МУ - М-16 (Упругие свойства твердого тела)

Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаН.А. Гладков, З.С. НиконоваУПРУГИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДОГО ТЕЛАМетодические указания к лабораторной работе М-16 по курсу общей физики.Под редакцией С.П. ЕрковичаМГТУ им. Н.Э. Баумана, 1994Рассчитаны значения упругих модулей металлической струны по экспериментально найденным значениям периода колебаний крутильного маятника. На основе парного межатомногопотенциала Г.Ми дана оценка теоретической прочности материала и энергии связи атомов.Для студентов 1 курса.Цель работы - изучение колебаний крутильного маятника и определение упругих констант стальной струны.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬИнформация о физико-механических свойствах материалов представляет интерес, как в фундаментальных исследованиях, так и при решении практических задач, связанных с расчетами напрочность и устойчивость конструкций во многих областях техники. Например, при действии вполете на крыло самолета аэродинамических сил и моментов в нем при некоторых условиях могутвозникать крутильно-изгибные колебания (флаттер), что может привести к разрушению крыла икатастрофе самолета.Прочность различных материалов, их теплоемкость, теплопроводность, тепловое расширение связаны с физико-механическими свойствами твердого тела.

В свою очередь эти свойства определяются строением твердого тела и связаны с колебаниями атомов (ионов) в узлах кристаллическойрешетки. Основой для понимания связи частиц, находящихся в узлах кристаллической решетки,служит парная модель взаимодействующих частиц. На рис. 1 приведены зависимости силы взаимодействия двух частиц f(r) потенциальной энергии U(r) от расстояния между ними r.fU;f2∆rrUfmU0r0rmРис.1При r = r0 в положении равновесия система из двух частиц обладает минимальной энергией U0, асила взаимодействия равна нулю (f=0).

При r < r 0 между частицами действуют силы отталкивания,а при r>r0 –силы притяжения. В 1903 г. Густав Ми предложил парную межатомную потенциальную энергию описывать функцией следующего вида:(1)U(r) = A/r n - B/r mгде n>m>0, а A и B - константы. Слагаемые в формуле (1) определяют потенциальную энергиюnmсил отталкивания A/r и притяжения - B/r .Выражение для f(r) можно найти, если воспользоваться зависимостью между силой и потенциальной энергиейf =-dU= nAr -(n+1) - mBr -(m+1)dr(2)Согласно (2), сила парного взаимодействия f(r) имеет нелинейный характер.

Однако вблизи положения равновесия r0-∆r<r<r0+∆r функцию f(r) можно аппроксимировать линейной зависимостьюf = k ⋅ Δrгде k=const - коэффициент пропорциональности.При переходе к системе с большим числом частиц, т.е. к твердому телу, парная сила взаимодействия будет проявляться среди многих частиц, поэтому целесообразно перейти к понятию напряжения в твердом теле. Выделим в теле элементарную площадку ∆S перпендикулярно этой площадкебудет действовать внутренняя сила ∆F, являющаяся результирующей силой всех парных сил техчастиц, линии взаимодействия которых пересекает площадка ∆S. В этом случае под напряжениемσ будем понимать следующее выражение:σ = limΔS→ 0ΔFΔSВеличина ∆F может быть приближенно рассчитана по формуле ∆F=fN/2, где N – число взаимодействующих частиц, линяя действия сил которых пересекается площадкой ∆S.

В линейной теорииупругости связь между напряжением σ и деформацией ε определяется законом Гука, который приодноосном напряженном состоянии имеет вид(3)σ = ε⋅Εгде E - модуль Юнга (модуль упругости первого рода), аε = (lk - l0 )/l0(4)Здесь lk, l0 - длина образца соответственно в конечном и начальном состояниях.Следовательно, при растяжении образца напряжение и деформация, согласно (3) и (4), будут принимать положительные значения. С учетом вышеизложенного очевидно, что напряжение σ будетописываться функциональной зависимостью, аналогичной той, что имеет сила f, определяемаяформулой (2):m+1n +1(5)σ = D/r- С/rВ формуле (5) D и С - это новые постоянные, а знаки у слагаемых, по сравнению с формулой (2),изменены, так как при растяжении σ должно быть положительным, а при сжатии отрицательным.График зависимости (5) представлен на рис.

2.σσmrr0rmРис. 2Здесь под r понимается координата, характеризующая некоторое усредненное расстояние, котороеопределяет величину и знак напряжений, возникающих в кристалле. Из графика рис. 2 видно, чтолинейная связь между напряжением σ и деформацией ε (т.е. закон Гука) имеет место только вблизи окрестности координаты r=r0, т.е. при малой деформации кристалла(6)ε = (r - r )/r00Используя (5), оценим теоретическую прочность кристалла.

С этой целью рассмотрим его растяжение. Поскольку при r=r0 напряжение σ(r0)=0, то из этого условия находимr0 = (C/D)1n-m(7)Согласно (3) и (6), имеемdσdεr=r0=E(8)r = r0 ( 1 + ε )(9)Подставив (9) в (5) и определив соответствующую производную, после преобразований с учетомзависимостей (7) и (8) окончательно получимm+1(10)E = (D/r0Из условия максимума функции (5) (dσdrr=r0)(n - m)= 0 ) найдем величину rm, соответствующую макси-мальному растягивающему напряжению σm:1 n +1 C  n-m⋅ rm =  m +1 D (11)После подстановки (11) в (5) находим это напряжение, соответствующее теоретической прочностикристалла, так как напряжение σm является предельным для кристалла при испытаниях его на растяжение:σm =D m +11 −r n+1 m +1m(12)При достижении напряжения σ>σm в кристалле наблюдаются необратимые пластические деформации, после которых наступает разрыв кристалла.

Разделив (12) на (10), приходим к выражениюследующего вида:m+1σm1  m +1  n-m=E n +1  n +1 (13)При значениях n=12 и m=6 формула (1) принимает вид потенциала Ленарда - Джонса, используемого обычно для описания взаимодействия электрически нейтральных атомов.

При данных значениях отношение (13) будет равноσm= 0, 037EОднако опыт показывает, что разрыв в реальных кристаллах наступает при напряжениях (10-4- 103)E, что на порядок и более меньше теоретической величиныσm, рассчитанной по формуле (13).Низкие значение реальных разрывных напряжений связаны с наличием различного рода структурных дефектов, в частности наличием дислокации в кристалле.Используя теоретическую прочность σm, можно оценить энергию связи частиц в кристалле, равную работе, которую необходимо совершить, чтобы разъединить атомы. Поскольку энергия связиUСВ рассчитывается на один атом и имеет единицей измерения электрон-вольт на атом (эВ/атом)или джоуль на атом (Дж/атом), то теоретическую прочность можно приближенно рассчитать поформулеσm =1U CB n 02(14)где n0 - число атомов в единице объема; коэффициент 1/2 введен с учетом поправки на парноевзаимодействие атомов.

Поскольку n0=ρNA/µ, где ρ - плотность кристалла, µ - его молярная масса,NA – число Авогадро, то из формулы (14) с учетом (13) находимm +1U CB2  m + 1  n - m μE=n +1 n +1 N Aρ(15)Так, например, для меди энергия связи, рассчитанная по формуле (15), при условии, что n=12, m =6, будет равнаUСВ= 0,356 эВ/атомБольшинство металлов и сплавов, широко используемых в промышленности и строительстве,имеют поликристаллическую структуру.

Однако и для них справедлив закон Гука. Поэтому модуль Юнга и связанный с ним модуль сдвига (модуль упругости второго рода)(16)G = E/ ( 2 (1+ ν ) )являются важными характеристиками твердого тела и содержатся во всех справочниках поматериалам.В формуле (16) величина ν - коэффициент Пуассона (для многих металлов ν = 0,25...

0,3).Для экспериментального определения физико-механических характеристик материалов (модуляупругости при сдвиге G, коэффициента вязкости твердых и жидких веществ) используется, в частности, крутильный маятник, который, как правило, состоит из осесимметричного тела, скрепленного вдоль оси с упругими стержнями (струнами, нитями, например, кварцевыми нитями), другиеконцы которых жестко закреплены.

При колебаниях упругие элементы такого маятника подвергаются кручению. Кручением называется деформация стержня (струны, вала и т.п.) под действиемкрутящих моментов, Крутящий момент создается, например, парой сил, лежащих в плоскости,перпендикулярной оси стержня (рис. 3). При кручении происходит поворот поперечных сеченийстержня друг относительно друга вокруг его оси, т.е. при кручении реализуется деформация чистого сдвига.Рассмотрим на примере стержня некоторые геометрические и механические характеристики кручения. Пусть под действием внешних крутящих моментов осуществляется кручение стержня (см.рис. 3).

Выделим элемент стержня длиной dz. Обозначим M внутренний крутящий момент, действующий в сечении. Из рис. 3 видно, что угол поворота сечений ϕz изменяется вдоль элемента dz от0 до ϕ. Поэтому введем угол кручения (относительный угол закручивания), равныйθ =dϕdz(17)В частности, если угол кручения будет постоянен, θ= const по всей длине стержня l, что справедливо при равномерном напряженно-деформированном состоянии, то после интегрирования (17)находимθ =∆ϕϕ=ll(18)xFdzyМКzFMϕZdzMϕРис.

3где ϕ - полный угол поворота торцевого сечения по отношению к закрепленному концу (см. рис.3). Интересно, что формула (18) аналогична деформации стержня при удлинении ε=∆l/l. Поэтомузакон Гука при кручении будет иметь вид, аналогичный зависимости (3),(19)M = D ⋅θЗдесь D - крутильная жесткость стержня;D = G ⋅ JC(20)где JC - полярный момент сечения стержня. Для стержня (струны) круглого сеченияJ C = π ⋅ d 4 /32(21)где d - диаметр струны. Из формулы (18), (19), (20) находим величину момента упругих силM = (G ⋅ J C / l ) ⋅ ϕ(22)В данной работе используется крутильный маятник, принципиальная схема которого представленана рис. 4.