Angem_teoria_modul_1 (772726), страница 2
Текст из файла (страница 2)
вектор ̅, будет представлять собой вектор сначалом A и концом, являющимся вершиной параллелограмма, построенного на векторахслагаемых. Таким образом, все векторы лежат в одной плоскости, т.е. компланарны.Пусть векторы ̅, ̅, ̅ компланарны. Если один из этих векторов является нулевым, то очевидно,что он будет линейной комбинацией остальных. Достаточно все коэффициенты линейнойкомбинации взять равными нулю. Поэтому можно считать, что все три вектора не являютсянулевыми. Совместим начала этих векторов в общей точке O.
Пусть их концами будутсоответственно точки A, B, C (рис. 2.1). Через точку C проведем прямые, параллельные прямым,проходящим через пары точек O, A и O, B. Обозначив точки пересечения через A’ и B’, получимпараллелограмм OA’CB’, следовательно, ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅′ + ̅̅̅̅̅′. Вектор ̅̅̅̅̅′ и ненулевой вектор ̅ = ̅̅̅̅коллинеарны, а потому первый из них может быть получен умножением второго на̅̅̅̅. Аналогично ̅̅̅̅̅̅̅̅̅, β ∈ R. В результате получаем, чтодействительное число α: ̅̅̅̅̅′ = ′ = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ′ + ′, т.е.
вектор ̅ является линейной комбинацией векторов ̅ и ̅. Согласно теореме2.1 (о линейной зависимости векторов), векторы ̅, ̅, ̅ являются линейно зависимыми.2. Доказать теорему о разложении вектора по базису.Теорема о разложении вектора по базису. Если = (̅1 … ̅) – базис , ̅ ∈ = (1, 2, 3), тосуществует набор чисел (1 … ) такой, что ̅ = ̅̅̅1 ̅1 + ⋯ + ̅ ̅, где (1 … ) – координатывектора в базисе.Доказательство: (для i = 2)(̅1 , ̅2 ) – базис 2 , ̅ ∈ 2По определению пространства V2: x, e1, e2 – компланарны => (критерий линейной зависимости 3х векторов) => ̅ , ̅1 , ̅2 линейно зависимы => ∃0 , 1 , 2 ∈ .0 ̅ + 1 ̅1 + 2 ̅2 = 0̅, 02 + 12 + 22 ≠ 01 случай: 0 = 0, тогда 1 ̅1 + 2 ̅2 = 0̅, 12 + 22 ≠ 0, значит 1 , 2 – линейно зависимые (̅1 , ̅2 ) – лин.
завис. ̅1 и ̅2 коллинеарны.2 случай: 0 ≠ 0̅ = (−12) ̅1 + (− ) ̅200Доказали существование.Пусть существует 2 представления:̅ = 1 ̅1 + 2 ̅2Разность:0̅ = ̅ − ̅ = 1 ̅1 + 2 ̅2 − 1 ̅1 − 2 ̅2 = (1 − 1 )̅1 + (2 − 2 )̅2 => линейно зависимы, а этопротиворечит определению базиса.3. Доказать свойство линейности скалярного произведения.Совместно с умножением на число операция скалярного умножения ассоциативна: (λ̅) ̅ =λ(̅ ̅).Скалярное умножение и сложение векторов связаны свойством дистрибутивности: (̅ + ̅) с̅= ̅ с̅ + ̅ с̅.Что и требовалось доказать.4.
Вывести формулу для вычисления скалярного произведения векторов, заданных вортонормированном базисе.Вывод формулы для вычисления скалярного произведения векторов, заданных вортонормированном базисе.Пусть векторы ̅ и ̅ из 3 заданы своими координатами в ортонормированном базисе ̅, ̅, ̅: ̅ ={ ; ; }, ̅ = { ; ; }. Это означает, что имеются разложения ̅ = ̅ + ̅ + ̅,̅ = ̅ + ̅ + ̅. Используя их и свойства скалярного произведения, вычислим̅̅ = ( ̅ + ̅ + ̅ )( ̅ + ̅ + ̅ )= ̅ ̅ + ̅ ̅ + ̅ ̅ + ̅ ̅ + ̅ ̅ + ̅ ̅ + ̅ ̅ + ̅ ̅+ ̅ ̅ = ̅2 + ̅2 + ̅ 2 = + + .Окончательный ответ получен с учетом того, что ортонормированность базиса ̅, ̅,̅ означает выполнение равенств ̅ ̅ = ̅ ̅ = ̅ ̅ = 0, ̅2 = ̅2 = 2 = 1.
Таким образом,̅ ̅ = + + 5. Вывести формулу для вычисления векторного произведения векторов, заданных в правомортонормированном базисе.Вывод формулы для вычисления векторного произведения векторов, заданных вортонормированном базисе.Рассмотрим два вектора ̅ и ̅, заданных своими координатами в правом ортонормированном базисе̅, ̅, ̅: ̅ = { ; ; }, ̅ = { ; ; }. Тогда имеют место разложения этих векторов ̅ = ̅ + ̅+ ̅, ̅ = ̅ + ̅ + ̅.Исходя из этих представлений и алгебраических свойств векторного умножения, получаем̅ × ̅ = ( ̅ + ̅ + ̅ ) × ( ̅ + ̅ + ̅ )= ̅ × ̅ + ̅ × ̅ + ̅ × ̅ + ̅ × ̅ + ̅ × ̅ + ̅ × ̅ + ̅× ̅ + ̅ × ̅ + ̅ × ̅ = ( − )̅ + ( − )̅ + ( − )̅ = | | ̅ − || ̅ + | | ̅Чтобы упростить полученную формулу, заметим, что она похожа на формулу разложенияопределителя третьего порядка по 1-й строке, только вместо числовых коэффициентов стоятвекторы.
Поэтому можно записать эту формулу как определитель, который вычисляется пообычным правилам. Две строки этого определителя будут состоять из чисел, а одна — из векторов.Итак, формулу вычисления векторного произведения в правом ортонормированном базисе ̅, ̅,̅можно записать в виде:̅̅ ̅̅̅ × = | | 6. Доказать свойство линейности смешанного произведения.Используя свойства смешанного произведения, можно доказать линейность векторногопроизведения по первому множителю:( ∗ ̅ + ∗ ̅, ̅) = ∗ (̅, ̅) + ∗ (̅, ̅)Для этого найдем скалярное произведение вектора в левой части равенства и единичного вектора⃗ стандартного базиса. Учитывая линейность смешанного произведения по второму множителю,получаемт.е.
абсцисса вектора, стоящего в левой части доказываемого равенства равна абсциссе вектора вправой его части. Аналогично доказываем, что ординаты, а также и аппликаты, векторов в обеихчастях равенства соответственно равны. Следовательно, это равные векторы, так как ихкоординаты относительно стандартного базиса совпадают.7. Вывести формулу для вычисления смешанного произведения трёх векторов в правомортонормированном базисе.Вывод формулы для вычисления смешанного произведения трёх векторов в правомортонормированном базисе.Пусть векторы a, b, c заданы своими координатами в правом ортонормированном базисе: ̅ = { ; ; }, ̅ = { ; ; }, с̅ = {с ; с ; с }. Чтобы найти их смешанное произведение,воспользуемся формулами для вычисления скалярного и векторного произведений: ̅̅̅̅ = ̅(̅ × ̅) = ̅ (| | ̅ − | | ̅ + | | ) = | | − | | + | | = | | | = | 8.
Вывести формулу для расстояния от точки до плоскости, заданной общим уравнением.Вывод формулы для расстояния от точки до плоскости, заданной общим уравнением.Рассмотрим в пространстве некоторую плоскость π и произвольную точку 0 . Выберемдля плоскости единичный нормальный вектор n с началом в некоторой точке 1 ∈ π, и пусть ρ(0 ,π) — расстояние от точки 0 до плоскости π.
Тогда (рис. 5.5)̅̅̅̅̅̅̅̅ρ(0 , π) = |пр ̅̅̅̅̅̅̅̅1 0 | = |̅1 0 |,(5.8)так как |̅| = 1.Если плоскость π задана в прямоугольной системе координат своим общим уравнениемAx + By + Cz + D = 0, то ее нормальным вектором является вектор с координатами {A; B; C}.Пусть (0 , 0 , 0 ) и (1 , 1 , 1 ) — координаты точек 0 и 1 . Тогда выполнено равенствоA1 +B1 +C1 +D = 0, так как точка M1 принадлежит плоскости, и можно найти координаты̅̅̅̅̅̅̅̅Вектора ̅̅̅̅̅̅̅̅1 0 : ̅̅̅̅̅̅̅̅1 0 = (0 − 1 ; 0 − 1 ; 0 − 1 ).
Записывая скалярное произведение ̅1 0 вкоординатной форме и преобразуя (5.8), получаем(, ) =|(0 − 1 ) + (0 − 1 ) + (0 − 1 )|=√2 + 2 + 2|0 + 0 + 0 + |=|0 + 0 + 0 − (1 + 1 + 1 )|√2 + 2 + 2√2 + 2 + 2поскольку 1 + 1 + 1 = −. Итак, чтобы вычислить расстояние от точки до плоскости нужноподставить координаты точки в общее уравнение плоскости, а затем абсолютную величинурезультата разделить на нормирующий множитель, равный длине соответствующего нормальноговектора.9. Вывести формулу для расстояния от точки до прямой в пространстве.Вывод формулы для расстояния от точки до прямой в пространстве.Расстояние от точки 1 (1 , 1 , 1 ) до прямой L, заданной каноническими уравнениями L:−0=−0,−0=может быть вычислено при помощи векторного произведения. Действительно,канонические уравнения прямой дают нам точку 0 (0 , 0 , 0 ) на прямойи направляющий вектор ̅ = {l; m; n} этой прямой.
Построим параллелограмм на векторах ̅ и ̅̅̅̅̅̅̅̅0 1 .Тогда расстояние от точки 1 до прямой L будет равно высоте h параллелограмма (рис. 6.6).Значит, нужное расстояние может быть вычислено по формуле(1 , ) =̅̅̅̅̅̅̅̅|0 1 ×̅|.|̅|10. Вывести формулу для расстояния между скрещивающимися прямыми.Вывод формулы для расстояния между скрещивающимися прямыми.Расстояние между скрещивающимися прямыми можно находить, используя смешанноепроизведение. Пусть прямые 1 и 2 заданы каноническими уравнениями.
Так как они̅̅̅2 и вектор ̅̅̅̅̅̅̅̅скрещиваются, их направляющие векторы ̅1 , 1 2 , соединяющий точки на прямых,некомпланарны. Поэтому на них можно построить параллелепипед (рис. 6.7).Тогда расстояние между прямыми равно высоте h этого параллелепипеда. В свою очередь, высотупараллелепипеда можно вычислить как отношение объема параллелепипеда к площади егооснования. Объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения трех указанныхвекторов, а площадь параллелограмма в основании параллелепипеда равна модулю векторногопроизведения направляющих векторов прямых.
В результате получаем формулу для расстояния(1 , 2 ) между прямыми:|̅1 ̅̅̅2 ̅̅̅̅̅̅̅̅1 2 |(1 , 2 ) =̅̅̅̅2 ||1 × .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
