Билеты по Ангему

Московский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 1 по курсу:«Аналитическая геометрия»МТ и Э5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Векторы, прямые и плоскости1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказатьсвойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярногопроизведения в ортонормированном базисе. Приложения скалярного произведения (угол между векторами, проекция вектора на вектор).

(5 баллов)2. Найти объем тетраэдра ABCD и его высоту, опущенную из вершины А, где A(4; 5; 2), B(2; 3;  1), C (3; 6; 1) , D (6; 1; 3) . (4 балла)3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точкуy 1 z 1A(2;  1; 3) и прямую x  3 . (4 балла)243Модуль 2: Кривые и поверхности 2-го порядка,матрицы и СЛАУ4. Дать определение ранга матрицы, сформулировать теорему о базисном миноре и доказать ее следствия. Описать способы нахождения ранга матрицы. (5 баллов)5. Построить кривую y  2  53 5  4 x  x 2 . (4 балла)6. Исследовать и решить СЛАУ x1  3x2  x3  x4  3 x5  1,(4 балла) 2 x1  6 x2  2 x3  3 x4  x5  4, 3 x1  9 x2  x3  4 x4  2 x5  57.

Дополнительные вопросы: (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11. 2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 2 по курсу:«Аналитическая геометрия»МТ и Э5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Векторы, прямые и плоскости1.

Правые и левые тройки геометрических векторов. Определениевекторного произведения, его геометрический смысл. Свойствавекторного произведения. Вывести формулу для вычисления векторного произведения в базисе i, j, k. Приложения векторного произведения.. (5 баллов)2.

Даны векторы a, b, c , a  3, b  4, c  5 ,  a ^ b   60  , a ^ c   90 ,  b ^ c   120  . Найти проекцию вектора p  a  bна направление вектора q  b  2c . (4 балла).3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(4; 3; 1) параллельно плоскостям 3x  y  z  7 и x  2 y  3z  4 . (4 балла)Модуль 2: Кривые и поверхности 2-го порядка,матрицы и СЛАУ4. Дать определение гиперболы. Вывести её каноническое уравнение. Вывести уравнения асимптот гиперболы. Уравнение гиперболы со смещенным центром (2 случая), координаты фокусов,эксцентриситет.

Сформулировать свойство касательных к гиперболе и дать его оптическую интерпретацию (5 баллов)5. Решить матричное уравнение 4 5 1  8 3 11  1 1 3  X   7 16 7  (4 балла) 1 2 1  2 35 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ 2 x1  3x2  x3  x4  3x5  0,(4 балла) x1  5 x2  x3  3x4  2 x5  0, 3x1  6 x2  4 x3  x4  2 x5  07. Дополнительные вопросы (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.

2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 3 по курсу:«Аналитическая геометрия»МТ и Э5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Векторы, прямые и плоскости1. Дать определение смешанного произведения векторов.

Доказатьсвойства смешанного произведения. Вывести формулу смешанногопроизведения в ортонормированном базисе. Геометрические приложения смешанного произведения. Критерий компланарности трехвекторов.(5 баллов)2. Параллелограмм построен на векторах a  m  2 n и b  3m  n ,где m  4, n  3,  m ^ n   120 . Найти длины диагоналей параллелограмма и угол между ними. (4 балла)3. Найти проекцию точки A3;1;1 на плоскость 2 x  y  3 z  4  0 икоординаты точки, симметричной точке А относительно этой плоскости. (4 балла)Модуль 2: Кривые и поверхности 2-го порядка,матрицы и СЛАУ4.

Дать определение обратной матрицы, доказать её единственность.Сформулировать критерий существования обратной матрицы и доказать его необходимость. Описать два способа нахождения обратнойматрицы. Матрица, обратная к произведению двух матриц (вывод).(5 баллов).5. Построить кривую 2( y  1)  x  4  0.

. (4 балла)6. Исследовать и решить СЛАУ x1  4 x2  7 x3  7 x4  18x2  3x3  4 x4  6(4 балла) x  3x  4 x  3x  121234  x1  5 x3  9 x4  67. Дополнительные вопросы: (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11. 2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им.

Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 4 по курсу:«Аналитическая геометрия»МТ и Э5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Векторы, прямые и плоскости1. Дать определение проекции вектора на направление, доказатьсвойства проекций, вывести связь проекции со скалярным произведением. Дать определение направляющих углов (косинусов) вектора, доказать их свойство. (5 баллов)2. В параллелограмме ABCD известны координаты трех вершин:A(5;  3; 2) , B(2;  2;1) , D (6;3; 2) .

Найти острый угол между диагоналями параллелограмма и его площадь (4 балла).3. Доказать, что прямые 1 и  2 пересекаются и составить уравнение плоскости, содержащей эти прямые:y 3 z4y 1 z  41 : x  2 , 2 : x  1 . (4 балла)232112Модуль 2: Кривые и поверхности 2-го порядка,матрицы и СЛАУ4. Дать определение эллипса. Вывести его каноническое уравнение.Уравнение эллипса со смещенным центром (два случая), координаты фокусов, эксцентриситет.

Сформулировать свойство касательных к эллипсу и дать его оптическую интерпретацию(5 баллов)5. Решить матричное уравнение: 2 2 1   10 9 5 X  2 1 2    5 1 2  (4 балла) 3 1 0   15 7 12  6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ x1  5 x2  2 x3  4 x4  0(4 балла) 4 x1  4 x2  x3  3x4  0 5 x1  7 x2  4 x3  6 x4  0.7. Дополнительные вопросы: (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11. 2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И. СидняевМосковский государственный технический университет им.

Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 5 по курсу:«Аналитическая геометрия»МТ и Э5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Векторы, прямые и плоскости1. Общее уравнение плоскости в пространстве, геометрическийсмысл его коэффициентов. Вывести формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости и формулу для нахождения угла между двумя плоскостями. (5 баллов)2. Параллелограмм построен на векторах a  m  2n и b  3m  4 n ,где m  3, n  2,  m ^ n   30 .

Найти площадь параллелограмма.(4 балла)3. Составить уравнение прямой ℓ, проходящей через точку B(5; 4; 2)x  3y  2z  2  0параллельно прямой,x  3y  z  5  0и найти координаты точки пересечения прямой ℓ с плоскостью2 x  5 y  z  31  0 . (4 балла)Модуль 2: Кривые и поверхности 2-го порядка,матрицы и СЛАУ4. Однородная СЛАУ. Доказать свойства ее решений. Линейное пространство решений однородной системы, его размерность. Определение фундаментальной совокупности решений однородной системы, структура общего решения однородной СЛАУ.

(5 баллов)5. Построить кривую 2 y  4  3  2 x  x 2  0 . (4 балла)6. Найти матрицу Х из уравнения1 13 110 5X(4 балла)9 71 25 57. Дополнительные вопросы: (4 балла)   Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11. 2015 г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И.

СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 6 по курсу:«Аналитическая геометрия»МТ и Э5, 1 курс, 1-й семестрМодуль 1: Векторы, прямые и плоскости1. Прямая в пространства, её общие уравнения. Вывести векторное,параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве. Вывести уравнения прямой, проходящей через две заданныеточки, и формулу расстояния от точки до прямой в пространстве.(5 баллов)2. Найти длину вектора c  3 p  q  2 r если p  1; q  2;r  3,  p ^ q    ,  p ^ r    ,  q ^ r   2 .

(4 балла).3233. Составить уравнение плоскости, проходящей через две паралyy 1 z  3лельные прямые: x  3   z  1 и x  1 , и найти214214расстояние между этими прямыми. (4 балла)Модуль 2: Кривые и поверхности 2-го порядка,матрицы и СЛАУ4. Дать определение параболы. Вывести ее каноническое уравнение. Уравнение параболы с горизонтальной и вертикальной осьюсимметрии и смещенной вершиной. Сформулировать свойство касательных к параболе и дать его оптическую интерпретацию.(5 баллов)5. Решить матричное уравнение 2 1 3   6 21 1 X  3 6 2    10 159  . (4 балла) 3 5 3   14 17 15   x1  x2  x3  x4  2 x  2 x2  2 x3  x4  56. Решить СЛАУ  1(4 балла)2 x1  x2  3x3  2 x4  1 x1  2 x2  3 x3  6 x4  107. Дополнительные вопросы (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 25.11.