Билеты по Ангему, страница 3

Дополнительные вопросы: (4 балла)  Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11. 2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 13 по курсу:«Аналитическая геометрия»МТ и Э5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Векторы, прямые и плоскости1. Плоскость в пространстве, ее нормальный вектор. Вывод уравнения плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Общее уравнение плоскости, уравнениеплоскости, проходящей через три заданные точки, вывод уравнения плоскости в отрезках (5 баллов)2. В тетраэдре ABCD известны координаты вершин: A(3; 4;  2) ,B(4; 2;  3) , C (5;3; 2) , D (2;  1;0) . Найти объем тетраэдра и высоту,опущенную из вершины В. . (4 балла).3. Найти угол между прямой  : 3x  y  2 z  2  0 и плоскостьюx  2y  z  3  0 : 2 x  2 y  5 z  6  0 . (4 балла)Модуль 2: Кривые и поверхности 2-го порядка,матрицы и СЛАУ4.

Определение матрицы и её размера. Виды квадратных матриц.Определение линейных операций над матрицами. Операциятранспонирования матрицы. Свойства вышеуказанных операций.Определение произведения двух матриц, свойства операции умножения матриц. (5 баллов)5. Найти матрицу X из уравнения:1 47 813 23X(4 балла)3 74 526 16 x1  6 x2  3 x3  x4  5 2 x  9 x2  4 x3  3x4  06. Решить СЛАУ:  1(4 балла) x  5 x2  3 x3  2 x4  7 1 2 x1  10 x2  5 x3  67. Дополнительные вопросы: (4 балла)  Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11. 2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И.

СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 14 по курсу:«Аналитическая геометрия»МТ и Э5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Векторы, прямые и плоскости1. Прямая на плоскости, ее направляющий и нормальный векторы.Различные виды уравнения прямой на плоскости, геометрическийсмысл их коэффициентов. Вывод формулы для расстояния от точки до прямой на плоскости. Взаимное расположение двух прямыхна плоскости (5 баллов)2. В треугольнике ABC известны координаты вершин:A(4;  2;  3) ,, C (5;  3;  2) . Найти площадь треугольникаи величину угла АСВ.

(4 балла).3. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей черезточку M1 (1;  3; 4) и точку M 2 пересечения прямойy2 z2 : x 1 и плоскости  : x  2 y  2 z  1  0 (4 балла)212Модуль 2: Кривые и поверхности 2-го порядка,матрицы и СЛАУ4. Определение элементарных преобразований строк и столбцовматрицы. Определение отношения эквивалентности двух матриц,доказать его свойства. Определение ступенчатой матрицы. Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду.

(5 баллов)5. Найти матрицу X из уравнения:1 13 110 5X(4 балла)9 71 25 5 x1  6 x2  5 x3  3x4  2 x x3  3x4  16. Решить СЛАУ:  1(4 балла)x2  6 x3  2 x4  3 3x1  2 x2  9 x3  7 x4  37. Дополнительные вопросы: (4 балла)   Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11. 2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И.

СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 15 по курсу:«Аналитическая геометрия»МТ и Э5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Векторы, прямые и плоскости1. Дать определения определителя второго и третьего порядка.Сформулировать свойства и описать методы вычисления определителя любого порядка.

Определитель произведения двух квадратных матриц. (5 баллов)2.. В параллелепипеде ABCDA1B 1C1D1 известны координатывершин: A(1; 1;3) , B(2;  3; 4) , C1 (4;  4; 2) , D (2;3;  1) . Найтиплощадь треугольника A1D1C . (4 балла).3. Найти точку, симметричную точке M (8;  6; 5) относительно плоскости  : x  y  2 z  6  0 . (4 балла)Модуль 2: Кривые и поверхности 2-го порядка,матрицы и СЛАУ4. Определение присоединённой матрицы, доказать её свойство.Определение обратной матрицы. Доказать критерий существования обратной матрицы, метод её нахождения с помощью алгебраических дополнений.

Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. (5 баллов)5. Построить кривую 4 x 2  25 y 2  50 y  24 x  39 . Найти координаты центра, фокусов, эксцентриситет и уравнения асимптот, если они есть. (4 балла)6. Решить СЛАУ x1  2 x2  x3  x4  8x2  4 x3  2 x4  1 2 x  5 x  6 x  4 x  17 (4 балла)234 13x7x7x5x4  251237. Дополнительные вопросы: (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11. 2015 г.Зав.

кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 16 по курсу:«Аналитическая геометрия»МТ и Э5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Векторы, прямые и плоскости1. Определение скалярного произведения геометрических векторов, его механический смысл. Доказать свойства скалярного произведения.

Вывести формулы для нахождения скалярного произведения и длины вектора в базисе i, j, k. Приложения скалярногопроизведения (5 баллов)2. Доказать, что векторы a{2; 1; 3}, b{1; 2; 4} и c{4; 3; 1} линейнонезависимы, и разложить по ним вектор d{1; 1; 3} . (4 балла)3. В пространстве даны три точки A(4; 1; 2), B(1; 3; 2) и C (2; 3; 5) .Написать уравнение прямой АВ и найти расстояние от точки С доэтой прямой. (4 балла)Модуль 2: Кривые и поверхности 2-го порядка,матрицы и СЛАУ4. Определение минора и ранга матрицы.

Определение базисногоминора матрицы, окаймляющего минора матрицы. Теорема обокаймляющих минорах (о базисном миноре) и её следствия. Доказать критерий вырожденности квадратной матрицы (в терминах еёранга). Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы.(5 баллов)5. Построить кривую 9 x 2  4 y 2  18 x  16 y  43 . Найти координаты центра, фокусов, эксцентриситет и уравнения асимптот, еслиони есть.

(4 балла)6. Решить СЛАУ: x1  x2  x3  3x4  4 2 x1  2 x2  3 x3  9 x4  22(4 балла) 2x  x  x  2 x  51234x2  x3  4 x4  137. Дополнительные вопросы: (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11. 2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э.

БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 17 по курсу:«Аналитическая геометрия»МТ и Э5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Векторы, прямые и плоскости1. Правые и левые тройки векторов. Определение векторногопроизведения двух векторов, его геометрический смысл. Свойства векторного произведения.

Вывести формулу для вычислениявекторного произведения в ортонормированном базисе i, j, k.Приложения векторного произведения. (5 баллов)2.. Найти угол между векторами m  a  b и n  3a  b , если известно, что a  2 , b  3 , (a ^ b)  2 . (4 балла).33. Доказать, что прямые 1 и  2 скрещиваются и найти расстояниеy 1 z  3y3 z2между ними: 1 : x  4 , 2 : x  3 .254321(4 балла)Модуль 2: Кривые и поверхности 2-го порядка,матрицы и СЛАУ4. Определение ранга матрицы.

Влияние операции транспонирования и элементарных преобразований на: (а) определитель квадратной матрицы; (б) ранг произвольной матрицы. Ранг ступенчатой матрицы (вывод). Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. (5 баллов)5. Найти значение p ( A) , где p ( x )  2 x 3  4 x 2  5 x  3 ,2 3A(4 балла)1 1 x3  8 x4  11 x1 x  4 x2  2 x3  9 x4  216. Решить СЛАУ:  1(4 балла)x  2 x2  x3  2 x4  5 1 2 x1  3x2  x3  x4  67. Дополнительные вопросы: (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.

2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 18 по курсу:«Аналитическая геометрия»МТ и Э5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Векторы, прямые и плоскости1. Определение смешанного произведения трех векторов. Доказатьсвойства смешанного произведения. Вывести формулу для нахождения смешанного произведения в базисе i, j, k.

Геометрическиеприложения смешанного произведения Проверка компланарностии ориентации трех векторов. (5 баллов)2. Найти проекцию вектора a  4n  m на направление вектора (4 балла).b  2n  3m , где m  5 , n  2 , (m ^ n) 33.. В пространстве даны четыре точки A(2; 5; 1), B(3; 1; 4), C (1; 4; 2) иD (5; 2; 3) . Написать уравнение плоскости АВС и найти расстояние отточки D до этой плоскости. (4 балла)Модуль 2: Кривые и поверхности 2-го порядка,матрицы и СЛАУ4. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), матричная запись. Матричный метод решения «квадратной» СЛАУ (у которой число уравнений равно числу неизвестных).

Вывести формулы Крамера решения «квадратной» СЛАУ, условия их применимости. (5 баллов) 2 0 15. Найти значение p ( A) , где p ( x )  3 x 2  5 x  4 , A   1 3 4  . 1 2 5 (4 балла)6. Найти ранг матрицы в зависимости от параметра  3  1 7 A   2 5 1 3  (4 балла) 1 4 3 1 7. Дополнительные вопросы: (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11. 2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им.