МУ-Э-69 (Силы в магнитном поле)

Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаА.В. Новгородская, И.Н. ФетисовСИЛЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕМетодические указанияк выполнению лабораторной работы Э-69по курсу общей физикиМосква20142ВВЕДЕНИЕМагнитное поле – силовое поле, действующее на движущиеся электрическиезаряды, а также на тела, обладающие магнитным моментом [1–4].Силовое действие проводника с электрическим током на магнитную стрелкуобнаружил Эрстед в 1820 г. Тем самым была открыта неизвестная до этого опыта связьмежду электрическими и магнитными явлениями.А.

Ампер в 1820 г. опытным путем установил законы силового взаимодействиярамок с токами.В конце XIX в. Х.А. Лоренц обобщением опытных данных получил выражениедля силы, действующей на электрический заряд, движущийся в магнитном поле.Источниками магнитного поля являются намагниченные тела, проводники стоком и движущиеся электрически заряженные частицы. Переменное магнитное поле возникает также в переменном электрическом поле. Полное описание электромагнитного поля дают уравнения Максвелла [1–4].Магнитные силы играют большую роль в космических процессах, и нашлимногочисленные практические применения.Цель работы – ознакомление с магнитным полем; в экспериментальной части– измерение силы, действующей на проводник с током в магнитном поле (изучение законаАмпера).ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ1. Силовое действие магнитного поля.

Магнитная индукцияСила, действующая на заряд в магнитном поле. В магнитном поле на точечный электрический заряд q, движущийся со скоростью v, действует магнитная силаFм = q [v B].(1)Векторная величина B, характеризующая магнитное поле в данной точке поля,называется магнитной индукцией. Формула (1) справедлива для любой скорости, максимальное значение которой близко скорости света в вакууме c = 3.108 м/с. Вектор Fм перпендикулярен плоскости, образованной векторами v и B, а направление силы для положительного заряда задается правилом правого винта или левой руки (рис.1); для отрицательного заряда направление силы – противоположное.Модуль магнитной силыFм = q v B sin α,где α – угол между векторами v и B.2(2)3FМBBααvvFМРис. 1.

Направление силы при движении зарядов в магнитном поле.Магнитная индукция B определяется формулой (1). Модуль магнитной индукцииB=F.qv sin αЕдиница магнитной индукции – тесла (Тл). В поле с индукцией 1 Тл на частицу с зарядом 1 Кл и скоростью 1 м/с действует максимальная (при sin α =1) сила 1 Н.Магнитная сила Fм (см. формулу (1)) перпендикулярна вектору скорости частицы, поэтому она не совершает работы; под действием силы Fм кинетическая энергиячастицы не изменяется, а изменяется только направление вектора скорости.В вакууме в однородном магнитном поле заряженная частица движется в общем случае по спирали, а в частных случаях либо по окружности (когда векторы vBперпендикулярны), либо равномерно по прямой вдоль линии магнитной индукции.В электрическом поле напряженностью E на точечный положительный электрический заряд q действует силаFэ = q E.(3)Из формулы (3) следует определение напряженности электрического поля.В электромагнитных полях движущаяся заряженная частица подвергается воздействиюдвух сил, одна из которых обусловлена электрическим, а вторая – магнитным полем(формулы (1) и (3)).

Результирующая сила, называемая силой Лоренца. равна их сумме:F = q (E + [v B]).(4)Часто силой Лоренца называют только магнитную составляющую этой силы.Сила, действующая на проводник с током. На прямой отрезок проводникадлиной l, по которому протекает ток силой I, в однородном поле магнитной индукции Bдействует сила Ампера:34FА = I [l B ].(5)Формула (5) выражает закон Ампера. Направление вектора l совпадает с направлением тока, за которое принято направление движения положительных зарядов. Направление силы FА такое же, как силы Fм, если заменить вектор v на вектор l (рис.2).Модуль силы АмпераFА = I l B sin α.(6)В формулах (5), (6) мы рассматривали отрезок проводника с током.

Если жерассматривать замкнутый проводник с током, то его характеризуют векторной величинойpm, называемой магнитным моментом контура с током. Например, ток силой I протекаетпо тонкому проводнику, который лежит в плоскости и ограничивает площадь S (рис.3).Для такого контура магнитный моментpm = I S n.Направление магнитного момента совпадает с направлением единичного вектора n, перпендикулярного плоскости контура; направление n связано с направлением тока правилом правого винта. Единица магнитного момента – ампер на метр квадратный(А.м2).В однородном поле магнитной индукции B на контур с током с магнитныммоментом pm действует момент силM = [pm B].(7)Отметим, что магнитная индукция B определяется не только соотношением(1), но и вытекающими из него формулами (5) и (7).BIB⊥nBIpmSFРис.2.Направление силы АмпераРис.3.Магнитный момент контура с током.Линии магнитной индукции.

Магнитные поля изображают графически линиями магнитной индукции, касательные к которым указывают направление вектора B вданной точке поля. Линии магнитной индукции – непрерывные, замкнутые. Векторныеполя, обладающие замкнутыми линиями, называются вихревыми полями. Магнитное полеесть вихревое поле. В этом заключается существенное отличие магнитного поля от электростатического (потенциального), в котором линии напряженности – не замкнуты. Они45начинаются на положительных, а кончаются на отрицательных зарядах или уходят в бесконечность.IBBSNРис. 4. Линии магнитной индукциипрямого тока.Рис. 5.

Линии магнитной индукции электромагнитаПримеры линий магнитной индукции представлены на рис. 4 и 5. На рис.4 показаны линии магнитной индукции в электромагните, состоящем из железного сердечникас воздушным зазором. Магнитное поле создается током в катушке. Железо и другие ферромагнитные материалы применяют для увеличения магнитной индукции и сосредоточения магнитного поля в сердечнике. На рис. 5 показаны линии поля прямого тока, онипредставляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей, лежащих в плоскостях, перпендикулярных проводнику. Направление вектора B и направление тока I связаны правилом правого винта.2.

Взаимная связь сил Ампера и ЛоренцаВ металлическом проводнике с током I электроны проводимости с зарядом qдвижутся не только хаотически во всех направлениях, но также в определенном направлении с некоторой средней скоростью (скоростью дрейфа) u. На каждый из этих электроновдействует сила Лоренца (см. формулу (2)), которая через взаимодействие электронов скристаллической решеткой металла передается проводнику в целом. Сумма всех сил отхаотического движения равна нулю, а сумма сил от направленного движения образуетсилу Ампера (см. формулу (6)).Получим выражение для силы Ампера, суммируя все силы ЛоренцаFм = q u B sin α,обусловленные направленным движением и действующие на N электронов проводимости в прямом отрезке проводника длиной l и площадью поперечного сечения S:FА = Nq u B sin α.Полное число электронов N выразим через концентрацию n электронов проводимости и56объем проводника V = lS:N = n lS.Плотность токаj=ISсвязана со скоростью дрейфа u соотношением:j = n q u.Объединяя последние четыре формулы, получаем выражение для силы Ампера:FА = I l B sin α.3.

Магнитное поле, создаваемое электрическими токамиЭлектрический ток создает магнитное поле, методика расчета которого опирается на экспериментально установленные закон Био-Савара и принцип суперпозиции магнитных полей.αIdlrPdBРис. 6. К расчету магнитной индукции элемента токаРассмотрим случай тонкого произвольного проводника в вакууме, по которомупротекает ток силой I. Разобьем провод на малые элементы длины dl, направление которых совпадает с направлением тока (Idl называют элементом тока). В точке Р, положение67которой относительно элемента тока определяется радиусом-вектором r (рис. 6), магнитная индукцияdB от элемента тока равна (закон Био-Савара в векторной и скалярнойформах):d B = µ0 I [d l r] / (4 π r3 );(8)d B = µ0 I dl sin α / (4 π r2 ).Здесь µ0 – магнитная постоянная, равная 4π .10-7 Гн/м (генри на метр), α - уголмежду векторами d l и r.Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, полная магнитная индукция B в данной точке поля равна векторной сумме полей dBi от всех элементов тока данного и других проводников:B = Σ dBi.По данной схеме расчета получены следующие выражения для поля в вакууме, создаваемого током I в тонких проводниках:1)на расстоянии r от бесконечно длинного прямого проводникаB = µ0 I/(2πr);2)(9)в центре кругового тока радиусом r индукция равнаB = µ0 I /(2r);3)внутри длинного соленоида (катушки), в котором на единицу длины приходит-ся n витков,B = µ0 I n.4.

Единица силы тока – амперВ системе единиц СИ основной электрической величиной является ампер. Определение ампера основано на силовом взаимодействии двух длинных параллельных проводников с токами, расположенных в вакууме на расстоянии r друг от друга. Согласно формуле (9), проводник 1 с силой тока I1 создает в месте расположения проводника 2 магнитное поле с индукцией B =µ0 I1, где µ0 = 4π .10-7 Гн/м. Вектор магнитной индукции перпен2π rдикулярен ко второму проводнику, по которому протекает ток силой I2. На отрезок второго проводника длиной l действует сила Ампера:F = I 2 Bl =µ0 I1I 2l.2π rЕсли токи протекают в одном направлении, то сила имеет характер притяжения.В Физической энциклопедии [5] дано следующее определение ампера, основанноена приведенной выше формуле.

« Ампер – единица силы электрического тока СИ, равная78силе неизменяющегося тока I (I = I1 = I2), который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии r =1 м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной l = 1 м силу взаимодействия, равную 2.10-7 Н».5. Магнитный потокОпределение потока поясним на наглядном примере: струя воздуха проходит соскоростью u через отверстие площади S в пластине (рис.

7).uunαSРис. 7. К определению потока векторной величины.Объем воздуха, проходящего через отверстие за единицу времени, равенΦ = un S,где un = u cosα – проекция вектора u на направление нормали к площадке отверстия, α –угол между вектором u и нормалью. Величина Φ, м3/с, есть поток вектора скорости.Аналогично определяют потоки других векторных величин – напряженности электрического поля, магнитной индукции и т.д. Магнитный поток, или поток вектора магнитной индукции, через плоскую площадку S в однородном поле равенΦ = Bn S .(10)Единица магнитного потока – вебер: Вб = Тл⋅м2.6. Работа проводника с током в магнитном полеРассмотрим плоский контур с током силой I, расположенный в однородном магнитном поле индукции B (рис. 8).Линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости контура.