1.4.8

Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà 1.4.8Äîáðûé ÀíîíèìóñOctober 27 - 2019"Èçìåðåíèå ìîäóëÿ Þíãà ìåòîäîì àêóñòè÷åñêîãî ðåçîíàíñà"1 Öåëü ðàáîòû:Èññëåäîâàíèå ÿâëåíèÿ àêóñòè÷åñêîãî ðåçîíàíñà. Èçìåðåíèå ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïðîäîëüíûõêîëåáàíèé â òîíêèõ ñòðåæíÿõ. Èçìåðåíèå ìîäóëÿ Þíãà ðàçëè÷íûõ ìàòåðèàëîâ.2  ðàáîòå èñïîëüçóþòñÿ:Ãåíåðàòîð çâóêîâûõ ÷àñòîò, ÷àñòîòîìåð, îñöèëëîãðàô, ýëåêòðîìàãíèòíûå èçëó÷àòåëü è ïðèåìíèêêîëåáàíèé, íàáîð ñòåðæíåé èç ðàçëè÷íûõ ìàòåðèàëîâ (ñòàëè, äþðàëëþìèíèé, ìåäè).3 Òåîðèÿ:Àêóñòè÷åñêèå âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ â ìåòàëëè÷åñêèõ ñòåðæíÿõ, ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿîò âîëí â íåîãðàíè÷åííîé ñðåäå.

Ñòðîãèé àíàëèç ðàñïðîñòðàíåíèÿ òàêèõ âîëí ñâÿçàí ñ äîâîëüíîãðîìîçäêèìè ìàòåìàòè÷å- ñêèìè ðàñ÷åòàìè. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü âîëíû, äëèíà λ êîòîðûõ âåëèêàïî ñðàâíåíèþ ñ ðàäèóñîì R ñòåðæíÿ. Îïèøåì ðàñïðîñòðàíåíèå ïðîäîëüíîé âîëíû âäîëü îñè òîíêîãîñòåðæíÿ ïîñòîÿííîãî ñå÷åíèÿ ïëîùàäüþ S . Ñòåðæåíü ñ÷èòàåòñÿ òîíêèì â òîì ñëó÷àå, êîãäà ðàäèóññòåðæíÿ R ìàë ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé âîëíû.  ñëó÷àå ñ íåîãðàíè÷åííîé ñðåäîé ñòîèò ó÷èòûâàòüâëèÿíèå êîýôôèöèåíòà Ïóàññîíà íà äåôîðìàöèþ êóñêàÐèñ.1 Ñèëû, äåéñòâóþùèå íà êóñîê äëèííîé∆xÍàïðàâèì îñü x âäîëü ãåîìåòðè÷åñêîé îñè ñòåðæíÿ. Ïîä äåéñòâèåì ïðîäîëüíîé ñèëû F ýëåìåíòàðíûé îòðåçîê ñòåðæíÿ ∆x, îãðàíè÷åííûé ïëîñêîñòÿìè ∆x è (x + ∆x), ðàñòÿíåòñÿ èëè ñîæìåòñÿδξδξíà âåëè÷èíó ∆ξ = δx∆x, ãäå- îòíîñèòåëüíîå óäëèíåíèå, òî åñòü äåôîðìàöèÿ ýëåìåíòà ñòåðæδxíÿ. Íàïðÿæåíèå σ (ò.å. ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà åäèíèöó ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ) ñîãëàñíî çàêîíó Ãóêàδξ, ãäå E - ìîäóëü Þíãà ìàòåðèàëà.

 ðåçóëüòàòå ïåðåìåííîé äåôîðìàöèè âäîëüðàâíî: σ = FS = E δxîñè ñòåðæíÿ áóäåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ïðîäîëüíàÿ âîëíà. Äåéñòâèòåëüíî, â ñå÷åíèÿõ x è x + ∆xíàïðÿæåíèÿ áóäóò ðàçëè÷íûìè, à èõ ðàçíîñòü ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:1 δFδσ(x + ∆x) − σ(x) =∆x =S δxδxFS∆x =δσ∆xδxÝòà ðàçíîñòü ñîçäàñò äâèæóùóþ ñèëó äëÿ ýëåìåíòà ñòåðæíÿ ìàññîé m = Sρ∆x âäîëü îñè x (ρ ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà ñòåðæíÿ). Èñïîëüçóÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ, íà îñíîâàíèè âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíàóðàâíåíèå äâèæåíèÿ ýòîãî ýëåìåíòà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:Sρ∆xδ2 ξδ2 ξ=SE∆xδt2δx21èëè2δ2 ξ2δ ξ=cδt2δx2Çäåñü c = Eρ , òàê êàê ýòî ìîæíî ïîëó÷èòü, îïèñûâàÿ õàðàêòåðèñòèêè äâèæóùåéñÿ âîëíû.

Îòäåëüíî ÿ ýòî ðàñïèñûâàòü íå áóäó, ïîòîìó ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì âîëíîâîå óðàâíåíèå â áîëåå îáùåì âèäå.Ýòî óðàâíåíèå íîñèò íàçâàíèå âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ. Îíî, â ÷àñòíîñòè, îïèñûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèåïðîäîëüíûõ âîëí â ñòåðæíå. Îáùåå ðåøåíèå âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìå äâóõáåãóùèõ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ â îáå ñòîðîíû.r2ξ(x, t) = f (ct − x) + g(ct + x)ãäå f è g - ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè, îïðåäåëÿåìûå ãðàíè÷íûìè è íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè. Åñëèâîçáóäèòåëü êîëåáàíèé ïîäà¼ò ñèíóñîèäàëüíûé ñèãíàë, âîëíó â ñòåðæíå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàêñóïåðïîçèöèþ äâóõ ñèíóñîèäàëüíûõ âîëí:ξ(x, t) = A1 sin(ωt − kx + φ1 ) + A2 sin(ωt + kx + φ2 )ãäå ω = 2πν - öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà, à k = 2π/λ - íàçûâàåòñÿ âîëíîâûì ÷èñëîì. Çäåñü ïåðâîå ñëàãàåìîå îïèñûâàåò âîëíó, áåãóùóþ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè ïî îñè x , âòîðîå â îòðèöàòåëüíîì.Ñêîðîñòü èõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ðàâíà: c = ω/k.

Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó àìïëèòóäàìè è íà÷àëüíûìèôàçàìè îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíûìè è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Ïðè íåçàêðåï¼ííûõ êîíöàõ ñòåðæíÿèçìåíåíèå, à çíà÷èò è ñàìî íàïðÿæåíèå íà åãî êîíöàõ äîëæíî áûòü ðàâíî íóëþ â ëþáîé ìîìåíòâðåìåíè. Èç ðàâåíñòâà àìïëèòóäû íóëþ ïðè x = 0 ïîëó÷èì, ÷òî φ1 = φ2 = 0. Èç ðàâåíñòâà àìïëèòóäû íóëþïðè x = L, ãäå L - ýòî äëèíà ñòåðæíÿ, ïîëó÷àåì, ÷òî ÷àñòîòà ñèãíàëà äîëæíà áûòücðàâíà ν = 2L .

Èëè, èíà÷å ãîâîðÿ, â ñòåðæíå äîëæíî óêëàäûâàòüñÿ öåëîå ÷èñëî ïîëóâîëí. Òàêêàê â ðåàëüíîñòèñóùåñòâóþò ïîòåðè ýíåðãèè, ãåíåðàòîð áóäåò ïîäêà÷èâàòü ýíåðãèþ â ñèñòåìó. Òàêêàê â ðåàëüíîñòè òî÷íî ìîæíî èçìåðèòü òîëüêî íàèìåíüøóþ ðåçîíàíñíóþ ÷àñòîòó(ïðè êîòîðîé âñòåðæíå óêàëäûâàåòñÿ ïîëîâèíà âîëíû), òî äëÿ âû÷èñëåíèé ÿ áóäó èñïîëüçîâàòü òîëüêî å¼.4Òàáëèöà èçìåðåíèé:2Òàáëèöà 1: Äàííûå äëÿ ìåäèÏåðâàÿ ÷àñòîòà:±KHzÂòîðàÿ ÷àñòîòà:±KHzÒðåòüÿ ÷àñòîòà:±KHz×åòâ¼ðòàÿ ÷àñòîòà:±KHzÏÿòàÿ ÷àñòîòà:±KHz"Ïîëîâèííàÿ"÷àñòîòà:±KHzÄëèíà ñòåðæíÿ:±ìÌàññà îáðàçöà:êãÄëèíà îáðàçöà:±ñìÄèàìåòð îáðàçöà:±ñìÒàáëèöà 2: Äàííûå äëÿ äþðàëþìèíèÿÏåðâàÿ ÷àñòîòà:±KHzÂòîðàÿ ÷àñòîòà:±KHzÒðåòüÿ ÷àñòîòà:±KHz×åòâ¼ðòàÿ ÷àñòîòà:±KHzÏÿòàÿ ÷àñòîòà:±KHz"Ïîëîâèííàÿ"÷àñòîòà:±KHzÄëèíà ñòåðæíÿ:±ìÌàññà îáðàçöà:êãÄëèíà îáðàçöà:±ñìÄèàìåòð îáðàçöà:±ñìÒàáëèöà 3: Äàííûå äëÿ ñòàëèÏåðâàÿ ÷àñòîòà:±KHzÂòîðàÿ ÷àñòîòà:±KHzÒðåòüÿ ÷àñòîòà:±KHz×åòâ¼ðòàÿ ÷àñòîòà:±KHzÏÿòàÿ ÷àñòîòà:±KHz"Ïîëîâèííàÿ"÷àñòîòà:±KHzÄëèíà ñòåðæíÿ:±ìÌàññà îáðàçöà:êãÄëèíà îáðàçöà:±ñìÄèàìåòð îáðàçöà:±ñìÒàáëèöà 4: À×Õ âáëèçè ïåðâîãî ðåçîíàíñà ó ìåäè×àñòîòà KHz×àñòîòà KHz3,24615:×3,24685:3,24625:×3,24695:3,24635:×3,24705:3,24645:×3,24715:3,24655:×3,24725:3,24665:×3,24735:3,24675:×3,24745:3,2470,0016,5020,0019,7220,00112,9820,00116,2360,0011,6230,0010,6040,00140,3864,050,011,180,014,2490,0018,5110,00112,7430,00117,0050,00121,2460,0012,1240,0010,6050,00112,4864,150,011,180,014,1280,0018,2590,00112,3840,00116,5190,00120,7810,0012,0610,0010,6050,00128,114Àìïëèòóäà ñèãíàëà3,110,011,170,01Àìïëèòóäà ñèãíàëà1,40,5 Â3,01,60,5 Â2,81,80,5 Â2,62,20,5 Â2,22,60,5 Â2,02,80,5 Â1,63,00,5 Â1,43×××××××0,5 Â0,5 Â0,5 Â0,5 Â0,5 Â0,5 Â0,5 Â5 Âûâîä:Òàê êàê ìíå èçâåñòíà ÷àñòîòà ñèãíàëà (èçìåðÿåòñÿ äîâîëüíî òî÷íî ÷àñòîòîìåòðîì) è äëèíà âîëíû(ïðè ïåðâîì ðåçîíàíñå îíà â äâà ðàçà äëèííåå ñòåðæíÿ), òî ÿ ìîãó âû÷èñëèòü ñêîðîñòü çâóêà âñòåðæíå ïî ôîðìóëå c = 2Lν .Òàáëèöà 5: Ñêîðîñòè çâóêà ìåäè: äþðàëþìèíèè: ñòàëè:392251404994±8± 10± 10ì/ñì/ñì/ñÒàê êàê ìíå èçâåñòíû ìàññû, äëèíû è äèàìåòðû îáðàçöîâ ìåòàëëîâ, òî ÿ ìîãó íàéòè èõ ïëîòíîñòèÒàáëèöà 6: Ïëîòíîñòè ìåòàëëîâ ìåäè: äþðàëþìèíèè: ñòàëè:± 1802750 ± 608400 ± 1709100êã/ì3êã/ì3êã/ì3Äàëåå èç ýòîãî ÿ óæå ìîãó äîâîëüíî òî÷íî ïîñ÷èòàòü ìîäóëü Þíãà ýòèõ ñòåðæíåé:Òàáëèöà 7: Ìîäóëè Þíãà ìåòàëëîâ ìåäè: äþðàëþìèíèè: ñòàëè:±473 ± 2210 ± 5140Ïà ·109Ïà ·109Ïà ·109Íàèáîëüøèé âêëàä â êîíå÷íîå çíà÷åíèå ìîäóëÿ Þíãà ñîçäà¼ò ìåòîä èçìåðåíèÿ äèàìåòðà îáðàçöà, òàê êàê îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ äèàìåòðà îêàçûâàåòñÿ ñèëüíî áîëüøåé îñòàëüíûõ ïîãðåøíîñòåé.

 ýòîì ýêñïåðèìåíòå ÿ èñïîëüçîâàë øòàíãåíöèðêóëü, íî ïðè èñïîëüçîâàíèèìèêðîìåòðà âîçìîæíî íà ïîðÿäîê óìåíüøèòü êîíå÷íóþ ïîãðåøíîñòü.Äëÿ âû÷èñëåíèÿ äîáðîòíîñòè ñèñòåìû ÿ èçìåðèë À×Õ âáëèçè ïåðâîãî ðåçîíàíñà. ×òîáû êàê-òîîöåíèòü ìåñòî ïåðåñå÷åíèÿ óðîâíÿ è ïðåäïîëàãàåìîé çàâèñèìîñòè ñîåäèíèë òî÷êè ãëàäêîé êðèâîé.Èç ýòîé îöåíêè âûõîäèò çíà÷åíèå äîáðîòíîñòè â 4261 äëÿ ìåäè. Òàêæå â ëàáîðàòîðíîé ðàáîòåïðåäëàãàëîñü îáúÿñíèòü ýôôåêòc ïîÿâëåíèÿ ðåçîíàíñà ïðè ïîäà÷å ÷àñòîòû, âäâî¼ ìåíüøåé ÷àñòîòûïåðâîãî ðåçîíàíñà. Ïðè ν = â ñòåðæíå äîëæíî óêëàäûâàòüñÿ ÷åòâåðòü âîëíû, ÷òî íå ìîæåòñîîòâåòñòâîâàòü ðåçîíàíñó, òàê4Lêàê íå âûïîëíÿåòñÿ ãðàíè÷íîå óñëîâèå è íà êîíöàõ ñòåðæíÿ íåíóëåâîå ìåõàíè÷åñêîå íàïðÿæåíèå. Òàê êàê íà îñöèëîãðàôôå ïðè òàêîì ðåçîíàíñå íàáëþäàåòñÿ ôèãóðàËèññàæó 1 : 2, òî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî â ñòåðæíå âñ¼ ðàâíî óêëàäûâàåòñÿ ïîëîâèíà âîëíû.Ñòåðæåíü ýòî íå ïðîñòî êîëåáàòåëüíàÿ ñèñòåìà, à ñðåäà, â êîòîðîé ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ êîëåáàíèÿ.

Åñëè åãî äåôîðìèðîâàòü, òî òàì ìîãóò íà÷àòü ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ êîëåáàíèÿ ñàìûõ ðàçíûõäëèí âîëí. Åñëè ïîëîâèíà äëèíû âîëíû íå óêëàäûâàåòñÿ öåëîå êîëè÷åñòâî ðàç â ñòåðæíå, òî ïðèîòðàæåíèè áåãóùàÿ âîëíà ñäâèãàåòñÿ íà êàêóþ-òî ôàçó è ïðîèñõîäèò èíòåðôåðåíöèÿ âîëí, ñäâèíóòûõ íà ñàìûå ðàçëè÷íûå ôàçû, ÷òî â ñóììå ñèëüíî ãàñèò êîíå÷íóþ àìïëèòóäó. Òàêèì îáðàçîì,íåïîäõîäÿùèå ïî äëèíå âîëíû èìåþò î÷åíü ìàëóþ àìïëèòóäó è ðåçîíàíñâûçûâàòü íå ìîãóò. Êîãäàcìû ïîäà¼ì ÷àñòîòó, â öåëîå ÷èñëî ðàç áîëüøóþ ÷àñòîòû ν = 2L , òî ïî ñòåðæíþ ìîãóò ðàñïðî4kcñòðàíÿòüñÿ âñå ÷àñòîòû ν = 2L, ãäå k − íàòóðàëüíîå ÷èñëî.

Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ÷àñòîòå ãåíåðàòîðà÷àñòîòà èìååò íàèáîëüøóþ àìïëèòóäó, òàê êàê èñòî÷íèê ýíåðãèè âñåãäà â îäíîé ôàçåñ êîëåáàíècÿìè íà ýòîé ÷àñòîòå.  ñëó÷àå, åñëè ãåíåðàòîð ïîäà¼ò ÷àñòîòó, ìåíüøóþ ÷åì ν = 2L, òî ñèòóàöèÿíåìíîãî îòëè÷àåòñÿ.  ñòåðæíå íå ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ êîëåáàíèÿ ñ òàêèìè ÷àñòîòàìè, íî ÷àkccñòîòû ν = 2Lâñ¼ åù¼ ìîãóò òàì ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ. Ðàññîòðèì ñàìóþ ïåðâóþ ÷àñòîòó ν = 2L. Åñëèãåíåðàòîð ïîäà¼ò âäâîå ìåíüøóþ ÷àñòîòó, òî ïîêà êîëåáàíèÿ íà ýòîé ÷àñòîòå ñäåëàþò äâà ïåðèîäà,êîëåáàíèÿ ãåíåðàòîðà ñäåëàþò òîëüêî îäèí ïåðèîä. Òîãäà ìû âñ¼ òàê æå ïåðèîäè÷íî áóäåì ïîäàâàòü ýíåðãèþ â ñèñòåìó è ñìîæåì ñîçäàâàòü ðåçîíàíñ, õîòü è íå òàêîé ñèëüíûé êàê â ïåðâîì ñëó÷àå,òàê êàê êîëåáàíèÿ òî÷íî íå ñîâïàäàþò ïî ôàçåc ñ ñèãíàëîì ñ ãåíåðàòîðà.

Ïî òàêîé ëîãèêå ëþáàÿ÷àñòîòà, â öåëîå ÷èñëî ðàç ìåíüøàÿ ÷åì ν = 2L , áóäåò ðåçîíàíñíîé. Íî çàìåòíûì ðåçîíàíñ áóäåòcñèëüíåå âñåãî, åñëè ïîäàâàòü ν = 4L, òàê êàê òîãäà ãåíåðàòîð âñ¼ åù¼ áóäåò ïåðèîäè÷íî ïîäàâàòüýíåðãèþ, à åñëè ÷àñòîòû áóäóò îòëè÷àòüñÿ ñèëüíî, òî âîçäåéñòâèå ãåíåðàòîðà áóäåò áîëüøå ïîõîæåíà ïîñòîÿííóþ ñèëó, êîòîðàÿ íå ìîæåò ïîääåðæèâàòü êîëåáàíèÿ. Ïî ýòîé æå ïðè÷èíå èç âñåõ äëèíâîëí â ñòåðæíå ïðåèìóùåñòâî áóäåò èìåòü ñàìàÿ äëèííàÿ, ÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì è ìûâèäåì íà ýêðàíå îñöèëëîãðàôà ôèãóðó Ëèññàæó 1 : 2.5.