Билеты по Ангему, страница 2

2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 7 по курсу:«Аналитическая геометрия»МТ и Э5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Векторы, прямые и плоскости1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.. Вывести необходимые и достаточные условия, при которых даннаяпрямая: (а) лежит в данной плоскости; (б) параллельна данной плоскости; (в) перпендикулярна данной плоскости. Вывести формулу дляугла между прямой и плоскостью. (5 баллов)2.

Доказать, что векторы p(0; 1; 2) , q(1; 0; 1) и r ( 1; 2; 4) линейно независимы, и найти разложение вектора m( 2; 4; 7) по векторамp, q и r. (4 балла).3. Составить уравнение плоскости проходящей через точкуM (2;3;1) параллельно вектору a  4 i  2 j  3k и прямойx  6  y  2  z . (4 балла)322Модуль 2: Кривые и поверхности 2-го порядка,матрицы и СЛАУ4. Системы линейных алгебраических уравнения (СЛАУ). Координатная, векторная и матричная формы записи СЛАУ. Совместные инесовместные системы. Сформулировать и доказать теорему Кронекера-Капелли (5 баллов).5. Определить тип поверхности второго порядка и построить даннуюповерхность методом сечений: 4 x 2  9 y 2  4 z 2  36  0 . (4 балла)6. Найти матрицу Х из уравнения 2 2 3   0 4 2 X  1 3 1    3 13 5  (4 балла) 1 3 2   53 10  7.

Дополнительные вопросы: (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11. 2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 8 по курсу:«Аналитическая геометрия»МТ и Э5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Векторы, прямые и плоскости1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Вывестинеобходимые и достаточные условия, при которых две прямые:(а) совпадают; (б) параллельны; (в) пересекаются; (г) скрещиваются.

Написать формулы для расстояния между (1) параллельными(2) скрещивающимися прямыми и вывести одну из них. (5 баллов)2. Найти проекцию вектора p  a  b на вектор q  2a  b , еслиa  3, b  2,  a ^ b   30. (4 балла).3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точкиA  3; 2;0  , B  3; 3;1  и C  5;0;2  , и найти точку пересеченияy 3 z 5этой плоскости с прямой x  2 .

(4 балла)322Модуль 2: Кривые и поверхности 2-го порядка,матрицы и СЛАУ4. Коническая поверхность и гиперболоиды (два вида): канонические уравнения, свойства, построение методом сечений. (5 баллов) 5 2 3   4 1 2 2 5. Найти ранг матрицы A  при различных зна1 1 1 2  3 4 1 3 чениях параметрах  (4 балла) x1  x2  x3  8 x4  19 2 x  x2  4 x3  2 x4  96. Решить СЛАУ:  1(4 балла) 2 x2  3 x3  7 x4  15 3x1  x2  5 x3  6 x4  17.

Дополнительные вопросы (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11. 2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 9 по курсу:«Аналитическая геометрия»МТ и Э5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Векторы, прямые и плоскости1. Определение линейно зависимой и линейно независимой системвекторов линейного пространства. Доказать необходимое и достаточное условие линейной зависимости нескольких векторов и следствие для двух векторов. Вывести условие линейной зависимости (а)двух; (в) трех геометрических векторов.

(5 баллов)2. Даны три последовательные вершины параллелограммаA(3;2;0), B(3;3;1), C (5;0;2) . Найти его четвертую вершину D, косинус угла BCD и высоту BE, опущенную на сторону AD.(4 балла)3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(1;1;5)и B(2;3;2) , и перпендикулярной плоскости 2 x  y  3 z  12  0 .(4 балла)Модуль 2: Кривые и поверхности 2-го порядка,матрицы и СЛАУ4. Системы линейных алгебраических уравнения (СЛАУ).

Координатная и матричная формы записи СЛАУ. Совместные и несовместные системы. Описать алгоритм Гаусса решения СЛАУ. Доказатькритерийединственностирешениясовместнойсистемы.(5 баллов)5. Определить тип поверхности второго порядка и построить даннуюповерхность методом сечений: 4 x 2  4 y 2  9 z 2  36  0 . (4 балла)6. Найти матрицу Х из уравнения4 12 121 12X.(4 балла)3 27 512 97. Дополнительные вопросы: (4 балла)   Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11. 2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН.

Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 10 по курсу:«Аналитическая геометрия»МТ и Э5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Векторы, прямые и плоскости1. Определение размерности и базиса линейного пространства,сформулировать теоремы о них. Определение координаты векторав базисе. Доказать теорему о единственности разложения произвольного вектора линейного пространства по базису. Привестипримеры. (5 баллов)2. Найти угол между векторами p  3a  b и q  a  2b , еслиa  3; b  2 ;  a ^ b   45 . (4 балла).y  3 z 13.

Найти точку пересечения прямой x  2 и плоскости114x  2 y  3 z  14  0 и угол между ними. (4 балла)Модуль 2: Кривые и поверхности 2-го порядка,матрицы и СЛАУ4. Эллиптический и гиперболический параболоиды: каноническиеуравнения, построение методом сечений. (5 баллов)3  2 1 25. Найти ранг матрицы A   1 5 4 3 8  при различных2 1 3 2 5значениях параметрах  . (4 балла)6. Решить СЛАУ 3x1  8 x2  5 x3  x4  5 2 x1  5x2  3x3  x4  8(4 балла) x  3x  2 x323 1 x1  2 x2  x3  x4  117. Дополнительные вопросы: (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.

2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 11 по курсу:«Аналитическая геометрия»МТ и Э5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Векторы, прямые и плоскости1. Дать определения определителя второго и третьего порядка.Сформулировать свойства и описать методы вычисления определителя любого порядка. (5 баллов)2.

Дан треугольник ABC , A(2;2;1), B(3;3;2), C (4;1;3) . Найти площадь треугольника АВС и проекцию вектора p  2  AB  BC на направление вектора q  AC . (4 балла)3. Составить уравнение плоскости проходящей через точкуy  2 z 1M (2;3;2) и прямую x . (4 балла)122Модуль 2: Кривые и поверхности 2-го порядка,матрицы и СЛАУ4.

Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений. Доказать теоремы о связи решений неоднородной и соответствующейоднородной системы. Структура общего решения неоднороднойСЛАУ.(5 баллов)5. Построить кривую: 3 x  9  4 y  y 2  0 .

(4 балла)6. Найти матрицу Х из уравнения 3 1 2  1 2 3  1 3 6  X   5 30 11 (4 балла) 3 4 5  4 30 9 7. Дополнительные вопросы (4 балла).Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11. 2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН.

Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 12 по курсу:«Аналитическая геометрия»МТ и Э5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Векторы, прямые и плоскости1. Определение декартовой системы координат в пространстве, радиус-вектора точки, координаты точки. Связь координат вектора иего концов (вывод). Вывести формулу для координат точки, делящей отрезок в данном отношении  :  . Геометрический смыслуравнения F ( x , y, z )  0 , системы двух таких уравнений в пространстве, уравнения F ( x  a, y  b, z  c )  0 . (5 баллов)2.

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах а иb, если a  2 p  q, b  p  4q, p  2, q  1, ( p ^ q)   . (4 балла).3y 1 z3. Найти проекцию точки M (0;3;2) на прямую x  1  и ко111ординаты точки, симметричной точке М относительно этой прямой.(4 балла)Модуль 2: Кривые и поверхности 2-го порядка,матрицы и СЛАУ4.

Эллипсоид: канонические уравнение, построение методом сечений. Цилиндрические поверхности, их уравнения. Цилиндрическиеповерхности 2-го порядка. (5 баллов)5. Найти матрицу X из уравнения:1 47 813 23X(4 балла)3 74 526 166. Решить СЛАУ: x1  x2  3x3  8 x4  20x2  2 x3  x4  7(4 балла) x  x  2 x  5x  1234 1 3x1  x2  3 x3  16 x4  127.