МУ-Э-60 (Энергия электрического поля)

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаИ.Н.ФетисовЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯМетодические указания к выполнению лабораторной работы Э -60по курсу общей физикиВВЕДЕНИЕЭлектромагнитное поле – особая форма материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между движущимися электрически заряженными частицами [1-3].Электромагнитное поле имеет две переменные составляющие – электрическое поле и магнитное поле, взаимно порождающие друг друга. Эти поля можно получить раздельно, нотолько в виде постоянных полей. Источником постоянного электрического поля, называемого электростатическим, или потенциальным, служат неподвижные электрическиезаряды.Электромагнитное поле обладает энергией.

В данной работе рассматривается электростатическое поле, энергию которого легче всего изучать с помощью конденсатора. Вконденсаторе можно сосредоточить большую электрическую энергию, которую легкопревратить в другую форму – тепловую или механическую.Цель работы – ознакомление с электростатическим полем; измерение энергииэлектрического поля конденсатора с помощью калориметра.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ1.

Электрическое потенциальное полеЭлектрическое потенциальное поле в каждой точке пространства характеризуютвектором E (напряженность поля) и скалярной величиной φ, называемой потенциалом.Напряженность поля – силовая характеристика, а потенциал – энергетическая.Если на помещенный в поле точечный положительный заряд q (“пробный” заряд)действует сила F (рис. 1), то поле в данной точке имеет напряженностьE = F / q.(1)Модуль вектора E, Н/Кл, численно равен силе, действующей на единичный заряд.Примечание: векторы набраны жирным шрифтом.21FEqРис.

1. К определению напряженности электрическогополя: 1 – заряды - источник поля; 2 – «пробный» заряд.Основным законом электростатики является закон Кулона: два неподвижных точечных заряда взаимодействуют в вакууме с силами, пропорциональными произведениюмодулей зарядов и обратно пропорциональными квадрату расстояния между нимиF = q1 q2 / (4 π ε 0 r2),(2)где ε 0 = 8,85.10-12 Ф/м (фарад на метр) – электрическая постоянная.Если источником поля служит точечный заряд q, то напряженность поля в вакуумена расстоянии r от него равнаE = q / (4 π ε 0 r2).(3)Легко видеть, что (3) следует из (1) и (2).Если поле создается несколькими зарядами (рис.

2) и каждый из них в отдельностив некоторой точке пространства создает поле напряженности E1, E2, … En, то суммарноеполе имеет напряженность, определяемую геометрической суммой векторов (принцип суперпозиции электрического поля):E = E1+ E2 + …+ En.E1q1E2Eq2Рис. 2. Принцип суперпозиции электрических полей.Если в поле «обычных» зарядов (их называют сторонними) находится диэлектрик,то он поляризуется [1-3].

В этом случае поле создается зарядами двух различных видов –сторонними и связанными (внутри молекулярного диполя), причем поле становится слабее, чем было в вакууме. Расчет поля в диэлектрике рассматривается в [1-3]. В простомслучае, когда точечный заряд q находится в однородном, протяженном диэлектрике, напряженность поля уменьшается в ε разE = q / (4 π ε ε 0 r2),(4)где ε – характеристика данного диэлектрика, его диэлектрическая проницаемость.Если точечный заряд q перемещается в электрическом поле, то действующая на него сила F = q E совершает работу.

Элементарная работа силы на перемещении d l равна(рис. 3)dA = F d l = qEd l = q E d l cos α,а вся работа сил поля на пути от точки 1 до точки 2 определяется какA = q ∫ E d l.Этот интеграл берется по некоторой линии (пути).2(5)Силы, действующие на заряд в электростатическом поле, являются консервативными силами, для них работа (5) не зависит от формы пути, а работа по замкнутому пути равна нулю. Такое поле называют потенциальным электрическим полем. Источником по-dl2qαF=qE1Рис. 3. Работа при перемещении заряда в электрическом поле.тенциального поля служат электрические заряды.Кроме потенциального, имеется вихревое электрическое поле [1-3], возникающее впеременном магнитном поле.

Линии вихревого поля – замкнутые, а работа в нем по замкнутой линии не равна нулю.Поскольку работа (5) в потенциальном поле не зависит от формы пути, ее представляют как убыль потенциальной энергии Wp заряда q при перемещении заряда из точки1 в точку 2A = q ∫ E d l = Wp1 - Wp2.(6)Потенциальная энергия Wp заряда q зависит от величины заряда. Но если энергиюразделить на заряд, то получим энергетическую характеристику поля в данной точке, называемую потенциаломϕ = Wp / q.(7)Единица потенциала – вольт, В = Дж/Кл (джоуль на кулон).Подстановкой (7) в (6) получим выражение для работы сил поля при перемещениизаряда из точки с потенциалом ϕ 1 в точку с потенциалом ϕ 2A = q ( ϕ 1- ϕ 2).Разность потенциалов называют напряжением между двумя точками поляU = ϕ 1- ϕ 2 = A/q.Рассмотрим два точечных, положительных (т.е.

отталкивающихся) заряда q и q1,находящихся в вакууме на расстоянии r друг от друга. Неподвижный заряд q примем заисточник поля, напряженность которого в месте расположения второго зарядаE = q / (4 π ε 0 r2).Пусть в этом поле перемещается вдоль линии напряженности заряд q1 из исходной точкидо бесконечности. Тогда работа сил поля (см. (6)) равнаA = q q1 / (4 π ε 0) ∫ dr/r2 = q q1 / (4 π ε 0r).(8)Эта работа равна убыли потенциальной энергии. Из соображений целесообразности, потенциальную энергию на бесконечности принимают за нуль: Wp2 = 0. Тогда из (6) и(8) получаем выражение для потенциала поля точечного заряда на расстоянии r в вакуумеϕ = q /(4 π ε 0 r).3(9)Знак потенциала совпадает со знаком заряда.Если поле создается несколькими зарядами, то в данной точке потенциал равен алгебраической сумме потенциалов от каждого заряда (принцип суперпозиции полей)ϕ = ϕ 1 + ϕ 2 + …+ ϕ n.Работу в (8) можно рассматривать как потенциальную энергию взаимодействия ввакууме двух точечных зарядов на расстоянии rWp = q1q2 /(4 π ε 0 r).(10)Знак потенциальной энергии зависит от знаков обоих зарядов; энергия положительная для одноименных зарядов и отрицательная – для разноименных.Формулу (10) можно обобщить на случай произвольного числа точечных зарядов;энергия взаимодействия системы точечных зарядовWp = (1/2)∑qi ϕ i ,(11)где ϕ i – потенциал поля в точке расположения заряда qi от всех зарядов, кроме qi.Часто заряды располагаются на металлическом проводнике или незаряженный проводник находится в электростатическом поле других зарядов.

В этих случаях электроныпроводимости так перераспределяются по металлу, что стационарное поле внутри проводника становится равным нулю: E = 0. Тогда, как следует из формулы (6), все точки металла имеют одинаковый потенциал.Применяя теорему Гаусса для поля внутри проводника, можно показать, что внутри проводника избыточных зарядов нет, они находятся в тонком поверхностном слое проводника [1-3].2. Энергия электрического поля, конденсаторы, электроемкостьКонденсатором называют устройство из двух близко расположенных металлических проводников (обкладок), разделенных изолятором.Конденсатор заряжают от источника тока (рис.

4). После замыкания цепи электроны проводимости перемещаются с одной обкладки на другую под действием электрического поля, создаваемого в проводнике источником. При этом одна обкладка приобретаетR+q−qРис. 4. Схема зарядки конденсатора.избыточный отрицательный заряд, а другая, из которой ушли электроны, – такой же положительный заряд q. Заряды на обкладках создают поле между ними. Накопление заряда4происходит до тех пор, пока напряжение между обкладками не сравняется с ЭДС источника.Электроемкостью (емкостью) конденсатора называют отношение заряда на однойобкладке к напряжению между обкладкамиC = q / U.(12)Единица емкости – фарад: Ф = Кл/В (кулон на вольт).Плоский конденсатор состоит из двух параллельных пластин площади S каждой,разделенных зазором малой ширины d. Емкость плоского конденсатораC = ε ε 0 S/d,(13)где ε - диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего зазор между обкладками.Заряженный конденсатор обладает электрической энергиейW = qU/2 = CU2 /2 = q2 /(2C).(14)Это выражение получим, рассматривая процесс разряда конденсатора через проводник с некоторым сопротивлением.

Пусть при напряжении U ′ между обкладками небольшой заряд d q′ переместился с одной обкладки на другую. При этом силы поля совершили элементарную работуdA = U ′ d q′ = ( q′ / C) d q′ .Проинтегрировав это выражение по q′ , получим суммарную работу сил поля при разрядеконденсатора (она же равна энергии конденсатора)A = W = q2/2C.В (11) мы рассматривали потенциальную энергию взаимодействия зарядов посредством электрического поля. Эту энергию имеет само поле и энергия зависит от напряженности поля. Рассмотрим однородное поле плоского конденсатора. Подставляя в формулу W = CU2 /2 выражение (13), получимW = ε ε 0 SU2/(2d) = (1/2) ε ε 0 (U/d)2 Sd.В однородном поле плоского конденсатора напряженность поля равна E = U/d.Произведение Sd равно объему V между обкладками конденсатора, в котором сосредоточено поле.

Тогда энергия однородного поля напряженности E в объеме VW = ( ε ε 0 E2/2)V.Объемная плотность энергии электрического поля, Дж/м3,w = W /V = ε ε 0 E2/2.В случае неоднородного поля полная энергия поля равна интегралу по объему, в котороместь поле,W = ∫ ( ε ε 0 E2/2) dV.5Процессы зарядки и разрядки конденсатора занимают некоторое время τ, зависящее от произведения емкости на сопротивление цепи:τ = R C.(15)Величина τ, с = Ом.Ф, называется временем релаксации. При разряде конденсатора напряжение уменьшается по законуU = U0 exp (- t / τ ),где U0 – начальное напряжение. При зарядке конденсатора от источника с ЭДС U0 напряжение возрастает по законуU = U0 (1 - exp (- t / τ )).За время разрядки, равное τ, напряжение уменьшается в e = 2,72 раза, а за время 10τ – уменьшается в e10 = 22 000 раз.Несколько опытов выполняют в данной работе с конденсатором емкости 22 мкФ,который разряжают (и заряжают) через сопротивление 100 Ом, при этом τ = 2.10-3 с; следовательно, за время 0,02 с конденсатор практически полностью разрядится.