МУ - М-40 (Интерференция и дифракция волн на поверхности жидкости)

1Московский государственный технический университетим. Н.Э.БауманаЮ.И. Беззубов, Ю.М. ШавруковИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИМетодические указания к лабораторной работе М-40по курсу общей физики.Различные примеры волнового движения.Волны на поверхности фотосферы Солнца привозникновении протуберанца. Масштаб, указанный на верхнем правом снимке, 1 мм=106м.Волны электронной плотности на атомарно чистой поверхности кристалла меди. Размер изображения 50x50 нм. Наблюдается три моноатомных ступеньки и около 50 точечных дефектов.

Чётко видны волны электронной плотностис длиной волны порядка 1,5 нм. Изображениеполучено с помощью сканирующего туннельного микроскопа (СТМ) 1 нм= 10-9мВолны на поверхности жидкости, создаваемыедвумя синфазными точечными источниками.2Цель работы - на примере волн на поверхности жидкости познакомиться с основнымизакономерностями физических явлений - интерференции и дифракции волн.Теоретическая часть.С волновой формой движения материи мы встречаемся буквально на каждом шагу.

Мыпогружены в мир волн. Звуковые волны, электромагнитные волны различных частотных диапазонов, волны на поверхности озера, океана, расплавленного металла - это лишь немногиепримеры, которые, несмотря на различную природу и условия их распространения, демонстрируют много общих закономерностей.Как правило, распространение волны связано с переносом энергии. В самом общем виде волновое движение можно определить как распространение с некоторой конечной скоростью начального возмущения той или иной природы.

Например, если в каком-либо месте упругой среды возникает локальное отклонение от положения равновесия, возвращающая сила,как следствие этого отклонения, возбуждает колебание частиц. Вследствие взаимодействиямежду частицами среды эти колебания распространяются от частицы к частице с некоторойскоростью.Каждый наблюдал волны на поверхности воды. Брошенный камень или капли дождявызывают на спокойной горизонтальной поверхности воды разбегающиеся круги. Точки поверхности воды, до которых дошла волна, начинают колебаться относительно своего равновесного положения, образуя последовательность горбов и впадин на поверхности жидкости.Равновесное положение соответствует горизонтальной поверхности спокойной жидкости.Можно заметить, что если источников возмущения несколько (несколько капель дождя илинесколько камней), то волны от различных источников пересекаются и распространяются далее как бы независимо друг от друга.

То есть для того, чтобы получить результат возмущенияот нескольких источников, надо просто сложить отклонения, вызванные различными источниками в данной точке в данный момент времени. Этот пример демонстрирует применениепринципа суперпозиции - одного из основных принципов линейной теории волновых процессов. Более общее утверждение состоит в том, что принцип суперпозиции справедлив, если отклонение от положения равновесия в определенном смысле можно считать малыми.

Разумеется, для волн различной природы этот критерий будет различным.В приближении малых колебаний отклонение ξ ( r , t ) - от положения равновесия частицсреды описывается гармоническими функциями. Например, для плоской волны, распространяющейся в трёхмерном пространстве (3D) вдоль оси ОХ декартовой системы координат:ξ ( x, t ) = A cos (ωt − kx + α )где А - амплитуда колебаний; (ωt − kx + α ) = Φ - фаза волны; ω =колебаний; Т - период колебаний; k =2πλ2π- циклическая частотаT- волновое число; λ - длина волны; α - начальная фа-за колебаний.

Волновая поверхность или поверхность постоянной фазы т.е. Ф=const, в декартовых координатах (X, Y, Z) представляет собой плоскость, перпендикулярную оси ОХ. Фазовая скорость данной волны равна:dx ωVФ == .dt kПлоская волна, распространяющаяся в направлении, определяемом волновым векторомk , задаётся выражением: ξ ( r , t ) = A cos ωt − k ⋅ r + αгде r - радиус-вектор, проведённый из начала координат в точку наблюдения; k - волновойвектор ортогональный волновой поверхности в каждой точке и имеющий компоненты kx, ky,kz.Точечный источник колебаний возбуждает сферическую волну, у которой волновая поверхность является сферой. В сферической системе координат (r, ϕ, z), начало которой совпа-()3дает с источником, волна определяется выражением:Aξ ( r , t ) = cos (ωt − kr + α ) .rЗдесь k, r - модули волнового вектора и радиус-вектора.Цилиндрическую волну возбуждает бесконечно протяжённый и бесконечно тонкий источник.

Например, звуковая волна, излучаемая натянутой струной, вблизи струны хорошоописывается цилиндрической волной. В цилиндрической системе координат (ρ, ϕ, z) ось z которой совпадает с источником колебаний, выражение для волны имеет вид:Aξ ( r, t ) =cos (ωt − k ρ + α ) .ρАмплитуда волны, движущейся на поверхности жидкости, подчиняется такой же зависимости,как у цилиндрической волны. Волны на поверхности жидкости заметно отличаются от волн воднородной среде. Эти волны не являются чисто продольными или чисто поперечными. В поверхностной волне частицы жидкости описывают окружности в вертикальной плоскости, радиус которых быстро уменьшается с глубиной. Возвращающей силой, действующей на частицы жидкости в волне, являются как гравитационные силы (силы тяжести), так и силы поверхностного натяжения (капиллярные силы).Формула для скорости распространения гравитационно-капиллярных волн в жидкостидостаточно большой глубины [3]:2πσ g λV=+,ρλ 2πгде ρ - плотность жидкости; σ - коэффициент поверхностного натяжения жидкости; g- ускорение свободного падения.gλ2πσσЕсли>>, то есть λ >> 2π, то поверхностное натяжение жидкости для такой вол2πρλ2ρны является не существенным и основную роль тогда играет сила тяжести вытесненных объёмов жидкости.

В этом случае волны называются гравитационными и их скорость равна:gλVГР =.2πРассмотрим поверхностные волны, предполагая, что в состоянии равновесия поверхность жидкости горизонтальная. Если ее вывести из этого состояния, то для возникновенияволн на поверхности жидкости необходимо существование силы, возвращающей в положениеравновесия, и инерции, из-за которой жидкость «проскакивает» положение равновесия. Какаясила может заставить появившийся на поверхности жидкости «горб» исчезнуть, чтобы поверхность опять стала горизонтальной? Такой силой может быть, например, сила тяжести.

Падая вниз под действием силы тяжести, «горб» по инерции провалится ниже положения равновесия: рядом с ним будет вытеснен другой «горб» и т. д. В жидкости начнет распространятьсяволна, которая и называется гравитационной. Плотность жидкости ρ не входит в окончательную формулу. Физически это связано с тем, что и вес «горба», возвращающий его к положению равновесия, и масса «горба» - его инерционность - пропорциональны ρ.Для волн малой длины λ << 2πσможно пренебречь действием силы тяжести по2ρсравнению с силами поверхностного натяжения. Напомним, что под искривлённой поверхностью возникает избыточное давление, обусловленное силами поверхностного натяжения.

Взависимости от знака кривизны поверхности избыточное давление имеет различный знак ивыполняет роль возвращающей силы. Так же как и в случае гравитационных волн вытесненный объём жидкости по инерции проскакивает положение равновесия. Такие волны называются капиллярными и их скорость равна:42πσVКАП =ρλ.При равенстве вкладов гравитационных и капиллярных сил длина такой волны определяется как:λСК = 2πσ.2ρОсобый интерес вызывают явления связанные со сложением волн.При наложении двух или нескольких волн возможно наблюдение интерференции этихволн. Интерференцией называется физическое явление, состоящее в пространственном перераспределении энергии колебаний при сложении когерентных волн.

Когерентными являютсягармонические волны с одинаковой частотой и постоянной разностью фаз.Рассмотрим в трёхмерном пространстве интерференцию когерентных волн от двух точечных источников S1 и S2, отстоящих друг от друга на расстоянии d (рис. 1). Ось ОО′ является осью симметрии, которая делит расстояние между источниками пополам. В точку Р пространства от источников приходят две волны. Будем считать, что начальные фазы равны нулю,амплитуды волн одинаковы и на расстояниях до точки наблюдения изменяются незначительно.

Заметим, если точка наблюдения удалена достаточно далеко от источников, то в эту точкупридут две плоские волны. Результирующее колебание в точке Р следующее:ξ ( r , t ) = A0 cos (ωt − kr1 ) + A0 cos (ωt − kr2 ) = (r − r )(r + r ) (r + r ) = 2 A0 cos  k 2 1  cos ωt − k 2 1  = AP cos ωt − k 2 1 2 2 2  (r − r ) где AP = 2 A0 cos  k 2 1  .2 Из полученного уравнения видно, что амплитуда АР результирующего колебания зависит отположения точки наблюдения.Точки пространства, в которых АР =0 определяют положение узловых поверхностей. В этиточки волны приходят в противофазе и гасят друг друга, т.е.

амплитуда колебаний минимальна. Условие, определяющее положение узловых поверхностей имеет вид:(r − r ) πk 2 1 = ( 2n + 1) ,22где n=0, 1, 2,... .Последнее соотношение можно представить в видеλ( 2n + 1) .2Точки пространства, где АР=2А0 определяют поверхности, на которых волны синфазны и, следовательно, амплитуды колебаний максимальны. Для этих поверхностей выполняется соотношение:(r − r ) πk 2 1 = ( 2n ) ,22илиr2 − r1 =r2 − r1 =λ2( 2n ) ,где n = 0, 1, 2, ...

.Величина r2 − r1 определяет геометрическую разность хода двух волн.Геометрическое место точек в пространстве, для которых r2 − r1 = const определяет семействогиперболоидов вращения с осью S1 S2 и фокусами S1 и S2. Таким образом, при интерференции двух когерентных волн от точечных источников мы будем наблюдать в пространстве се-5мейства гиперболоидов, отвечающих максимумам и минимумам колебаний.