МУ - Методы решения задач по векторному анализу и поверхностным интегралам

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИНижегородский государственный университет им. Н.И. ЛобачевскогоМетоды решения задач по векторному анализуи поверхностным интеграламУчебно-методическое пособиеРекомендовано методической комиссией ИИТММ для студентов ННГУ,обучающихся по направлению подготовки 01.03.02«Прикладная математика и информатика»Нижний Новгород2016УДК 517.987 (077)ББК В162рМ-54М-54 Методы решения задач по векторному анализу и поверхностныминтегралам.Составители:Калашников А.Л.,Фокина В.Н.,Учебнометодическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет,2016.

– 38 с.Рецензент: к.ф.-м.н, доцент О.Е. ГалкинВ пособии содержатся задачи и методические указания для их решенияпо разделу курса “Математический анализ” и темы “Кратные интегралы”.Здесь рассмотрены криволинейные и поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода, а также способы их вычисления и приложения. Приведены, кроме того, методы решения задач по векторному анализу (теории поля).Работа будет полезна при проведении практических занятий по математическому анализу и его изучения в ходе самостоятельной работе студентовИИТММ ННГУ.УДК 517.987 (077)ББК В162рОГЛАВЛЕНИЕстр.ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................... 4ГЛАВА 1.КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ......................................... 51.1.Криволинейный интеграл 1-го рода..................................................

51.2.Основные свойства криволинейного интеграла 1-го рода ............. 51.3.Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода ......................... 61.4.Криволинейный интеграл 2-го рода................................................ 101.5.Основные свойства криволинейного интеграла 2-го рода ........... 101.6.Применение криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода........... 16ГЛАВА 2.ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ....................................... 192.1. Способы задания поверхности ...................................................... 192.2.

Сторона поверхности и её ориентация .......................................... 192.3. Поверхностный интеграл 1-го рода ............................................... 202.4. Сведение поверхностного интеграла 1-го рода к двойному.. ..... 212.5. Поверхностный интеграл 2-го рода ...............................................

222.6. Сведение поверхностного интеграла 2-го рода к двойному.. ..... 232.7.Формула Стокса ................................................................................ 262.8.Формула Остроградского-Гаусса .................................................... 282.9.Приложение поверхностных интегралов ....................................... 30ГЛАВА 3.ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ...........................................................

323.1.Основные понятия векторного анализа.......................................... 32ЛИТЕРАТУРА ............................................................................................ 373ВВЕДЕНИЕУчебно-методическое пособие составлено на основе опыта проведенияпрактических занятий и лекций по математическому анализу на ИИТММ и посвящено теме “Кратные интегралы”. Её цель помочь студентам лучше усвоитьтеоретический материал и привить навыки его использования к решению конкретных прикладных задач.Материал разбит на 3 главы, в которых представлены необходимая теория и примеры решения типовых задач.Глава 1 посвящена криволинейным интегралам 1-го и 2-го рода и формулам их вычисления.

Приведены также геометрические и механические приложения этих интегралов.Глава 2 содержит основные понятия для поверхностных интегралов1-го и 2-го рода и способы сведение к двойным интегралам. Имеются такжеих геометрические и механические приложения.В главе 3 представлены основные понятия векторного анализа и их связьс криволинейными и поверхностными интегралами.Отметим, что пособие может быть полезным и студентам других факультетов университета ННГУ, а также при проведении практических занятийи самостоятельной работе студентов..4ГЛАВА 1.

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ1.1. Криволинейный интеграл 1-го родаПусть на некоторой плоской гладкой или кусочно-гладкой кривойL  AB , соединяющей точки А и В задана функция z  f ( x, y ) , а Tn ─ произвольноеразбиениеэтойкривойначаститочкамиAi Ai 1A0  A, A1 , A2 ,..., An  B . Обозначим через d (Tn )  max l i , где l i - длинаi 1, nдуги Ai Ai 1 . Как известно, гладкая или кусочно-гладкая кривая спрямляема идля нее всегда можно осуществить такое разбиение. На каждой из дуг Ai Ai 1выберем произвольную точкуM i  ( x i , y i ) и составим суммуn 1n( f )  f ( M i )li , называемую ещё интегральной.i 0Определение 1.

Если для любой последовательности разбиений Tn приd (Tn )  0 , числа  n имеют конечный предел J , не зависящий от выбора последовательности Tn и точек M k , то число J называют криволинейным интегралом первого рода от функции f (M ) по кривой L и обозначаютJ f ( x, y )dlили J  f ( x, y)dl .LABЗамечание 1. Определение 1 аналогично определению интеграла Римана. Нетрудно записать его через  ,  , то есть по Коши. Для AB ─ пространственной кривой определение криволинейного интеграла первого рода аналогично приведенному выше для гладкой или кусочно-гладкой кривой.

Тогдадля функции u  f ( x, y, z ) криволинейный интегралJ  f ( x, y, z )dlили J AB f ( x, y, z )dl ,Lгде u  f ( x, y, z ) задана на кривой L .Далее криволинейный интеграл первогорода записываем в виде: J  f ( M )dl =  f ( M )dlABдля пространственной илиLплоской кривой, где M  ( x, y , z ) или M  ( x, y ) соответственно.1.2. Основные свойства криволинейного интеграла 1-го родаСвойство 1. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от выбора направления на кривой L , то есть5 f ( M )dl =  f ( M )dlABBAкак для плоской, так и для пространственной кривой.Свойство 2.

(линейность интеграла) Если f (M ) и g (M ) интегрируемына кривой L , то функции f ( M ) * g ( M ) и f ( M )   g ( M ) тоже интегрируемына L при любых числах  ,  и при этом (f ( M )  g ( M ))dl    f ( M )dl    g ( M )dl .LLLСвойство 3. (аддитивность интеграла) Если функция f (M ) интегрируема по двум не перекрывающимся кривым L1 и L2 , то f (M ) интегрируемана L  L1  L2 и f ( M )dl   f (M )dl   f (M )dlLL1L2Здесь две кривые L1 и L2 называются не перекрывающимися, если L1  L2содержит конечное число точек или пустое множество.Свойство 4.

 1dl  L , где L - длина кривой L .LСвойство 5. Если функция f (M ) интегрируема на L , то f (M ) тожеинтегрируем на L и f ( M )dl  Lf ( M ) dl .LСвойство 6. (монотонность интеграла)Если f (M ) и g (M ) интегрируемы на L и f ( M )  g ( M ) для всех точек M  L , то f ( M )dl   g ( M )dl .LL1.3. Вычисление криволинейного интеграла 1-го родаПокажем способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода как вплоском, так и в пространственном случае через определенный интеграл.Теорема 1. Если кривая AB задана параметрическим уравнениемx  x(t ) , y  y (t ) , z  z (t ) при t   ,   , где функции x(t ) , y (t ) , z (t ) непрерывные, а x ' (t ) , y ' ( y ) , z ' (t ) непрерывные или кусочно-непрерывны и( x ' (t )) 2  ( y ' (t )) 2  ( z ' (t )) 2  0 для t   ,   , то справедливо равенство f ( x, y, z )dl   f ( x(t ), y(t ), z (t ))AB( x ' (t )) 2  ( y ' (t )) 2  ( z ' (t )) 2 dtДля кривой L в полярной замене: x   ( ) cos  , y   ( ) sin  при   0 ,  1 , полагая  за параметр t , нетрудно получить равенство:61 f ( x, y )dl   f (  ( ) cos  ,  ( ) sin  ) 2 ( )  (  ' ( )) 2 d0LДля кривой L , заданной в декартовой системе координат как y  p (x)при x  a, b  и непрерывно дифференцируемой функции p (x) имеемbf ( x, y )dx   f ( x, p ( x)) 1  ( p ' ( x)) 2 dx .ABaЭта формула получается из общей параметрической замены при параметреt  x .

Дифференциалыdl  ( x ' (t )) 2  ( y ' (t )) 2  ( z ' (t )) 2 dtдля пространственной кривой, а такжеdl  ( x ' (t )) 2  ( y ' (t )) 2 dtдля плоской кривой. При полярной замене и декартовой системе координат dlзаписывается аналогично.Отметим, что если кривая L представляет собойзамкнутый контур, то, разбивая ее на конечное число неперекрывающихсякривых L1 , L2 ,..., Lk и L  L1  L2  L3  ...  Lk , интегралkf ( M )dl   f ( M )dl .m 1 LmLПример 1. Найти J   ( x  y )dl , где L - контур треугольника с вершиLнами О(0,0), А(1,0), В(0,1).Решение.

Для вычисления интеграла используем способ его подсчетачерез определенный интеграл. Поскольку интеграл первого рода не зависит отвыбора направления на кривой, то по аддитивности этого интеграла ( x  y)dl   ( x  y)dl   ( x  y )dl   ( x  y )dl .LOBOABA1На ОВ имеем x  0 , 0  y  1 , dl  dy и( x  y )dl   ydy OB01OA имеем y  0 , 0  x  1 и dl  dx . Тогда1. На отрезке21 ( x  y)dl   xdx  2 . ОтрезокOA0BA лежит на прямой x  y  1 .