podgotovka_k_ekzamenu_po_matematicheskom u_analizu (Ответы на теоретические вопросы к экзамену)

Подготовка к экзамену по математическому анализуОпределения:1. Предел последовательности:2. Предел функции-по Коши:- по Гейне:3. Окрестность и ε-окрестность точки x ∈ R; окрестности +∞, −∞ и ∞4. Сходящайся, ограниченная, возрастающая, убывающая, невозрастающая, неубывающая, монотонная,фундаментальая последовательности.Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — этопоследовательность, ограниченная и сверху, и снизу.Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества, длякоторой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов.

Этот элемент называетсянижней гранью данной последовательности.Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множествачлены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называетсяверхней гранью данной последовательности., всеФундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность,последовательность Коши) — это последовательность элементовметрического пространства, в которойдля любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого изследующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятияфундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.5.

Бесконечно малая и бесконечно большая функции.6. Бесконечно малые функции: одного порядка, несравнимые, эквивалентные. Порядок малости.7. Порядок роста.Пусть f(x) и g(x) — бесконечно большие при x → x0 функции. Говорят, что f(x) имеет порядок роста k посравнению с g(x), если f(x) и (g(x))^k имеют одинаковый порядок роста при x → x0.8. Приращение функции.9. Непрерывная функции в точке (эквивалентные определения).Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если для любой последовательности точек {xn} промежуткаI , для которой limn→∞ xn = x0, выполняется равенство limn→∞ f(xn) = f(x0).10.

Непрерывная функция на интервале, на отрезке.11. Точки разрыва: устранимого, I-го рода, II-го рода.12. Наклонная асимптота.13. Производная функции в точке.14. Одностороння (левая или правая) производная функции.15. Дифференцируемая функция.16. Дифференциал первого порядка.17. Производная n-го порядка.18. Дифференциал n-ого порядка.19. Возрастающая, невозрастающая, убывающая, неубывающая, монотонная, строго монотонная функции.20. Строгоий и нестрогий локальный минимумы, максимум, экстремум.21. Стационарная и критическая точки.Точки, в которых производная функции равна нулю, назы- ваются стационарными точками этой функции.Точки, в которых производная функции равна нулю, бесконечности или не существует, называютсякритическими точками функ- ции (а также точками, подозрительными на экстремум).22.

Выпуклость (вверх или вниз) графика функции на промежутке, точка перегиба.Теоремы:1. Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела сходящейся последовательности.2. Сформулируйте и докажите теорему об ограниченности сходящейся последовательности.3. Сформулируйте и докажите теорему о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел.4. Сформулируйте и докажите теорему о сохранении функцией знака своего предела.5. Сформулируйте и докажите теорему о предельном переходе в неравенстве.6. Сформулируйте и докажите теорему о пределе промежуточной функции.7.

Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения функций.8. Сформулируйте и докажите теорему о пределе сложной функции.9. Сформулируйте и докажите теорему о первом замечательном пределе.10. Сформулируйте и докажите теорему о связи функции, ее предела и бесконечно малой.11. Сформулируйте и докажите теорему о произведении бесконечно малой функции на ограниченную.12.

Сформулируйте и докажите теорему о связи между бесконечно большой и бесконечно малой.13. Сформулируйте и докажите теорему о замене бесконечно малой на эквивалентную под знаком предела.14. Сформулируйте и докажите теорему о необходимом и достаточном условии эквивалентности бесконечномалых.15.

Сформулируйте и докажите теорему о сумме конечного числа бесконечно малых разных порядков.16. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывныхфункций.17. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности сложной функции.18. Сформулируйте и докажите теорему о сохранении знака непрерывной функции в окрестности точки.19.Сформулируйте теорему о непрерывности элементарных функций. Докажите непрерывность функции y =sin x.20.

Сформулируйте свойства функций, непрерывных на отрезке.21. Сформулируйте определение точки разрыва функции и дайте классификацию точек разрыва.22. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты.23. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.24. Сформулируйте и докажите теорему о связи дифференцируемости и непрерывности функции.25,26. Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух дифференцируемых функций;сформулируйте и докажите теорему о производной частного двух дифференцируемых функций.27.

Сформулируйте и докажите теорему о производной сложной функции.Теорема доказана.28. Сформулируйте и докажите теорему о производной обратной функции.29. Сформулируйте и докажите свойство инвариантности формы записи дифференциала первого порядка.30. Сформулируйте и докажите теорему Ферма.31. Сформулируйте и докажите теорему Ролля.32. Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа.33. Сформулируйте и докажите теорему Коши.34.

Сформулируйте и докажите теорему Лопиталя – Бернулли для предела отношения двух бесконечно малыхфункций.35. Сравните рост показательной, степенной и логарифмической функций на бесконечности.36. Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.Из последнего равенства следует утверждение теоремы при x > x0. При x < x0 рассужде- ния аналогичны; если x = x0,то утверждение теоремы очевидно. Теорема доказана.37. Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.38. Выведите формулу Маклорена для функции y = e^x с остаточным членом в форме Лагранжа.39. Выведите формулу Маклорена для функции y = sin x с остаточным членом в форме Лагранжа.40. Выведите формулу Маклорена для функции y = cos x с остаточным членом в форме Лагранжа.41.

Выведите формулу Маклорена для функции y = ln(1 + x) с остаточным членом в форме Лагранжа.42. Выведите формулу Маклорена для функции y = (1 + x)^α с остаточным членом в форме Лагранжа.43. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие неубывания дифференцируемойфункции.44. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие невозрастания дифференцируемойфункции.45. Сформулируйте и докажите достаточное условие возрастания дифференцируемой функции.46.

Сформулируйте и докажите достаточное условие убывания дифференцируемой функции.47. Сформулируйте и докажите первое достаточное условие экстремума (по первой производной).48. Сформулируйте и докажите второе достаточное условие экстремума (по второй производной).49. Сформулируйте и докажите достаточное условие выпуклости функции.50.

Сформулируйте и докажите необходимое условие точки перегиба.51. Сформулируйте и докажите достаточное условие точки перегиба..