Казанджан Э.П., Казанджан Г.П. Рабочий справочник по математике (2002)

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Э.П, Кааандкпн, 1',П. Казанджан ИБЭЧМН СПИБСИННК ПО ИтймйтИКЯ ииемм)м) ЙИмиий6 ймм=;;ми* ий и==и==иии(О = )»,,'$ Эн~,"К») Еоо ,)'." ~ ф~ ~'~ М ' .;„,." ~,'~ ~~.'н~й~ЫЫ, "»~ ,/)' ~ »"~ "' »» .~, ') М)ЭМ'ЛУ)ИИ; КЙа'У ИП ПОЭжП ойо)ничем))о)'о окись срока ),: /) " Московский государственннй технический университет ».'.»' им. Н.Э, Боумена Утверждено родо оветом МГ2У им. Н.Э. Баумана в ккчеотве учебного пособии УЛК Э1 (07Э.Э) ББК 22.1 К14 Рецензенты: И.Л, Иванова, Ю.Б. Радногин К14 Казвнджан Э.П., Казанджак Г.П.

Рабочий справочник по математике; Учеб. пособие. - М.: Изд-во М1ТУ им. Н.Э. Баумана, 3002. - 22 с., ил. 1ЭВ)4 Э-70ЭЭ-1Э14-9 УДК 61 (07В.Э) ББК 23.1 ® М1ТУ им. Н.Э,Баумана, 2002 15ВМ 5-7038-1614-9 Настоящее поообие рассчитано прежде всего на студентов первого куроа. В нем оосредоточены все наиболее ивяные, чаото используемые йа занятиях формулы и графики, Поообие оостаилвно так, что оно окажетоя полезным и при дальнейшем изучении математики на нторсм и паоле х курсах как на заыатжзх, так и прн самостоятельной работе отудентон.

В эпоху НТР очень важен зопрсо о взаимоотношении иккенера с информацией. Как нелестно, информация бывает полезной, бесполезной и вредной, В свои очередь, полезная информация может быть двух типохс 1) которуш удобней хранить н памяти (например, Эх2 4); 2) которую удобней хранить знв пемяти - и оцравочникв, конопекте (нелримвр, ~~/х4~А с~х ). К сожалению, общепринята состааить опралочники возмакно более полными, нсеохватннми, так что нужда з прииодиынх в них материалах оказывается заметно различной, а многое просто откроненно нв нужно.

Настоящий оцразочник состазлен бвз стремления к полноте, а исходя из наоущных потребнсотей. Всв, что здеоь приведено, иопользуетоя на занятиях по математике поотоянно и язляетоя отоль нежным, что должно быть н памяти (за малым иоклшчеяием, опециально оговоренным в разделе "Интегралы" ). И и то же время никакого оцецивльного зыучииаиия и тем более зубрежки быть ыв должно.

Это было бы бвополезной и даже вредной тратой времени. Полезно другов - прорешать столько примеров и задач, чтобы зое нужное запомнилооь оамо ообой. 1.еагп Нп"оипЬ изе - гласит английская псоложица. И поолвднев. Если что-то з этом опразочникв нв понравится кем по форме, не смущайтеоь и не удиычяйтесь, а придумайгв что-нибудь свое. ведь зрительная память очень субъективна, у каждого своя. Исли что-то не понраиитоя по осдержвниюдобазьтв нсе, что считаете полезным: длл етого специально сстаиляетоя свободное место.

Каждый столяр должен свм решить, где вму держать молоток, а где гвозди и какие именно. Каждый инженер должек содержать в образцоиом порядке овои математические инструменты - графики, тождества, интегралы, рядн ... Итак: занимаешься математикой - держи справочник при овбе. Это азбука инженерно-математического вйдвния. Так что мсзсзь глаза и руки. Активней! Главное попятив инжвнврной математики - функция. Самая наглядная форма вв аосприятия - график. Оьновннэ элвмвнтарныв функции, о которымз чаще всего приходится эотречаться - отсс Ф пенная ( х, и - любое дейотзитвльнов число), показательная (лучшв в~), логарифм (лучше катурвльный - (п х ), тригонометрические ( щах, сов х„(О х, с1с х, агсз(пх, агссоз к, .агой~ х, егози х) . Самая важкак функция - многочлек, линейная комбинация целых положительных степеней: и к-т асх +а~Х + " +а 1Х + а„.

Многочлзы — любимая функция инжвнвра и ЭНз. И н творвтичвсксм расамотрвнии, и при пычислвнии нвт ничего более простого и удобного (сложить-умножить, вот и эов). Область опрвдвлвния - ься чисзопак ось. Всюду непрерывность. Диффврвыциропать и иктвгрироьать можно околько угодно раз - всв разно оотаешьоя в класов многочлвнов. Аоимптот нвт (всли нв считать многочлвна пврвой или нулевой ствпени - прямая линия оэма свбв воимптота). Словом, мкогочлвны нельзя нв лкбить. Но любовь должка быть взаимной. Поэтому раз и навсегда слвдувт осознать, как оебя вести при зотрвчв о многочленом. Вот зти правила паээдвння, 1.

Уьидел мыогочлен - обрадуйся, 2. Увидел квадратный трвхчлен - выдали полный кэздрат (э одном случка из 1ОО от этого нв будвт хужв, а в ооталь- ных 99 - будет лучше). 3. Увидел многочлвн - развали зго на проиэювдвзив оамно- китвлвй, ликвйзых и кнадратичных; линвйкыэ сомножитзли дают корни многочлзна (точки обращения в О): нули и чиолитвлв- зто точки пврэсвчзния графика о ооью абсцисс, нули э энамвна- твлв звртккзльныв асимптоты. 4. Увидал отношение многочлвною - проверь: ствпвкь чзсли- твля должна быть строго меньше отвпвни зншзвнателя; пока этого пвт - дробь нв смотрится, так что подали числитель на знзмвна- тель (э одном случав из 1ОО от этого не будет хуже, а и осталь- ных 99 - будет лучше). Котати, сравнение ствпвней многочлвною в чиолителе и зншзвнателв дает полезную гвометричвокую инфор- мацию: степень числителя мвкьшв степени знамвнатвля оэначавт ыа- личив горизонтазьной аоимстоты у = О," отвпвнь чиолитвля равна степени знаменателя — наличие го- ризонтальной аозмптотн у = — з- (отношенив коэффицзвжтов й ь, при старших отвпвнях числитвля и знвмвнатвля); ствпвнь числителя больше отвпвнз знаменателя на 1 — нали- чка наклонной аоимстоты (зов упомязутыв аоимптоты - дьуотороы- ызв); ствпзыь числителя презышзвт отвпвнь знака наталя бокьшв чвм на 1 - асзмптоты нет.

у=х Для осознания хода крипнх У = х" при и > 1 и и <1 полевно раоомотрвть один "совмещвнннй" график 1для х > О ). 2 прямая У=,х - бисоектриоа У У"Х координатного угла Кривне х~ У" х х ...х при 0< х<1 распслоивпн ниже биосвктрион, а при х > 1- ф ~~х е пнше. Соиершенно симметрично ~/Х располагаютоя криппс у=А/х, Фх'"-ТУ".: Х при О<х<1- знше биссектрисн, а при х > 1 — ниав биссектрисы; причина симметриивеаимная обратность 4ункпий О х и а у=х и У=~/х Т гономет ческие " и у е1пх (нечетная функция) у=акса(п х (нечетная функция) период Иж У игономет ические у=сакх агс(~ х(нечетная функция) у агсс(~ х ~ агс(~ х 2 Симметрия: функции е1пх и агсз1п х, сазх и агссоз х взаимно обратны.

Показательная и лога и ческая и Снова симметрия: функции ф х и агс(~ х, сф х и агсс(д х взаимно обратны, И здесь симметрия ввиду Взаимной обратности функций. а (четная функция) период Зм у - агссои х - — - агсе1п х Ж Я у (с'х (нечетная функция) период ж у - сну х (нечетнан функцки) период ж с х=~ оса«о у= «"з>п«о (г = хе+уз; «р = агой 2- ) Кардиоида ~" - ««(1+ осе «р ) ( 0:6 «р «~ 2 я) з Йннел пк емет че у=-<х ! Пыклоида с х=а(1-е1«т) у = ««(1 осе т ) 0< с ~2„ 10 2 мечевые, Векный шаг в освоении графиков - простейзие ейные мвнвпулввди с зргументом х и Функцией у (линейныето есть ничего, кроме прибыаения-вычитания константы и Уын кения-деления нь константУ).

Продумайте (и прочУвствуйте > ), как овязаны о гре4ыком у= > (х) гра4ики у ->'-'(х), у= >( х) у <~(х)<, зятем у- Йх)+1, у->(х>-1, у-1(х+1>, у-1(х-1), у=2>'(х), у= — >(х>. у" Ййх), у->(2) (разумеется, константы могут быть ы другими, здесь взяты самые простив), Все ети грайики получаытся ив искодногс у = У"(х) пооле сост ветотнующего рестякения (сжатия), сдвига или поворота; ые страшыо и сочетание таких процедур. Пример (семый простойте оемый кегля нный ы семь«й полезный), у <х! у= <х 1! у <х<+1 у 2<х! <х-1! у <х <-1 у= — <х ! > >( "вея в и ных коо н тел ( г,» Вычисление; / Ф а а а, Ь„Ь, Ь, Определение: аЬ =~а ! ~ о 1ссз Ч> Использование: Вычисление: аЬ =а Ь + азЬз+аьЬз Использование аЬс = (а~Ь)В ат аз аь Ь з оь аЬо= 12 ВВ(СГОУВМЕ ОПБРЬПИИ (скалярное, векторное, смешанное произведения векторов) , а а ) Ь(Ь Ь, Ь ) - произвольные векторы.

а(а~ аз аь ° ~' з' ь Модуль (длина) вектора и ~а~- а +а +а 1 Х, Окелярное произведение векторов (обозначение аЬ или Я,Б) ) (при а=Ь:а = ~а), т.е. )а)=>(/а~ ). 1аЬ! вычисление проекции пр а-=, )Ь) аЬ вычисление угла меиду векторами ссзЧ>=.т ттт( )Ш «~ (в чаотнооти проверка их перпендикулярности, прн этом а Ь О ), П. Векторное произведение векторов (обозначение а~Ь или (а, Ь ) ), Определение: с -аз Ь > если Д ~ с!- ! а ))Ь 1 е(п Ч>, 3) с.!.а, с3 Ь, 3) тройка векторов а, Ь, с - правая (в силу етого Ь > а — а з Ь ).

вычисление плошади параллелограмма 8 )а з Ь) вычисление плошади треугольника 8 - — )ах Ь~ 1 2 вычисление угла мекку векторшии еш !а> Ь! ! аП$! Ш, Омешанное произведение векторов (обозначение аЬс, где о(с, с, с "> - произвольный вектор). Определение; Использование: вычисление объема параллелепипеда У= ~ а Ь П), вычисление объема пирамиды (тетраздра) )1= — )аЬс!, проверка компланарности векторов а Ь с О (в случае некомоланарнооти векторов а Ь с Ф 0 ).

драп втОРОго ПоИЛкА р - параметр ( р) О ) 2 у 2рх 2 2 х + Ь2 2 у =-2рх Лиректриса: х- - —, р Фокус: Г( р, О), )(иректриоа: х р 2 ' Фокус: Г (- —, О). Ф„у,н; р ( О,-с); у',(О> с), Хз у ХИПЕРБОУА — " 2 1 аэ Ь а, Ь - полуоси, с=2)~а + Ь 1 2=2" фокуоное расстояние, у = + — х- асимптотн, Ь а 2 — - эксцентриситет (э>1), Фокуон: Г (-с, О); Г ~с О) . левак полуокруж- ность х -ф-уй ИООИУ)(ИООУИ ИУОУОгО ООУ)ц(((А х у ь' с Зксцентриоитет з = Ь Фокусы "переезжают" о оси абсцисс на ось ординат: Г (О,-с)> Г (О, с). 14 а - большая полуось, Ь - малая псяуооь, с= а -Ь' - фокусное с расстояние, з~ — - экс пентриситет ( О < з <1 ).

Фокуон: Г(-с,О); Г' (с,О). и а=Ь р эллипс превращаетоя в окружность: х+у 2 (2-0). При а=Ь А' При а <Ь "лежачий" эллипс превращаетоя в "отоачжй" „фокусы "перееииют" о оси абсцисо на ось ординат; С ° Гэ 2 эксцентриоитет е= — (с=чЬ -и ), Ь 2 2 х 2ру У х --2ру Лиректриса1 у=- †, дзрэктриса р р окуз Г (О, — ) . - Фс„ус р(О ) 2 2 Замечание, На примере окружнооти х +у -1 необходимо осознать факт общего характера - дкя мвх кривнх и поверхностей второго порядка (причина прозрачна - дэа разных знака у радикала): окружи ооть верхняя нижняя пскуокруж- пслуокруж- псиуокруж неруд ность нооть х'+у' 1 у-ф1-хэ у. )~~ х~ х„)~, уй Уравнения проотейших поверхностей второго порядка- цилиндричеоких - имеют тот же канонический вид, что и у кривнх второго порядка: эллиптический (или круговой) цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр.

В кажном сечении горизонтальной плоскостью л- сопМ получа- ются соответственно эллипс, гипербола, парабока. Итак, уравне- ния цилиндрических поверхностей второго порядка фактически уке приведены, а внешний эид их и беэ того ясен. П 2 2 ЗКЛИПСОИД вЂ” —, + — = 1 лй у Ж 62 сй В се~енин х=сспзТ, у- сопела - парабола. В сечении я= сопев- аллино. В сечении х-сопе1, СОПЗТ- парабола. Б сечении ж сспз1- гипербола (если аспас =О - гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых).

В сечении х = сопзТ, у-сспзФ - гипербола. В сечении х=сспз(- эллипс, 16 В сечении х=сспз(, а Ь с Р: у-сспзТ, й 2 й 2 +у+Х Л я сспз1- эллина. (с4ера) В сечении ж=сспз1 - эллипс. В оачении сс сопзТ, у сопзт - гипербола (если сспзТ - О - гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых). й 2 ОДНОПОКООТБНИ бй)ЕРБОНОИД вЂ” + — — — = 1 Х щ2 Ьй сй В сечении сс=сопМ, у=сопз1 - гипербола. В сечении к=сапах - аллина. 2 2 „2 ДВуКПОКООТБНН ГИПЕРБОКОИД вЂ” + — —— Х! цй Ьй Сз сс у ЗДАИПТИЧЕОКИИ ПАРАБОНОИД вЂ” + — йл ( р > О Р 2 й ГИПЕРБОКИЧЕОКИИ ПАРАБОКОИД вЂ” " — 2 л ( Р ~ О !~ ~ О ) Р Я У Замечание.