Angem_teoria_modul_1 (Теория к РК №1)

1. Дать определение равенства геометрический векторов.Два геометрических вектора называют равными, если:они коллинеарны и однонаправлены;их длины совпадают.2. Дать определение суммы векторов и умножения вектора на число.Суммой a + b двух векторов a и b называют вектор c, построенный по следующему правилутреугольника. Совместим начало вектора b с концом вектора a. Тогда суммой этих векторов будетвектор c, начало которого совпадает с началом a, а конец — с концом b.Наряду с правилом треугольника существует правило параллелограмма. Выбрав для векторов a и bобщее начало, строим на этих векторах параллелограмм. Тогда диагональ параллелограмма,выходящая из общего начала векторов, определяет их сумму.При умножении вектора на число, направление вектора не меняется, а длина вектора умножаетсяна число.3.

Дать определения коллинеарных и компланарных векторов.Два геометрических вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или напараллельных прямых.Три геометрических вектора называют компланарными, если эти векторы лежат на прямых,параллельных некоторой плоскости.4. Дать определение линейно зависимой и линейно независимой системы векторов.Векторы a1, … , an называют линейно зависимыми, если существует такой набор коэффициентовα1, . .

. , αn, что α1a1 + . . . + αnan = 0 и при этом хотя бы один из этих коэффициентов ненулевой.Если указанного набора коэффициентов не существует, то векторы называют линейнонезависимыми.5. Сформулировать геометрические критерии линейной зависимости 2-х и 3-х векторов.Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.6.

Дать определение базиса и координат вектора.Базис— множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этогопространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинациивекторов из этого множества — базисных векторов.Координаты вектора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисныхвекторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.7. Сформулировать теорему о разложении вектора по базису.Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственнымспособом.Если = (̅1 … ̅) – базис , ̅ ∈ = (1, 2, 3), то существует набор чисел (1 … ) такой, что̅ = ̅̅̅1 ̅1 + ⋯ + ̅ ̅, где (1 … ) – координаты вектора в базисе.8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.Ортогональной проекции вектора ⃗ на направление вектора ⃗⃗ называется скалярная величинаПр⃗⃗ ⃗ = |⃗| ∗ cos(), где угол – угол между векторами.9.

Дать определение скалярного произведения векторов.Скалярным произведением двух векторов ⃗ и ⃗⃗ называют число, равное ⃗ ∗ ⃗⃗ ∗ cos —|| и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|| этих векторов на косинус угла между ними.произведению длин ⃗⃗⃗⃗⃗⃗10. Сформулировать свойство линейности скалярного произведения.Совместно с умножением на число операция скалярного умножения ассоциативна: (λ̅) ̅ =λ(̅ ̅).Скалярное умножение и сложение векторов связаны свойством дистрибутивности: (̅ + ̅) с̅= ̅ с̅ + ̅ с̅.11. Записать формулу для вычисления скалярного произведения двух векторов, заданных вортонормированном базисе.̅ = { , , }, ̅ = { , , }̅ ̅ = + + 12.

Записать формулу для косинуса угла между векторами, заданными в ортонормированномбазисе.cos =̅ ̅|̅||̅|13. Дать определение правой и левой тройки векторов.Упорядоченную тройку некомпланарных векторов a, b, c называют правой, еслинаправление вектора a совмещается с направлением вектора b при помощи кратчайшего поворотавектора a в плоскости этих векторов, который со стороны вектора с совершается против ходачасовой стрелки. В противном случае (поворот по ходу часовой стрелки) эту тройку называютлевой.14. Дать определение векторного произведения векторов.Векторным произведением неколлинеарных векторов ̅ и ̅ называют такой вектор с̅, которыйудовлетворяет следующим трем условиям:вектор c ортогонален векторам a и b;длина вектора c равна |с̅| = |̅| |̅|sin ϕ, где ϕ — угол между векторами ̅ и ̅;упорядоченная тройка векторов ̅, ̅, с̅ является правой.15.

Сформулировать свойство коммутативности (симметричности) скалярногопроизведения и свойство антикоммутативности (антисимметричности) векторногопроизведения.Скалярное произведение коммутативно: ̅ ̅ = ̅ ̅.Векторное произведение антикоммутативно: ̅x̅ = −̅x̅.16. Сформулировать свойство линейности векторного произведения векторов.свойство ассоциативности совместно с умножением на число (λ̅)× ̅ = λ(̅×̅);свойство дистрибутивности относительно сложения (̅ + ̅)× с̅ = ̅×с̅ + ̅×с̅.Cвойства ассоциативности и дистрибутивности векторного произведения объединяют, аналогичнослучаю скалярного произведения, в свойство линейности векторного произведенияотносительно первого сомножителя.

В силу свойства антикоммутативности векторногопроизведения векторное произведение линейно и относительно второго сомножителя:̅×(λ̅) = −(λ̅)× ̅ = −λ(̅×̅) = λ(̅×̅)̅×(̅ + с̅) = −(̅ + с̅)× ̅ = −(̅×̅ + с̅×̅) = ̅×̅ + ̅×с̅.17. Записать формулу для вычисления векторного произведения в правом ортонормированномбазисе.̅ = { , , }, ̅ = { , , }.̅̅ × ̅ = |̅̅ |18. Дать определение смешанного произведения векторов.Смешанным произведением трех векторов ̅, ̅, с̅ называют число, равное (̅×̅) с̅ — скалярномупроизведению векторного произведения первых двух векторов и третьего вектора.19.

Сформулировать свойство перестановки (кососимметричности) смешанногопроизведения.Для смешанного произведения действует правило циклической перестановки:̅ ̅ с̅ = ̅ с̅ ̅ = с̅ ̅ ̅ = −̅ ̅ с̅ = −с̅ ̅ ̅ = −̅ с̅ ̅.20. Сформулировать свойство линейности смешанного произведения.Для смешанного произведения выполняется свойство ассоциативности относительноумножения векторов на число: (λ̅) ̅ с̅ = λ(̅ ̅ с̅ ).̅ ̅ = ̅̅̅ Для смешанного произведения выполняется свойство дистрибутивности: (̅̅̅+1 ̅1 ̅̅̅)2 сс̅ + ̅̅̅2 ̅ с̅.Эти свойства смешанного произведения сформулированы для первогосомножителя. Однако при помощи циклической перестановки можно доказать аналогичныеутверждения и для второго и для третьего сомножителей, т.е.

верны равенства̅ (λ̅) с̅ = λ(̅ ̅ с̅), ̅ ̅ (λс̅) = λ(̅ ̅ с̅),̅̅̅1 + ̅̅̅2 ) с̅ = ̅ ̅̅̅1 с̅ + ̅ ̅̅̅2 с̅, ̅ ̅ (̅1 + ̅2 ) = ̅ ̅ ̅1 + ̅ ̅ ̅2 ,̅ (и в итоге имеем свойство линейности смешанного произведения по каждому сомножителю.21. Записать формулу для вычисления смешанного произведения в правомортонормированном базисе.̅ = { , , }, ̅ = { , , }, ̅ = { , , }̅̅ ̅ = | |22. Записать общее уравнение плоскости и уравнение “в отрезках”. Объяснитьгеометрический смысл входящих в эти уравнения параметров.Уравнение Ax + By + Cz + D = 0 называют общим уравнением плоскости. КоэффициентыA, B, C при неизвестных в этом уравнении имеют наглядный геометрический смысл:вектор n = {A; B; C} перпендикулярен плоскости. Его называют нормальным векторомплоскости.

Он, как и общее уравнение плоскости, определяется с точностью до(ненулевого) числового множителя.Уравнение + + = 1 называют уравнением плоскости в отрезках, где a, b, c –соответствующие координаты точек лежащих на осях OX, OY и OZ соответственно.23. Записать уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки.Пусть 1 (1 , 1 , 1 ), 2 (2 , 2 , 2 ), 3 (3 , 3 , 3 ) – заданные точки, а точка M(x, y, z) – точка,принадлежащая плоскости, образованной точками 1 , 2 и 3 , тогда уравнение плоскости имеетвид: − 1| 2 − 13 − 1 − 12 − 13 − 1 − 12 − 1 | = 03 − 124.

Сформулировать условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.Две плоскости перпендикулярны, если их нормальные векторы ортогональны.Две плоскости параллельны, если их нормальные векторы коллинеарны.25. Записать формулу для расстояния от точки до плоскости, заданной общим уравнением.Для нахождения расстояния от точки 0 (0 , 0 , 0 ) до плоскости: + + + = 0 используется формула: (, ) =|0 +0 +0 +|√2 +2 + 226.

Записать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Объяснитьгеометрический смысл входящих в эти уравнения параметров. = 0 + Уравнение { = 0 + , где {l; m; n} - координаты направляющего вектора ̅ прямой L и = 0 + (0 ; 0 ; 0 ) – координаты точки 0 ∈ L в прямоугольной системе координат, называютпараметрическими уравнениями прямой в пространстве.−0Уравнение=−0=−0называют каноническими уравнениями прямой впространстве.27.

Записать уравнение прямой, проходящей через две данные точки в пространстве.−12 −1Уравнения −12 −1=−12 −1=называют уравнениями прямой, проходящей через две точки1 (1 , 1 , 1 ) и 2 (2 , 2 , 2 ).28. Записать условие принадлежности двух прямых одной плоскости.Пусть а и b — направляющие векторы этих прямых, а точки M1 и M2 принадлежат соответственнопрямым и l1 и l2. Тогда две прямые будут принадлежать одной плоскости, если смешанноепроизведение (a, b, M1M2) равно 0.29.

Записать формулу для расстояния от точки до прямой в пространстве.Расстояние от точки 1 до прямой L может быть вычислено по формуле:(1 , ) =̅̅̅̅̅̅̅̅|0 1 ×̅|,|̅|где ̅ – направляющий вектор прямой L, 0 – точка на прямой L.30. Записать формулу для расстояния между скрещивающимися прямыми.Расстояние между скрещивающимися прямыми 1 и 2 может быть вычислено по формуле:(1 , 2 ) =̅̅̅|2 ̅̅̅̅̅̅̅̅1 2 |1 ̅̅̅,̅̅̅|×1 ̅̅̅2|̅̅̅2 – направляющие векторы прямых; 1 , 2 – точкигде ̅1 , принадлежащие прямым.Часть Б1. Доказать геометрический критерий линейной зависимости трёх векторов.Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.Доказательство:Если три вектора ̅, ̅, ̅ линейно зависимы, то, согласно теореме 2.1 (о линейной зависимостивекторов), один из них, например ̅, является линейной комбинацией остальных: ̅ = β̅ + γ̅.Совместим начала векторов ̅ и ̅ в точке A. Тогда векторы β̅, γ̅ будут иметь общее начало вточке A и по правилу параллелограмма их сумма, т.е.