МУ - Моделированные колебания, спектральный анализ, линейная фильтрация

Ìîñêîâñêèé èçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò(ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò)ÌÎÄÓËÈÎÂÀÍÍÛÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß,ÑÏÅÊÒÀËÜÍÛÉ ÀÍÀËÈÇ,ËÈÍÅÉÍÀß ÔÈËÜÒÀÖÈßÓ÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèåÏðåäèñëîâèåÌîäóëèðîâàííûå êîëåáàíèÿ, ýëåìåíòû ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà, ëèíåéíàÿèëüòðàöèÿ âîïðîñû, êîòîðûå âõîäÿò â íàñòîÿùåå âðåìÿ â ïðîãðàììó îáùåãî êóðñà èçèêè è ÿâëÿþòñÿ ñîñòàâíîé ÷àñòüþ ðàçäåëà ¾Ýëåêòðè÷åñòâîè ìàãíåòèçì¿. Ïîñîáèå îïðåäåëÿåò êðóã èäåé, íà êîòîðûõ ñëåäóåò ñîñðåäîòî÷èòü âíèìàíèå ïðè èçó÷åíèè ýòèõ òåì íà ñåìèíàðàõ, îáðàùàÿ âíèìàíèå íåòîëüêî íà îðìàëüíûå ìàòåìàòè÷åñêèå âûêëàäêè, íî è (â áîëüøåé ñòåïåíè)íà èçè÷åñêèé ñìûñë ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ.Ìîäóëèðîâàííûå êîëåáàíèÿ : çäåñü ïîëåçíî îáðàòèòü âíèìàíèå íà ñîîòíîøåíèå âðåìåííûõ ìàñøòàáîâ: õàðàêòåðíûå âðåìåíà ìîäóëÿöèè è ïåðèîäíåñóùåãî êîëåáàíèÿ, à òàêæå íà âåêòîðíîå èçîáðàæåíèå êîëåáàíèé, ìîäóëèðîâàííûõ ïî àìïëèòóäå èëè (è) ïî àçå.Ïðè èçó÷åíèè ñïåêòðîâ êîëåáàòåëüíûõ ïðîöåññîâ ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòüíà êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ ñâÿçü ìåæäó øèðèíîé ñïåêòðà è äëèòåëüíîñòüþñèãíàëà ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé, à òàêæå îáðàòèòü âíèìàíèå íàâàæíîå ðàçëè÷èå ñïåêòðîâ ïåðèîäè÷åñêèõ ñèãíàëîâ è îäèíî÷íûõ èìïóëüñîâ.Íà ïðîñòûõ ïðèìåðàõ ïîëåçíî ïðîäåìîíñòðèðîâàòü, êàê èçìåíÿåòñÿ ñïåêòðñèãíàëà ïðè åãî ñìåùåíèè âî âðåìåíè ëèáî ïðè óìíîæåíèè íà íåñóùåå êîëåáàíèå.Íàêîíåö, íåîáõîäèìî ïîä÷åðêíóòü îñîáóþ ðîëü ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèéïî îòíîøåíèþ ê ëèíåéíûì ñòàöèîíàðíûì èëüòðàì, íà êîòîðûõ îñíîâàíñïåêòðàëüíûé àíàëèç ëèíåéíûõ ñèñòåì. ïîñîáèè ïîäðîáíî ðàññìîòðåíû íåêîòîðûå çàäà÷è, âêëþ÷¼ííûå â çàäàíèå, à òàêæå äîïîëíèòåëüíûå çàäà÷è.

Ïîñëåäíèé ðàçäåë ïîñîáèÿ (Äîïîëíåíèå) âûõîäèò çà ðàìêè îáÿçàòåëüíûõ òðåáîâàíèé è ïðåäíàçíà÷åí â áîëüøåéñòåïåíè äëÿ ïðåïîäàâàòåëåé, îäíàêî ìîæåò áûòü ïîëåçíûì è äëÿ ëþáîçíàòåëüíûõ ñòóäåíòîâ.Àâòîðû ïðèçíàòåëüíû ïðåïîäàâàòåëÿì êàåäðû îáùåé èçèêè ÌÔÒÈÄ.À. Àëåêñàíäðîâó, Â.Å. Áåëîíó÷êèíó, Í.Ñ.

Áåðþë¼âîé, Â.Â. Ëîáà÷¼âó çàïîëåçíûå çàìå÷àíèÿ, ñäåëàííûå èìè ïðè ÷òåíèè ðóêîïèñè, è ïîääåðæêó âðàáîòå.ÌÎÑÊÂÀÌÔÒÈ20093g replaements1. Ëèíåéíûå èëüòðû. àðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ.×àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêàÂî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ðåàëüíûå ýëåêòðè÷åñêèå ñèñòåìû (íàïðèìåð, ïîêàçàííûå íà ðèñ. 1) âåäóò ñåáÿ êàê ëèíåéíûå èëüòðû.f (t)RCCg(t) f (t) Rà)á)g(t)f (t)RCLg(t) f (t)â)RLg(t)ã)èñ. 1Íàïîìíèì, èëüòð íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì, åñëè èìååò ìåñòî ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè: îòêëèê èëüòðà íà ñóììó âíåøíèõ âîçäåéñòâèé ðàâåí ñóììåîòêëèêîâ íà êàæäîå âîçäåéñòâèå.Íàïðèìåð, çàêîí Êèðõãîà äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà (ñóììà ïàäåíèé íàïðÿæåíèé íà âñåõ ó÷àñòêàõ çàìêíóòîãî êîíòóðà ðàâíàñóììå ÝÄÑ, ðèñ.

1â) èìååò âèäLq̈ + q̇R +q= f (t),Cãäå q(t) çàðÿä êîíäåíñàòîðà, f (t) âíåøíÿÿ ÝÄÑ, âîçáóæäàþùàÿ êîëåáàíèÿ â êîíòóðå. Äëÿ âûõîäíîãî ñèãíàëà (íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå g(t) == q/C ) ïîëó÷àåì óðàâíåíèåg̈ + 2δ ġ + ω02 g = ω02 f (t),ãäå δ = R/2L, ω02 = 1/LC .Ïóñòü g1 (t) âûõîäíîé ñèãíàë êîíòóðà ïðè âõîäíîì ñèãíàëå (âíåøíåéÝÄÑ) f1 (t), òîãäàg̈1 + 2δ ġ1 + ω02 g1 = ω02 f1 (t).Ïðè âíåøíåé ÝÄÑ f2 (t) âûõîäíîé ñèãíàë åñòü g2 (t)g̈2 + 2δ ġ2 + ω02 g2 = ω02 f2 (t).Ïóñòü òåïåðü âíåøíÿÿ ÝÄÑ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé ñóïåðïîçèöèåé âîçäåéñòâèé f1 (t) è f2 (t), ò. å.f (t) = c1 f1 (t) + c2 f2 (t),Äîìíîæèâ ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé äëÿ g1 (t) è g2 (t) íà c1 è c2 ñîîòâåòñòâåííî è ñëîæèâ èõ, ïîëó÷èì, ÷òî ñèãíàë g(t) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíâ âèäåg(t) = c1 g1 (t) + c2 g2 (t),ò.

å. ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè ñïðàâåäëèâ.Äîêàæèòå àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, ïîëàãàÿ ñïðàâåäëèâûì çàêîí Êèðõãîà,÷òî âñå èçîáðàæ¼ííûå íà ðèñ. 1 èëüòðû ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè: îíè îïèñûâàþòñÿ ëèíåéíûìè äèåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè, è ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè äëÿ íèõ âûïîëíÿåòñÿ.Îáîáùàÿ ñêàçàííîå, èçîáðàçèì ïðîèçâîëüíóþ ëèíåéíóþ ñèñòåìó (èëüòð)ñ ïîìîùüþ áëîê-ñõåìû:f (t) → L → g(t),ãäå f (t) âíåøíåå âîçäåéñòâèå (âõîäíîé ñèãíàë èëüòðà), íàïðèìåð, âíåøíÿÿ ÝÄÑ, äåéñòâóþùàÿ íà êîëåáàòåëüíûé êîíòóð, g(t) âûõîäíîé ñèãíàë(îòêëèê èëüòðà), íàïðèìåð, íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå êîíòóðà.àâåíñòâî g(t) = L[f (t)] îçíà÷àåò, ÷òî âûõîäíîé ñèãíàë g(t) åñòü ðåçóëüòàòäåéñòâèÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû íà âõîäíîé ñèãíàë f (t). Òîãäà ñâîéñòâî ëèíåéíîñòè (ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè) ìîæíî ñèìâîëè÷åñêè çàïèñàòü â âèäå ðàâåíñòâàL[c1 f1 (t) + c2 f2 (t)] = c1 L[f1 (t)] + c2 L[f2 (t)].Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü äàëåå ëèíåéíûå ñòàöèîíàðíûå èëüòðû, ò.

å. ëèíåéíûå èëüòðû ñ ïîñòîÿííûìè, íå çàâèñÿùèìè îò âðåìåíè ïàðàìåòðàìè L,C , R. Òàêèå èëüòðû îïèñûâàþòñÿ ëèíåéíûìè óðàâíåíèÿìè ñ ïîñòîÿííûìèêîýèöèåíòàìè.Èç ñâîéñòâà ëèíåéíîñòè ñëåäóåò ïðîñòîå ïðàâèëî äëÿ íàõîæäåíèÿ îòêëèêà èëüòðà íà ïðîèçâîëüíîå âíåøíåå âîçäåéñòâèå f (t): íåîáõîäèìî ïðåäñòàâèòü ýòî âîçäåéñòâèå â âèäå ñóïåðïîçèöèè íåêîòîðûõ ýëåìåíòàðíûõ ñëàãàåìûõ, à çàòåì íàéòè îòêëèê íà êàæäîå ñëàãàåìîå. Îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàòïîëó÷àåòñÿ ñóììèðîâàíèåì îòêëèêîâ.  ýòîì ñîñòîèò ñóòü ñïåêòðàëüíîãî ïîäõîäà ê ðåøåíèþ çàäà÷è ëèíåéíîé èëüòðàöèè.Âûáîð áàçèñà (ýëåìåíòàðíûõ ñëàãàåìûõ) íåîäíîçíà÷åí. Åñòåñòâåííî ïîïûòàòüñÿ ðàçëîæèòü âíåøíåå âîçäåéñòâèå íà òàêèå ñëàãàåìûå, îòêëèê íà êîòîðûå íàõîäèòñÿ íàèáîëåå ïðîñòûì îáðàçîì. Òàêèìè ñëàãàåìûìè ÿâëÿþòñÿòàê íàçûâàåìûå ñîáñòâåííûå óíêöèè èëüòðà, ò. å.

óíêöèè Ψn (t), óäîâëåòâîðÿþùèå ðàâåíñòâóL[Ψn (t)] = Hn Ψn (t).g̈ + 2δ ġ + ω02 g = ω02 [c1 f1 (t) + c2 f2 (t)].Ýòî ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè âíåøíåå âîçäåéñòâèå îïèñûâàåòñÿ ñîáñòâåííîé óíêöèåé, òî îòêëèê îïèñûâàåòñÿ òîé æå óíêöèåé (ñ íåêîòîðûì ìíîæèòåëåì Hn , êîòîðûé ìàòåìàòèêè íàçûâàþò ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì).45òîãäà âûõîäíîé ñèãíàë èëüòðà g(t) ïîä÷èíÿåòñÿ óðàâíåíèþÄëÿ ëèíåéíûõ ñòàöèîíàðíûõ èëüòðîâ òàêèìè ñîáñòâåííûìè óíêöèÿìèÿâëÿþòñÿ óíêöèè eiωt ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, çàïèñàííûå â êîìïëåêñíîé îðìå:L eiωt = H(ω)eiωt ,ïðè÷¼ì êàæäîé ÷àñòîòå ω ñîîòâåòñòâóåò ñâî¼ ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå (ò.

å. ìíîæèòåëü H ÿâëÿåòñÿ óíêöèåé ÷àñòîòû ω : H = H(ω)). Ýòó â îáùåì ñëó÷àåêîìïëåêñíóþ óíêöèþ H(ω) = A(ω)eiϕ(ω) íàçûâàþò â èçèêå ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé (èëè ïåðåäàòî÷íîé óíêöèåé) èëüòðà.Ôóíêöèþ A(ω) = |H(ω)| íàçûâàþò àìïëèòóäíîé õàðàêòåðèñòèêîé èëüòðà (àìïëèòóäà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé â óíêöèè ÷àñòîòû ω ), à óíêöèþϕ(ω) = arg H(ω) íàçûâàþò àçîâîé õàðàêòåðèñòèêîé (ñäâèã ïî àçå âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé îòíîñèòåëüíî âíåøíåãî ãàðìîíè÷åñêîãî âîçäåéñòâèÿ eiωt ).Íàéòè ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè H(ω) èëüòðîâ, èçîáðàæ¼ííûõíà ðèñ. 1.

Ïîêàçàòü, ÷òî óíêöèè eiωt ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè óíêöèÿìèýòèõ èëüòðîâ.×àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà îïðåäåëÿåò îòêëèê íà âõîäíîé ãàðìîíè÷åñêèéñèãíàë åäèíè÷íîé àìïëèòóäû âíåøíþþ ÝÄÑ eiωt .1. RC -èëüòð (ðèñ. 1à). Çàêîí Êèðõãîà èìååò âèäÄëÿ ðèñ. 1á âûõîäíîé ñèãíàë íàïðÿæåíèå íà ñîïðîòèâëåíèè g(t) = q̇R.Ïîñêîëüêó íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó H(ω)eiωt , òîçàðÿä íà êîíäåíñàòîðå: q(t) = CH(ω)eiωt è âûõîäíîé ñèãíàë: g(t) = q̇R == iωRCH(ω)eiωt .

Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì2.HR (ω) =3.iωRC,1 + iωRCÊîëåáàòåëüíûé êîíòóð (ðèñ. 1â). Çàêîí Êèðõãîà:Qqreplaementsq̇R + + Lq̈ = eiωtPSfrag.CÄëÿ âûõîäíîãî ñèãíàëà g(t) =Çàäà÷à 1.qq̇R += eiωt .Cġ +ω01RC= H(ω)(iω)eiωt11 iωtg=e .RCRC0èñ. 3Ïîäñòàâëÿÿ â (2), èìååì (ïîñêîëüêó ġ(t) = iωH(ω)eiωt , g̈ = (iω)2 H(ω)eiωt ):Îêîí÷àòåëüíî íàõîäèì :4.îòêóäàω02,ω02 − ω 2 + i2δωω02|H(ω)| = p 2(ðèñ.

3),(ω0 − ω 2 )2 + 4δ 2 ω 2Èùåì ðåøåíèå â âèäå I = HI (ω)eiωt . Ïîäñòàâëÿÿ â (3), ïîëó÷àåìRHI (ω)eiωt + LiωHI(ω)eiωt = eiωt ,HI (ω) =1Àìïëèòóäíàÿ õàðàêòåðèñòèêà RC -èëüòðà ïîêàçàíà íà ðèñ. 2.2δω.ω02 − ω 2RI + LI˙ = eiωt .ñëåäîâàòåëüíî:|H(ω)| = p, ϕ(ω) = arctg(ωRC).1 + (ωRC)2ϕ(ω) = − arctgRL-èëüòð (ðèñ. 1ã). Çàêîí Êèðõãîà:11H(ω) =,RCRC6ωω0g(t) = H(ω)eiωt .(1)Ïîäñòàâëÿÿ â (1), ïîëó÷àåì (ïîñêîëüêó ġ =) ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà eiωt :1,H(ω) =1 + iωRC(2)Èùåì ðåøåíèå (2) â âèäåH(ω) =g(t) = H(ω)eiωt .H(ω)(iω) +2δïîëó÷àåì óðàâíåíèåg̈ + 2δ ġ + ω02 g = ω02 eiωt .Èùåì ðåøåíèå (1) â âèäåèñ. 2qC|H(ω)|−ω 2 H(ω) + 2δ(iω)H(ω) + ω02 H(ω) = ω02 .Äëÿ ðèñ.

1à âûõîäíîé ñèãíàë íàïðÿæåíèå íàêîíäåíñàòîðå g(t) = Cq , ïîýòîìó èìååìplaements |H(ω)|1ωRC1|HR (ω)| = p., ϕ(ω) = arctg2ωRC1 + (ωRC)Èòàê,I=1.R + iωL1eiωt .R + iωL7(3)Âûõîäíîé ñèãíàëiωLg(t) = LI˙ =eiωt ,R + iωLRiωL1, ϕ(ω) = arctgH(ω) =, |H(ω)| = q.R + iωLωLR 21 + ( ωL )plaements2. Âåêòîðíîå ïðåäñòàâëåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèéÍàïîìíèì, ÷òî ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèåS0plaementsaϕ0xf (t) = a cos(ωt + ϕ0 )èñ. 4âåñü òðåóãîëüíèê âåêòîðîâ âðàùàåòñÿ êàê îäíî öåëîå. Ïðè÷¼ì î÷åâèäíî, ÷òîïðîåêöèÿ ñóììàðíîãî âåêòîðà S íà îñü x â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè tðàâíà ñóììå ïðîåêöèé âåêòîðîâ S 1 è S 2 :a cos(ωt + ϕ) = a1 cos(ωt + ϕ1 ) + a2 cos(ωt + ϕ2 ),çäåñü a äëèíà âåêòîðà S , à ϕ åãî óãîë íàêëîíà ïðè t = 0.Èòàê, ñóììà ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé îäèíàêîâîé ÷àñòîòû ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêèì êîëåáàíèåì òîé æå ÷àñòîòû. Àìïëèòóäà a ñóììàðíîãî êîëåáàíèÿìîæåò áûòü íàéäåíà èç òðåóãîëüíèêà âåêòîðîâ ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ:a2 = a21 + a22 + 2a1 a2 cos(ϕ2 − ϕ1 ).(4)èçîáðàæàþò âåêòîðîì S , äëèíà êîòîðîãî ðàâíà àìïëèòóäå êîëåáàíèÿ a, à óãîë ìåæäó âåêòîðîì è ãîðèçîíòàëüíîé îñüþ x íà÷àëüíîé3.

Ìîäóëèðîâàííûå êîëåáàíèÿ. Àìïëèòóäíàÿ è àçîâàÿàçå êîëåáàíèÿ ϕ0 (ðèñ. 4). Ïðè ýòîì ÷àñòîòà ω ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿìîäóëÿöèèïðåäïîëàãàåòñÿ çàäàííîé. Ñìûñë ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.Äëÿ ïåðåäà÷è ñèãíàëîâ ìóçûêè, ðå÷è, òåëåâèçèîííîãî èçîáðàæåíèÿ Âîîáðàçèì, ÷òî âåêòîð S âðàùàåòñÿ âîêðóã òî÷êèSíåîáõîäèìîíàðóøåíèå ñèíóñîèäàëüíîñòè. Îòêëîíåíèå îò ñèíóñîèäàëüíîñòèO ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (àa2 S 2èâûðàæàåòñîäåðæàíèå ïåðåäàâàåìîé èíîðìàöèè.

Êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ,ìû ñäåëàëè ìãíîâåííóþ îòîãðàèþ â ìîìåíò t =aϕ2îòëè÷íûéîòãàðìîíè÷åñêîãî, íàçîâ¼ì ìîäóëèðîâàííûì êîëåáàíèåì. Ïðèìåðû= 0, êîãäà óãîë íàêëîíà âåêòîðà Φ(t) = ωt + ϕ0 ðàâåía1òàêèõïðîöåññîâ(èõ îñöèëëîãðàììû) ïðèâåäåíû íà ðèñ. 6.ϕ0 ). Çàìåòèì, ÷òî ïðîåêöèÿ âåêòîðà S íà îñü x ïðèS1ϕ10âðàùåíèè èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó f (t) = a cos(ωt + ϕ0 ),ò. å. ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ.èñ. 5åîìåòðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ãàðìîíè÷åñêîãî êî PSfrag replaementsëåáàíèÿ f (t) â âèäå âåêòîðà S óäîáíî èñïîëüçîâàòü ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ñëîæåíèÿ êîëåáàíèé. Ïóñòü ìû èìååì äâå ñêàëÿðíûå âåëè÷èíû f1 è f2 , èçìåíÿþùèõñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ îäèíàêîâîé ÷àñòîòîé ω :á)â)à)f1 (t) = a1 cos(ωt + ϕ1 ),f2 (t) = a2 cos(ωt + ϕ2 ).èñ. 6Íåîáõîäèìî íàéòè êîëåáàíèå f (t) (ñêàëÿðíóþ âåëè÷èíó), ÿâëÿþùååñÿ ñóììîé êîëåáàíèé f1 (t) è f2 (t):f (t) = f1 (t) + f2 (t).Èçîáðàçèì êîëåáàíèÿ f1 (t) è f2 (t) â âèäå âåêòîðîâ S 1 è S 2 (ðèñ.

5), âåêòîðS ñóììàðíûé âåêòîð. Âåêòîðû S 1 , S 2 , S îáðàçóþò òðåóãîëüíèê, ïðè÷¼ìâíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà (óãîë ∆ϕ ìåæäó âåêòîðàìè S 1 è S 2 ) ðàâåí ðàçíîñòè àç êîëåáàíèé f1 è f2 . Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî âåêòîðû S 1 è S 2 âðàùàþòñÿ ñ îäíîé è òîé æå óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. ßñíî, ÷òîóãîë ϕ ìåæäó âåêòîðàìè S 1 è S 2 îñòà¼òñÿ ïðè òàêîì âðàùåíèè íåèçìåííûì,à ñóììàðíûé âåêòîð S ïîâåðí¼òñÿ çà âðåìÿ t (êàê è S 1 è S 2 ) íà óãîë ωt, ò.

å.8Áóäåì çàïèñûâàòü ìîäóëèðîâàííûå êîëåáàíèÿ â âèäåf (t) = a(t) cos(ω0 t + ϕ(t)).(5) îòëè÷èå îò ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ, çäåñü a(t) è ϕ(t) ìåíÿþùèåñÿ âîâðåìåíè âåëè÷èíû. Ôîðìà çàïèñè (5) îñîáåííî öåëåñîîáðàçíà â òîì ñëó÷àå,êîãäà a(t) è ϕ(t) ìåäëåííî ìåíÿþùèåñÿ óíêöèè âðåìåíè, ò. å. íà èíòåðâàëàõ âðåìåíè τ , ñóùåñòâåííî ïðåâûøàþùèõ ïåðèîä ãàðìîíè÷åñêîãî (òàêíàçûâàåìîãî ¾íåñóùåãî¿) êîëåáàíèÿ ÷àñòîòû ω0 :τ≫92π,ω0(6)f (t) = a(t) cos(ω0 t + ϕ0 ),(7)ãäå a(t) > 0. Òàêîå êîëåáàíèå íàçûâàþò ìîäóëèðîâàííûì ïî àìïëèòóäå.Åñëè a(t) = a0 = const, òîf (t) = a0 cos(ω0 t + ϕ(t)).(8)a(t)Îïåðàöèþ ìîäóëÿöèè ïåðåìíîæåíèå ìîäóëèðóþùåãî ñèãíàëà f0 (t) íà ìîäóëèðóåìîå âûñîêî÷àñòîòíîå ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå eiω0 t ïðèíÿòî èçîáðàæàòü â âèäå áëîê-ñõåìû (ðèñ.

7).Òàêèì îáðàçîì, íåïðåìåííûìè ñîñòàâíûìè ÷àñòÿìè ëþáîé ïåðåäàþùåéðàäèîñòàíöèè ÿâëÿþòñÿ: ãåíåðàòîð âûñîêî÷àñòîòíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ eiω0 t , èñòî÷íèê ñèãíàëà f0 (t), ñîäåðæàùåãî ïåðåäàâàåìóþ èíîðìàöèþ,è ìîäóëÿòîð óñòðîéñòâî, îñóùåñòâëÿþùåå èõ ïåðåìíîæåíèå.PSfrag replaementsÒàê æå, êàê è ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ,êâàçèãàðìîíè÷åñêèå ïðîöåññû èçîáðàæàþòâ âèäå âåêòîðîâ. Åñëè ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèåa0ϕ(t)f (t) = a0 cos(ω0 t + ϕ0 )(10)ϕ0ýòè óíêöèè îñòàþòñÿ ïðàêòè÷åñêè íåèçìåííûìè: a(t) ≈ a0 è ϕ(t) ≈ ϕ0 .Òàêîå êîëåáàíèå íàçûâàåòñÿ êâàçèãàðìîíè÷åñêèì.