Казанджан Э.П., Казанджан Г.П. Рабочий справочник по математике (2002), страница 2

Некоторым кажется трудным выучить поверхности второго порядка. Котя их не так уж и нного - вали не очитать цилиндрических и давно известных эллипаоида (и о4еры) и конуоа, то всего четыре. Но дело не в кмичестве поверхностей и не в кажущейся громозпкоати их уравнений. Главное не в том, чтобы выучить названия поверхностей и соответствующие им уравнения, а в том, чтобы па заданному уравнению поверхности (независимо от порядка, вообще - любой) ауметь увидеть хотя бы в общих чертах, как она выглядит, в частнооти, "что происходит" в тех или иных сечениях (принцнп прежний: видишь аналитически заданную функцию, обязан видеть ее геометрию).

Дружеский совет - выучить поверхности второго порядка станет легче, если привлечь в помощь какие-нибудь (любые!) зрительные ассоциации, каждому свои, например, еллипсоид - дыня, эллиптический параболоид - чаша, гиперболический пареболоид - седло, однополостный гиперболоид- сноп и т,п, ии ь (д)- Ну ~ у бх елементарннв 4ункции (х") = т~х" ( и.

- любое двйотнительнов число) частное ~ б ~ (1пх) =— г Х х пе емвнннх ж-ж(х, у) (а" )' а" 1п а (ц>0) Р (ааь х) -е1пх (тях) - — „ У саз "х (о(у х) =-— г а(п"х (агсв(п х) Ф (ага ссз х) ! 1-х и 1-ха (егозя'х) = 1+хи (агсс(с' х) =-— г 1+х~ Р ю У - — ' Х Р 18 прсизноаиж с проививдение (и0) =и б +иО (е~) е (е1пх) = соьх параметричеоки виданная Функция х- х(х) у у(х): у=уИ) олокнея функция многих переменных 1 дГ й' ди дх дп дх 1- Яи,о...) и= и(х,у...) С= д(х,у...) — т()'')' ХД,(, / е ДИФФВИНЦИЛЫ и о ой пе мвнно проивнедвнив Н(ид) =.д Ыц+ и ~Ы Их + — Ну дя ду дк и 2 2 — Йс цу+ л цу дк л дх ду ду 1х! <, ~х~ <оо ~х~< ~х)<1 12 12'5 ~х)<1 ~х)<1 ЗКВИВАЛЕЫТНЫЕ ВЕСКОНИНО МАЛЫЕ прз х- 0 э?их х е~- 1-х 1п (1+ х) .-:с у 1+х х 5 Х 2 .)('7+ х 3 агсз1и х агс1с х 1 соэ х 20 40?ЫУЛА ТЕИЛОРА, ОСНОВНЫЕ ТЕИЛОРОВСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ~(Х)-~(Х)+ — -;Л-(Х-Хэ)+2тй-(Х-Хо) +...

+ Т-Л.(Х ~ф+Я„ ) '(Х ) ~и(Х ) Г'"1«Х ) о Г(х- хо)™3 (форма Пеано) остаточный член )Р „= <и+11 (х-хэ> (форма Лагранжа), Сэмые употребнтельные тейлоровокне разлсження (прн х о э ь е =1+х+ — + — +...+ — +.„ х 2! 5! "' и! 5 7 Хэи+1 е(и х х — — + — — — 1-+ ...+(-1')" — +... Ь! 5! 7, "* ' (2п+1)! х' х' х' и х"" соз х = 1 — (- + — — — + ... +(-1) — + ... 2, М б! "' (ащ)! хэ х~ х~ 1п(1+х)-х- — + — — — +...+(-1) — + ...

2 3 4 п а э э — =1-х+х -х +... — 1+хтх +,. 1+х 1-х (обратвте внимание на сферу действия этвж разложензй1) ?, Форыула Тейэора - великое математическое чудо, вбо произвольную (много раэ днфференцнруемую) функцию "превращает" в многочлен. (Ла з вообще - формулу Тейлора нельзя нз любнть, потому что в ней оодержнтоя все, "приращения, пронзводннэ, днфференцнапы, эквзвэлентные бесконечно малые, формула Лаг- ранжа. ° ° ) 2, Пронсхожденне прзведенной таблицы эквзвзлентных беоко- нечко малых очеввдно: это первые (самые вааныэ! ) члены ооот- ветствующнж тейлоровоквх раэложеный.

3. Прыведеннея таблица дает возможность нолнчестмнной оценки бесконечно малых величин: как видно, все "плолзез фуннцзы отелы "хорошими" - одночзенмэы (это наши любвмне много- чпены в нж проатейием варнанте), а у ных оразу вндеы порядок- х, хэ.... Значит, сразнжв любые бесконечно малые о одыочле- намн, ыы тем самым сравннваем ых между собой. К оожвленню, не- которые беокоыечно малые неораэныыы по порядку, но зто бывает столь редко, что не атонт огорчатьоя, 4.

Осыовные тейлоровскве раэжоаензя нужно запомннть - это не так сложно, как может покаэатьоя, отоыт лвшь вннмательыо ж нвм црзомотреться. В самом деле: а) (е") е", е 1- учтя это, можно выпноать в все разложенне: первый член ?, затем - такой, производная которого равна ?, т.е, х , далее- такой, производная которого равна х , т.е. х /2 , н т.д. э Котатн, анелогзчно можно получить разложение ы для бинома. б) Сынуо - ыечетная функцзя, а косинус - четная, значит, толь- ко соответствующие степаны должны быть в в вх разложенных.

Кроме того: (з1их)' ссзх, (соз х) -э(их- косвенный контроль, в) Разложение 1п(1+ х) можно получить ннтегрнро- ванзем прогресспн —,„, а оправедлнвооть разложення для 1 прогресонв прсверяетоя пепосредотвенно - нзбавленвем от знаме- нателя. ТОЖДВСТЭА (трпгояометрия) ТЙ2)(2СТВА (алгебре) 1+1о' х =— 2 1 ссавх 1+с1п х а 1 а(пах ь(пах+ соа х-1 а а(пх ссвх в1п 2х 2 . 2 1-сов2х а1п х 2 в 1+ссв2х сов х- г соа2х сов х-а)п х в ° в ь(п х - а(п у х + Рх+ ч (хе ) 2 Р 2 2 ах +Ьх+ с а(х+ — ) +,.

2 Ь 2а агса(п х + агсссе х -— Ж 2 агс12 х+ Вгсс12 х- ~ 2 2 2 у) х в 2ху+у 2 у) в у) х +Зх у+Ъху +ус в 2 у) у (х- у)(х+у) ь у (х+ у)(,2 2) У'= ИЗ ть формуля, строго говоря, ке заслуживает ни запоминания, ни деке выписывания - подставьте в преднвуиув фориулу "-" вмеото "+", и вое получится оамо ообой.

Впрочем, кому нравится - моиат аеписьть зту формулу оьмсстоятелвйо. (окончьвия зтих фораул несущественны, поскольку ато, собствен- но, и не формулы, В руководство к действию; увидел квьдрьтный трекчпея - выделяй палный кзедРВт1) а(п (х+у) а1пх сосу+ а1пу ссах а(п2х 2а1пхсоах а)п (х-у) сов (х+у) ссьх сову- а)пх а(пу сса (х-у)- х+у х-у х+ 21пу йа(п — ° сса— 2 2 х+ у х-у соь х + сосу йсоа — ° соа— 2 2 х+у .

х-у ссах -ссьу -2а1п ° а1п— 2 2 а1п ах ° соь Ьх = — '( ь1п (а+ Ь) х+ а1п (а — Ь) х1 1 2 а(п ах ° ь1п Ьх = — 1соа (а — Ь)х — оса (а +'Ь ) х") 1 2 оса ах ° соь Ьх = — (сов(а-Ь)х+ соь(а+ Ь)х) 2 Инте и ование по частям хе+2 Г бх и Г и+1 1 х 1пе-1) ~1х-Жах+Ы х бх- Ыхэ хЪ- а'х а бх-— х а" )па (а>1) — Н1пх бх х е" ах е" Ь ь 1ийд-иО~ -~Ойи. а а охах бех а:сбх,„сГ 21пхбх Иссох ссохся с!21пх а1пхбх--ссзх НК х -7-$ — а с1~х ах бх соз'х 21п х ах ° с~ агсэ1п— х 2 .2 а сГх агез1п— х а -хз а — ат с1ГГ— сГх Х2+аз а а 4Я = 1п~ х+1Гх2+ А ~ ~х +А = 1п!1у+! — 1с х ~ — --21о'х а~А' Г Ых соз'х 1 згп2Х Неопределенный интегрэл ~ и Г1д - и В - ~ О с1 ц (вскомый интеграл рамн "переписать" минус интегрел от "переотазнтьв). Определенный внтегрел Земечание. Неизбекный спутник интегрнровения - подведевне тех или иных вырежений под знак дифференцэала.

Техника интегрирования базируетоя на формулах дкфференцнровзнкя - ничего другого, лишь два поихологнчеоких нюанои реботэют формулы не о производнимн, а о дэффзренциалэмк) чнтеютоя этн формулы не слева непрево, а оправа налево. Так что таблнчвие дифйерендиады 1номэмо своего непооредственного наэначзнвя) поэезнн как вспомогателъные ессоцизцви для интегрирования, Интегрэл (точнее, подынтегралънея функция) может потребовать смотреть на Ысс как на 1 с1~ах+о), а на х Нх - как на ~ НГхз+1) и т,п. (Особенно нежное эначенне приобретают этн аоооцнацив при интегрировэнин по частям.) Ввиду вопомогетелъного характера этой чести таблицы конотенты отброшены - они "псдгоняютоя" уже после энтегрирования, при контроле двфференцировением.

Предисловие Грзфнкн ......, ". ° ° Трнгонсметркчеокне функцнн ( з(п х, соз х, огсз(п х, Показательная н логарнфзическзя Фикции .....,...., Трнгонометрнческзе функцзн ( 1Ц' х, СТЯ' х, агс1ц' х, агсс'(о х ) Кривая в полярных координатах Кривая, заданная пареметрнчеоки .....,.....,. „,.„, Векторные опередив ,...,.... Кривые второго порядка .....,.............,...,.......,. Поверхности второго порядка ,.......,.„.„,„.„... „ „.„ . Производзые ..........,.... Функции одной переменной .....,......,.....,.......

Формула Тейлора. Основные тейяоровские разложения . „ ... Эквивалентные бесконечно малые ......,.....,......,., „, Таздеотва (алгебра) . Тсщдества (тригонометрия) ...,....... „ ......,..... „,„, )(нфференцзалы Интегрирование по частям ....,...............,. „ .. Теорема алгебры о разложензи отношения многочленов на злементарные дроби ........,..........„...,. „ .„ Неопределенные интегралы ,....,..................,. Рекурреатные формулы ...,....,... „ ..............., Определенные интегралы ......,.........,....

„ ..... 9 11 11 12 14 15 18 19 19 19 30 20 23 23 24 24 26 26 26 27 37 .