МУ - М-11 (Исследование колебательной системы с двумя степенями свободы)

1МГТУ им. Н.Э. БауманаГладков Н. А., Морозов А. Н.ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ.Методические указания к лабораторной работе М-11 по курсу общей физикиПод ред. М. И. Киселева.MГТУ, 1990.Рассматривается теория механических колебаний на примере механической системы с двумя степенями свободы и внутренней упругой связью.

Дано описание экспериментальной установки,предназначенной для изучения свободных и вынужденных колебаний, методики выполнения наней экспериментов.Цель работы - изучение свободных и вынужденных колебаний механической системы(МС) с двумя степенями свободы и внутренней упругой связью. Определение амплитудночастотных характеристик этой колебательной системы.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬИзучение основных закономерностей колебательного движения МС с двумя степенямисвободы будем проводить на примере колебаний двух маятников, соединенных упругой связью.Условная схема такой колебательной системы приведена на рис.

1. Положение МС, состоящейиз двух маятников, будет определяться двумя независимыми угловыми координатами ϕ1 и ϕ2,характеризующими углы отклонения маятO1O2ников от положения равновесия, т.е. такаяМС имеет две степени свободы. В дальнейшем индексы «1» и «2» относятся к параметF(t) LFLрам 1-го и 2-го маятников соответственно.F1F2Маятники состоят из стержней и нанизанных на них массивных тел массой m1 иm2.ϕ1ϕ2l1Поскольку массы стержней значительноменьше массы тел, то моменты инерl2ции маятников относительно осей вращенияO1z1 и О2z2 , проходящих через точки O1 и О2и перпендикулярных плоскости чертежа,можно рассчитать по формулам J1 = m1l12 иm1gJ 2 = m2l22 , где l1 и l2 - расстояния от центраm2g масс тел до соответствующих осей O1z1 иО2z2. На расстоянии L от осей вращениястержни скреплены пружиной. Внешнее!Рис.

1гармоническое воздействие F (t ) можетбыть приложено к одному из маятников. На рис. 1 сила приложена ко второму маятнику на расстоянии LF от оси О2z2 и приводит его в колебательное движение, которое через пружину передается первому маятнику.Свободные колебания связанных маятников.Для вывода уравнений колебаний маятников используем основное уравнение динамикивращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, например оси Оz:2NJ zε z = ∑ M iz(1)i =1где J z - момент инерции тела относительно оси Оz; ε z =N∑Mi =1izd 2ϕ= ϕ"" - угловое ускорение тела;dt 2- сумма моментов внешних сил относительно оси Оz, действующих на данное тело. Приэтом считаем, что стержни маятников можно рассматривать как невесомые.

Тогда уравнениедвижения первого маятника в соответствии с выражением (1) примет следующий вид:(2)m1l12ϕ""1 = − m1 gl1 sin ϕ1 + F1 L cos ϕ1где − m1 gl1 sin ϕ1 = M 1z - момент силы тяжести маятника. Знак «минус» указывает на то, что этотмомент действует таким образом, что стремится вернуть маятник в положение равновесия.Момент упругой силы F1, действующий на маятник со стороны деформированной пружины, будет равен M 2 z = F1 L cos ϕ1 .

Упругая сила F=k∆x, где k - коэффициент жесткости пружины, ∆x - изменение длины пружины. В соответствии с рис. 1 можно записатьF1 = kL ( sin ϕ 2 − sin ϕ1 ) .Поскольку масса и ускорения отдельных частей пружины невелики, то инерциальными!!свойствами пружины можно пренебречь, и, следовательно, F1 = F2 .В данной работе рассматриваем малые колебания маятников, поэтому считаем, чтоsin ϕ ≈ ϕ , cos ϕ ≈ 1 . С учетом изложенного перепишем уравнение (2) в видеm1l12ϕ""1 + m1 gl1ϕ1 − kL2 (ϕ 2 − ϕ1 ) = 0(3)или(4)ϕ""1 + p11ϕ1 − p12ϕ 2 = 0 ,где коэффициенты p11 и p12 равны, соответственно:g kL2kL2p11 = +;p=.12l1 m1l12m1l12Уравнения, аналогичные уравнениям (3), (4), можно составить и для второго маятника.!!Так, при условии, что внешняя сила F (t ) = 0 (свободные колебания системы), имеем(5)ϕ""2 + p22ϕ1 − p21ϕ1 = 0g kL2kL2+;p=.21l2 m2l22m2l22Таким образом, получена система двух линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для функций ϕ1 = ϕ1 (t ) и ϕ 2 = ϕ 2 (t ) .Анализ системы уравнений (4) и (5) показывает, что свободные колебания двух соединенных упруго маятников характеризуются собственными круговыми частотами ω I и ω II , определяющими главные колебания системы.

Эти частоты называются собственными, потому чтозависят от параметров колебательной системы ( l1 , l2 , L, m1, m2, k) и не зависят от условий выведения системы из положения равновесия (начальных условий). Первое главное колебание системы описывается уравнениями ϕ1 = A1I cos (ω I t + α1 ) , ϕ 2 = A2I cos (ω I t + α1 ) .

Аналогичную загде p22 =пись имеем и для второго главного колебания системы: ϕ1 = A1II cos (ω II t + α 2 ) ,ϕ 2 = A2II cos (ω II t + α 2 ) .Произвольные постоянные A1I , A2I , A1II , A2II , α1 , α 2 определяют из начальных условийдвижения колебательной системы. Главные колебания возникают только при определенных начальных условиях. В случае произвольного возбуждения колебательной системы колебания ма-3ятников происходят на обеих главных частотах ω I и ω II . При этом колебания каждого маятника складываются из главных колебаний системы:(6)ϕ1 = B1 cos (ω I t + α1 ) + D1 cos (ω II t + α 2 )(7)ϕ 2 = B2 cos (ω I t + α1 ) + D2 cos (ω II t + α 2 )Поскольку функции ϕ1 и ϕ 2 должны удовлетворять уравнениям (4) и (5), то коэффициенты B1 , B2 , D1 , D2 - взаимосвязаны.

Например,p12p12B1 =B2 ; D1 =D2 .2p11 − ω Ip11 − ω II2Параметры B1 , D2 , α1 , α 2 (или D1 , B2 , α1 , α 2 ) определяют из начальных условий колебательной системы. Зависимости (6) и (7) представляют собой общее решение системы уравнений (4), (5).Все значительно упрощается, когда связанные маятники одинаковы, т.е.

l1 = l2 = l ,m1 = m2 = m . В этом случае частоты первого и второго главных колебаний системы будут соответственно равныg(8)ωI =,lg 2kL2(9)+.2l mlДействительно, в этом случае p11=p22, p12 =p21. Поэтому из уравнений (4) и (5) можно составить следующие комбинации:g(ϕ""1 + ϕ""2 ) + (ϕ1 + ϕ 2 ) = 0 ,l g 2kL2 """"ϕϕ−+( 1 2 )  + 2  (ϕ1 − ϕ 2 ) = 0 . l ml ω II =Если рассмотреть эти уравнения относительно новых переменных ψ = ϕ1 + ϕ 2 ,η = ϕ1 − ϕ 2 , то получимψ"" + ω I2ψ = 0 ,η"" + ω II2 η = 0 .Последние уравнения описывают свободные гармонические колебания с круговыми частотамиω I и ω II .Итак, в случае одинаковых маятников частота первого главного колебания соответствуетсинфазным колебаниям маятников, а частота второго главного колебания - антифазным (противофазным) колебаниям маятников.Синфазные колебания могут быть получены, если пружина, связывающая маятники, небудет при их движении деформироваться.

Это достигается тем, что оба маятника в начальныймомент времени отклоняют в одну сторону на один и тот же угол и им сообщают равные начальные скорости. При последующем колебательном движении пружина остается недеформированной и не влияет на колебательный процесс. Частота этого колебания определяется формулой (8), т.е.

совпадает с частотой математического маятника.Противофазные колебания получаем, если в начальный момент времени маятники отклоняют в разные стороны, но на равные углы и им сообщают равные по величине, но противоположно направленные начальные скорости. В этом случае упругие силы со стороны пружиныактивно влияют на колебательный процесс, а следовательно, ω II > ω I [см. формулы (8) и (9)].Если параметры колебательной системы подобраны так, что второе слагаемое под радикалом вформуле (9) будет много меньше первого, т.е.

2kL2 / ( ml 2 ) << g / l , то в этом случае ω II ≈ ω I .4Тогда при произвольном отклонении колебательной системы из положения равновесия (припроизвольном возбуждении колебаний) будем наблюдать биения - колебания с периодическиизменяющейся амплитудой (рис. 2).ϕ1tτϕ2tРис. 2Наиболее наглядно биения выражены в случае, если в начальный момент времени одиниз маятников отклонить, другой в это время придержать в положении равновесия, а затем обамаятника отпустить. В начале колебания первого маятника будут близки к свободным, но вдальнейшем под действием упругой пружины в колебательный процесс все в большей степенивовлекается второй маятник (рис.

3).ϕ1tτϕ2tτРис. 3Поскольку энергия маятниковой системы остается постоянной, то будет происходить последовательная перекачка энергии от одного маятника к другому. В то время, когда амплитуда одного из маятников будет максимальной, амплитуда другого маятника станет равна нулю.Время τ (рис.

3) определяет период биения. Период биения не зависит от способа возбу-5ждения колебаний (см. рис. 2, 3), поэтому для одной и той же маятниковой системы остаетсявеличиной постоянной:2π(10)τ=.ω II − ω IИз формул (8), (9) вытекает следующее выражение:k L2(11)ω II2 − ω I2 = 2,m l2которое можно использовать, например, для определения по экспериментальным результатамкоэффициента жесткости пружины k.Вынужденные колебания связанных маятников.При действии на маятниковую систему внешней гармонической возмущающей силыF (t ) = F0 sin Ωt , где F0 , Ω - амплитуда и круговая частота возмущающей силы соответственно,возникают сложные колебания, которые образуются при наложении колебаний, имеющих собственные круговые частоты ω I и ω II и колебаний с частотой Ω .