E=.(3.14)22mЕсли частица массы mдвижется под действием k силF1 , F2 , F3 ,....Fk , то приращение ее кинетической энергии приперемещении из точки 1 в точку 2 равно алгебраической сумме работвсех сил на этом путиΔEk = Ek 2 − Ek 1 = ∑ A12 (Fj ) .k(3.15)j =1Сила называется консервативной, если работа силы равна нулюпри перемещении по замкнутой траектории, или работа этой силы приперемещении из точки 1 в точку 2 не зависит от формы траектории.Поле консервативных сил потенциально.

Любое однородноестационарное силовое поле потенциально. Для частицы, находящейсяв потенциальном поле, можно ввести понятие потенциальной энергии.Потенциальная энергия частицы, находящейся в точке поля скоординатами (х,у,z), - это скалярная величина U = U ( x, y, z , x0 , y0 , z0 ) ,равная взятой со знаком минус работе консервативных сил поля поперемещению частицы с уровня принятого за ноль отсчетапотенциальной энергии U ( x0 , y0 , z0 ) = 0 в данную точку.(3.16)U ( x, y , z ) = − Aконс .Следовательно, работа консервативной силы при перемещениииз точки 1 в точку 2 равна убыли (взятому со знаком минусприращению) потенциальной энергии(3.17)A12 конс = − ΔU = −(U 2 − U1 ) = U1 − U 2 .Связьконсервативной силы и потенциальной энергииrFконс = − gradU ,(3.18)⎛ ∂U r ∂U r ∂U r ⎞gradU = ⎜⎜i+j+k ⎟⎟ в декартовой прямоугольнойгде∂x∂y∂z⎠⎝dU, если поле сферическисистеме координат, или gradU =drсимметрично.В однородном поле сил тяжести F = mg ,U = mgh .(3.19)Потенциальная энергия растянутой (сжатой) силой F = kx пружиныkx 2.(3.20)U=2Полная механическая энергияE = EK + U .(3.21)45Из соотношений (3.15) и (3.17) следует, что приращение полноймеханической энергии частицы равно работе неконсервативных (илисторонних) силΔE = ΔEK + ΔU = A12 − A12 конс = A12сторнеконс ,ΔE = A12стор(3.22)неконс .Закон сохранения полной механической энергии(3.23)E = EK + U = constвыполняется, если на систему действуют только консервативные силы.В частном случае, если система замкнута, а внутренние силыконсервативны, полная механическая энергия сохраняется.При абсолютно упругом ударе выполняются одновременнозакон сохранения импульса и закон сохранения полной механическойэнергии.В случае прямого центрального упругого удара частиц,rr rrимпульсы которых до столкновенияp1 = m1v1 , p2 = m2v2 , а послеrr rrстолкновения – p1′ = m1v1′, p2′ = m2v2′ , законы сохранения импульса иполной механической энергии примут видr rr r(3.24)p1 + p2 = p1′ + p′2 ,r2r2r2r2p1pp′p′+ 2 = 1 + 2 ,(3.25)2m1 2m2 2m1 2m2откуда получим скорости частиц после удараrrr (m1 − m2 )v1 + 2m2v2u1 =,(3.26)m1 + m2rrr (m2 − m1 )v2 + 2m1v1.(3.27)u2 =m1 + m2При абсолютно неупругом ударе закон сохранения импульсавыполняется, а закон сохранения полной механической энергии – нет,часть энергии переходит в тепло Q.Для неупругого центрального столкновения тех же частиц,rrrимпульс которых после удара p′ = (m1 + m2 ) u , где u - скорость послеудара, получимr rr(3.28)p1 + p2 = p′ ,p1pp′2+ 2 =+Q.2m1 2m2 2(m1 + m2 )22(3.29)Откуда скорость частиц после столкновенияrrr m2v2 + m1v1u=.m1 + m2(3.30)463.2.Примеры решения задачЗадача r3.1.

Тело массой m1 = 2 кг, движущееся со скоростьюrrrv1 = 3i + 2 j − k [м c] , испытывает абсолютно неупругое соударение сдругим телом rмассой m2 = 3 кг, движущимся со скоростьюrrrv2 = −2i + 2 j + 4k [м c]. Найти скорость получившейся составнойчастицы.Решение. Закон сохранения количества движения в векторнойrrrформе m1v1 + m2v2 = (m1 + m2 )v .rrr rr m1v1 + m2v2= 2 j + k [м c].Отсюда v =m1 + m2Задача 3.2. Ракета движется, выбрасывая струю газов сrпостоянной относительно ракеты скоростью v1 (рис.

3.1). Секундныймассовыйрасходrистекающего газа равен μ ,v1начальная масса ракеты Какуюскоростьm0 .относительноземлиприобретет ракета черезвремя t1 после старта, еслиРис.3.1начальная скорость ракетыравна нулю? Действиемвнешних сил пренебречь.Решение. В отсутствие внешних сил механическая системаракета–газ замкнута, поэтому справедлив закон сохранения импульса.Т.к. вначале ракета покоилась и газ не истекал, суммарный импульссистемы равен нулю.rrОбозначим dp1 и dp2 изменения импульса ракеты и порции газаrrза время dt .

Из закона сохранения импульса dp1 + dp2 = 0 .rЕсли v - скорость ракеты в некоторый момент времени t, аm = m0 − μt ее масса в этот момент, и за время dt скорость ракетыrrrизменится на dv , то dp1 = (m0 − μt )dv . Порция газа массой m двигаласьrвместе с ракетой со скоростью v . Покинув ракету за промежутокr rвремени dt эта масса приобрела относительно земли скорость v + v1 .Следовательно, импульс порции газа, выброшенного из ракеты заrrвремя dt , изменился на dp2 = μdtv1 .r rПодставим dp1 , dp2 в закон сохранения импульса в векторнойrrформе (m0 − μt )dv + μv1dt = 0 .()47В проекции на ось координат, совпадающую с направлениемдвижения ракеты, закон сохранения импульса примет вид(m0 − μt )dv − μv1dt = 0 . Отсюда dv = μv1dt .m0 − μtИнтегрируя это выражение в пределах от 0 до t1 , получим1⎛ m0 ⎞μdtd (m0 − μt )⎟⎟ .= −v1 ∫= v1 ln⎜⎜v = v1 ∫−μ−μ−μmtmtmt001⎠⎝ 000ttЗадача 3.3.

Локомотив массы m начинает двигаться со станциитак, что его скорость меняется по закону v = b s , где b = const , а s пройденный путь. Найти работу сил, действующих на локомотив, запервые t секунд после начала движения.Решение. Работа указанных в условии сил равна приращениюкинетической энергии A = ΔEK = EK 2 − EK 1 . Т.к. в начальный моментmv 2mmv02, или: A = b 2 s .v0 = 0 , то EK 1 == 0 и A = EK 2 =222dsdsТ.к. v = b s , то=b s и= bdt .dtsdsИнтегрируем обе стороны этого уравнения ∫= b ∫ dt .sОтсюда 2 s = bt + c . При t = 0 s = 0 , следовательно, c = 0 ;m 2 b 2t 2 mb4t 2btb 2t 2=и A= b.s = ; s=24824Задача3.4.Иззалитого подвала, площадьyHкоторого равна S = 50 м 2 ,требуется выкачать воду наh мостовую. Глубина воды вh = 1,5 м ,подвалеарасстояние от уровня воды вРис.3.2подваледомостовойH = 5 м .

Какую работу необходимо совершить для откачки воды.Решение. Работа будет равна A = ΔU , где U - потенциальнаяэнергия массы воды в подвалеΔU = U 2 − U1 = mgy .Масса воды m = hSρ ; y - изменение положения центра масс,hy=H+248h ⎞ hSρg (2 H + h )⎛Работа A = hSρg ⎜ H + ⎟ == 4312500 Дж ≈ 4,3 МДж .2⎠2⎝Задача 3.5. Определить среднюю полезную мощность N привыстреле из ружья, если известно, что пуля массы m вылетает из стволасо скоростью v, а длина канала ствола l.

Давление пороховых газов вовремя движения пули в стволе считать постоянным.Решение. Работу пороховых газов будем считать равнойmv 2кинетической энергии вылетающей пули A = EK =, трение не2учитываем.Тогда средняя полезная мощность N = A t , где t - времядвижения пули в стволе.Так как давление пороховых газов постоянно, сила,действующая на пулю F = ma = const , значит a = const .vvvt2lat 2l = t2 = ;t= .Тогда l =, а v = at ; a = ;t2t2v223mv v mv=Отсюда N =.2 ⋅ 2l4lЗадача 3.6. Потенциальная энергия частицы в силовом полеопределяется выражением U = x + 2 y 2 + 3 z 3 .

Частица совершаетv r r rпереход из точки с радиус-вектором r1 = i + j + k в точку с радиусrrrrv-вектором r2 = 2i + 2 j + 2k . Найти: 1) силу F , действующую начастицу со стороны поля; 2) работу A1−2 , совершаемую над частицейrсилой F .Решение. Воспользуемся связью между силой, действующей начастицу и потенциальной энергией частицы в поле этой силы∂u∂u∂u∂UFl = −.

Тогда Fx = − = −1; Fy = − = −4 y; Fz = − = −9 z 2∂x∂y∂z∂lrrrrrrrи вектор силы F = Fx i + Fy j + Fz k = −i − 4 yj − 9 z 2 k .rРабота, совершаемая над частицей силой поля F ,y2z22 rr rr x2dA = Fdr = Fx dx + Fy dy + Fz dz , A1−2 = ∫ Fdr = ∫ Fx dx + ∫ Fy dy + ∫ Fz dz .1xyz11r 1rrv r r r vИз формул r1 = i + j + k и r2 = 2i + 2 j + 2kx1 = 1; x2 = 2; y1 = 1; y2 = 2; z1 = 1; z2 = 2 . Тогда222222A1−2 = − ∫ dx − ∫ 4 ydy − ∫ 9 z 2 dz = − x − 2 y 2 − 3 z 3 = −28 Дж .11111149Знак «минус» говорит rо том, что при переходе работасовершается против силы поля F .Задача 3.7.

В брусок массой М =1 кг, находящийся в покое нагоризонтальной плоскости, попадает пуля m = 10г, летевшаягоризонтально со скоростью v1 = 1000 м c и застревает в нем.Определить путь, пройденный бруском после удара до остановки, есликоэффициент трения между ним и поверхностью μ = 0,2 .Решение. Учитывая, что удар пули о брусок неупругий,воспользуемся сначала законом сохранения импульса mv1 = (M + m )u1 ,mv1u1 =- скорость бруска с пулей после удара.m+MИз соотношения (3.15) ΔEK = EK 2 − EK 1 = Aтр . Дальнейшеедвижение бруска с пулей равнозамедленное Fтр = const , поэтому(M + m )u12= −F0−тр2l=21l,(M + m )u12 = μ(M + m )gl .

Откуда22 21umv== 2,5 м .2μg 2(M + m )2 μgЗадача 3.8. Частица 1испыталаабсолютноyrупругое столкновение сm1v1покоившейся частицей 2.Найти отношение ихrθ2m1vеслимассm1 m2 ,xчастицыразлетаютсяθ2симметричнопоотношениюкrпервоначальномуm2v2направлению движениячастицы 1 и угол междуРис.3.3их направлением разлетаθ = 60° .Решение. Обозначим скорость первой частицы до соударения v ,а после соударения v1 , а второй частицы - v2 . Удар абсолютноупругий, запишем закон сохранения импульса в проекциях на оси х и уи закон сохранения энергииθθθθm1 v =m1 v1 cos + m 2 v2 cos , m1 v1 sin =m 2 v2 sin ,2222222m1vmvmv= 11 + 2 2 .22250Введем обозначение c = m1 m2 .