raschet_stat_neopredel_sistem_metodom_si l (МЕТОДА 1ДЗ)

Министерство путей сообщения Российской федерацииДальневосточный государственный университет путей сообщенияКафедра "Строительная механика"А.В. ХлебородовРАСЧЕТ ПРОСТЫХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХСИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛМетодические указанияХабаровск2001Рецензент:Кандидат технических наук, доцент, заведующийкафедрой “Строительная механика” Дальневосточногогосударственного университета путей сообщения Л.П. МироновС603Хлебородов А.В.Расчет простых статически неопределимых систем методом сил:Методические указания. – Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2001. – 30 с.: ил.Методические указания включают в себя краткое описание метода сил длярасчета статически неопределимых систем.

Рассмотрен ряд характерныхпримеров расчета методом сил при одноосном растяжении или сжатии,кручении и изгибе, а также приведен расчет один раз статическинеопределимой плоской системы при растяжении и сжатии.Методические указания предназначены для студентов строительных имеханических специальностей всех форм обучения.ОГЛАВЛЕНИЕВВЕДЕНИЕ1. Основные понятия1.1.

Вычисление степени статической неопределимости1.2. Основная система метода сил1.3. Канонические уравнения метода сил1.4. Определение коэффициентов канонических уравнений.1.5. Определение расчетных усилий1.6. Деформационная проверка2. Примеры расчетаПример 1. Расчет статически неопределимой системы при одноосномрастяжении и сжатииПример 2. Расчет статически неопределимой системы при крученииПример 3. Расчет статически неопределимой системы при растяжениисжатииПример 4. Расчет статически-неопределимой балки методом силСПИСОК ЛИТЕРАТУРЫВВЕДЕНИЕОсновная идея расчета статически неопределимой упругой системыметодом сил заключается в переходе к расчету некоторой другой статическиопределимой "основной" системы, но деформирующейся под нагрузкой точнотакже, как заданная статически неопределимая система (в смыслетождественности внутренних усилий, деформаций и перемещений).

Дляэтого заданная система преобразуется в статически определимую (основную)систему путем отбрасывания (удаления) так называемых "лишних" связей,число которых равно разности между общим числом опорных связей ичислом линейнонезависимых уравнений равновесия, которые можнозаписать для заданной системы. Усилия в отброшенных связях принимаютсяза неизвестные метода сил и находятся путем решения системы уравнений.Каждое такое уравнение является уравнением совместности деформацийдля основной системы, которое выражает условие эквивалентности работызаданной статически неопределимой системы и основной статическиопределимой системы под действием приложенной внешней нагрузки и всехнеизвестных усилий в отброшенных связях.После определения неизвестных метода сил строят окончательные эпюрывнутренних усилий и выполняют необходимые проверки, позволяющиеубедиться в том, что основная система под действием внешней нагрузки инайденных усилий в отброшенных (лишних) связях действительно работаетточно также, как заданная статически неопределимая система.1.

Основные понятия1.1. Вычисление степени статической неопределимостиРасчет статически неопределимых систем методом сил начинают сопределения степени статической неопределимости. Степень статическойнеопределимости любой системы может быть установлена по формуле:n=N–У(1.1)где N – общее число неизвестных реакций, У – число независимых уравненийравновесия, которые возможно составить для данной системы.

Приодноосном растяжении-сжатии или кручении число У=1 ( Fz=0, mz=0). Дляплоской задачи при растяжении или сжатии У=2 ( Fx=0, Fy=0). При расчетесистем на изгиб в большинстве случаев У=3.Пример 1. Число неизвестных реакций для данной системы (рис. 1.1)равно N = 2 (R1 и R2), а У=1 ( Fz=0). Степень статической неопределимостиравна n = 2-1 = 1.Рис. 1.1.Пример 2. Общее число неизвестных усилий в стержнях (рис. 1.2) равноN=4, а У=2 ( Fx=0, Fy=0). Тогда n=4-2=2.Рис.

1.2.Пример 3. Число неизвестных реакций для рассматриваемой балки (рис.1.3) равно N=7. Число независимых уравнений равновесия У=3 (напримерFx=0, Fy=0, mA=0). Таким образом, n=7-3=4. Рассматриваемая системачетыре раза статически неопределимая.Рис. 1.3.Пример 4. N = 5, У=3 ( Fx=0, Fy=0, mA=0), n=5-3=2. Показанная нарис.1.4 рама имеет степень статической неопределимости равную двум.Рис.

1.4.1.2. Основная система метода силОсновной системой будем называть геометрически неизменяемуюстатически определимую систему, полученную из заданной статическинеопределимой системы путем устранения лишних связей. Следуетотметить, что основная система, нагруженная заданной внешней нагрузкой илишними неизвестными (т.е. отброшенными реакциями), в отношениивнутренних усилий и перемещений эквивалентна заданной статическинеопределимой системе. Примеры основных и эквивалентных системприведены на рис. 1.5–1.8.Рис.

1.5. а) заданная система; б) основная система; в) эквивалентная системаРис. 1.6. а) заданная система; б) основная система; в) эквивалентная системаРис. 1.7. а) заданная система; б) основная система; в) эквивалентная системаРис. 1.8. а) заданная система; б) основная система; в) эквивалентная система1.3. Канонические уравнения метода силПосле выбора основной системы составляют уравнения совместностиперемещений, каждое из которых должно выражать условие равенства нулюсуммарного перемещения по направлению той или иной отброшенной связиот заданной нагрузки и всех лишних неизвестных.

Эти уравнения,написанные в определенной форме, называют каноническими уравнениями.Получим канонические уравнения для системы, показанной на рис. 1.9,а.Степень статической неопределимости равна n=5-3=2.Рис. 1.9. а) заданная система; б) основная система; в) эквивалентная системаОсновная и эквивалентная системы показаны на рис.1.9, б, в. Полноеперемещение в основной системе по направлению х1 от лишних неизвестныхх1 и х2 и внешней нагрузки F обозначим через 1, а аналогичноеперемещение по направлению силы х2 обозначим через 2. Приложим косновной системе силу х1, в результате чего конструкция будетдеформироваться. Перемещения по направлению х1 и х2 обозначим через Δ11 и Δ 21 (рис. 1.10, а).

Далее будем последовательно прикладывать косновной системе силу х2 и внешнюю нагрузку F, а соответствующиеперемещения от этих сил обозначим через Δ 12, Δ 21, Δ 10, Δ 20 (рис. 1.10, б, в).Перемещения системы по направлениям сил х1 и х2, вызванныеприложением сил х1 = 1 и х2 = 1, обозначим через 11, 12, 21, 22 (рис.1.10,г,д). Запишем величины перемещений по направлениям х1 и х2 вследующей формепосле чего суммарные перемещения по направлениям сил х1 и х2 приравняемк нулю, так как в заданной системе эти перемещения действительно равнынулю.Таким образом, система канонических уравнений для рассматриваемойзадачи будет иметь вид(1.2)Рис.

1.10. а), б), в), г), д) физический смысл коэффициентов каноническихуравнений1.4. Определение коэффициентов канонических уравнений.Коэффициенты канонических уравнений, являясь перемещениями, могутбыть найдены при помощи формулы Мора(1.3)где Si, Sj и S0 – соответственно усилия в основной системе от хi=1, хj=1 ивнешней нагрузки при соответствующем виде деформации, k – номер участкас непрерывным подинтегральным выражением, Вk – жесткость k-го участкапри соответствующем виде деформации. При вычислении коэффициентов δ11 и Δ 10 используются известные формулы Верещагина, трапеции и Симпсона– для перемножения эпюр. Формула Верещагина при перемножении эпюр наk-ом участке имеет вид(1.4)где ω i – площадь i-ой эпюры, yц.т.,j – ордината,расположенная под центром тяжести на j-ой эпюре, Bk– жесткость участка при соответствующем видедеформации (рис.

1.11)Формула трапеции имеет видРис. 1.11.(1.5)где lk – длина k-го участка, a,b,c,d – ординаты соответствующих эпюр (рис.1.12)Рис. 1.12.Формула Симпсона имеет вид(1.6)где a,b,c,d,m,n – ординаты соответствующих эпюр (рис 1.13).Рис. 1.13.Правильность решения системы канонических уравнений вручнуюконтролируется путем подстановки найденных значений неизвестных вкаждое уравнение.1.5. Определение расчетных усилийПосле определения неизвестных х1, х2,. . . , хn расчетные усилияподсчитываются по формулеSp = S0 +⎯ S1x1 +⎯ S2x2 + ……… +⎯ Snxn .(1.7)1.6. Деформационная проверкаДеформационная проверка заключается в определении перемещений,которые заведомо равны нулю. Такими перемещениями являютсяперемещения по направлению лишних неизвестных.

Для выполнениядеформационной проверки достаточно воспользоваться следующейформулой(1.8)– суммарные усилия от х1 . . .хn в любой основной системе метода сил.гдеЕсли деформационная проверка не выполняется, т.е. результатперемножения эп. Sр на эпюру, построенную от суммарного действия всехлишних неизвестных равных единице, тождественно не равен нулю, тогдаосновная система работает не эквивалентно заданной, и необходимо искатьошибку (в вычислении коэффициентов, в решении системы каноническихуравнений, в определении расчетных усилий или же, наконец, в выполнениисамой деформационной проверки).После того как деформационная проверка будет выполнена, присоответствующих видах деформации (например, при поперечном изгибе вбалках или рамах), строят эпюры поперечных и продольных сил, которые всвою очередь контролируют при помощи уравнений равновесия.Величины поперечных сил на участке определяются по формуле(1.9)где – для левой ординаты перед первым слагаемым в этой формуле знакплюс, а для правой ординаты знак минус; α – угол, образованный линией,соединяющей две крайние ординаты эпюры изгибающих элементов научастке, длина которого равна L, причем α > 0 в том случае, если ось эпюрыизгибающих моментов до совмещения ее с указанной линией следуетповернуть по ходу стрелки часов (рис.

1.14). Величина продольных сил (длярам) определяется из условия равновесия жестких узлов конструкции.Рис. 1.14.2. Примеры расчетаПример 1. Расчет статически неопределимой системы приодноосном растяжении и сжатии. В примере рассматриваетсяступенчатый стержень, закрепленный по концам при помощи жестких заделоки загруженный сосредоточенной силой F = 5 кН. Жесткости участков прирастяжении-сжатии соответственно равны ЕА, 3ЕА.

Требуется построитьэпюру продольных сил, выполнить необходимые проверки и определитьгоризонтальное перемещение сечения "к-к" (рис. 2.1, а).Степень статической неопределимости подсчитаем по формуле (1.1).Неизвестными для данной конструкции являются реакции, возникающие влевой и правой жестких заделках R1., R2. (см.