Дубинин В.В.Общие теоремы динамики (Общие теоремы динамики В.В. Дубинин, Г.И. Дубровина, А.Ю.Карпачев), страница 4

Силы реакции опоры Oи M gˉ приложены в неподвижных точках, W (mˉg ) = mˉg vˉ =g . Здесь= mˉg (ˉve + vˉr ) = 0, так как скорости перпендикулярны mˉNX(i)W Fˉk= 0.k=1Кинетическая энергия системы равна:T =тогда получимJz ϕ̇2 m (ṡ + r ϕ̇)2+,22dT= ϕ̇ Jz ϕ̈ + mr2 ϕ̈ + mrs̈ + mṡ (s̈ + r ϕ̈) = 0.dtdKz= 0, имеемУчитывая, чтоdtJz + mr2 ϕ̈ + mrs̈ = 0,тогда изdT= 0 получим уравнениеdtr ϕ̈ + s̈ = 0.(2)Эти уравнения однородны относительно ϕ̈ и s̈, поэтому угловое ускорение диска εz = ϕ̈ = 0 и касательное относительноеускорение s̈ = 0.Проинтегрируем уравнение (2):r ϕ̇ + ṡ = С1 ,из начальных условий получимC1 = r ω0z + v0и тогда36r ϕ̇ + ṡ = r ω0z + v0 .(3)Из системы уравнений (1) и (3) находимϕ̇ = ω0z , ṡ = v0 .Уравнение движения точки B в векторной форме (рис.

19, в):ˉ2 ,ˉ1 + Nmˉa = mˉg+Nгде aˉ — абсолютное ускорение точки B, оно равно:ˉnr + aˉeτ + aˉne + aˉk .aˉ=aˉrτ + aЗдесь arτ = aeτ = 0;anr =ṡ2v2= 0;rrane = ϕ̇2 r = ω20z r;ak = 2 ϕ̇ṡ sin 90◦ = 2ω0z v0 .n): 0 = N1 − mg, N1 = mg, и BO(ˉВ2проекциях на оси Оzpv0+ ω2Оz r + 2ωОz v0 = N2 , N = N12 + N22 .mrЗамечание. Можно приложить, например, к диску пару сил смоментом L = const, тогда получим систему уравненийJz + mr2 ϕ̈ + ms̈r = L;ϕ̇ Jz + mr2 ϕ̈ + mrs̈ + mṡ (s̈ + r ϕ̈) = L ϕ̇;из второго уравнения имеем s̈ + r ϕ̈ = 0.Задача 6. Механическая система (рис. 20) состоит из призмы1 массой m1 , движущейся по гладкой плоскости, и однородногоцилиндра 2 массой m2 и радиусом r.

Цилиндр по призме катитсябез скольжения. В начальный момент система находилась в покое.Определить: скорость призмы в момент времени, когда центрмасс цилиндра опустится на высоту h; ускорениепризмы;силуπ.трения в точке контакта цилиндра и призмы 0 < α <2Решение. Механическая система имеет две степени свободы.Выберем обобщенные координаты (рис. 20, а): x и s.Для решения задачи используем теоремы об изменении количества движения, кинетической энергии системы.Вычислим количество движения механической системы:ˉ = m1 vˉ1 + m2 vˉС .QТак как точка C совершает сложное движение (рис.

20, б), то(e)(r)(e)(r)2 = ẋ2 + ṡ2 − 2ẋṡ cos α.vˉC = vˉC + vˉC , где vcx = ẋ, vcs = ṡ, vCВычислим проекцию количества движения системы на ось Оx.37Рис. 20Получим Qx = (m1 + m2 ) ẋ − m2 ṡ cos α.Теорема об изменении количества движения механической системы в векторной форме имеет видNX (e)ˉdQˉ,Fˉk = m1 gˉ + m2 gˉ + N=dtk=1в проекции на ось ОxdQx= 0; Qx = С1 , где С1 определяется из начальныхdtусловий:38при t = 0x = 0, ẋ = 0,s = 0, ṡ = 0.ПолучимQx = m1 ẋ + m2 (ẋ − ṡ cos α) = C1 ,откуда C1 = 0 и окончательно запишемẋ (m1 + m2 ) − m2 ṡ cos α = 0.(1)Так как система имеет две степени свободы, то необходимоеще одно соотношение для определения скоростей.Применим теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме:T − T0 =NXk=1N X(e)(i)ˉA Fk+A Fˉk .(2)k=1Вычислим кинетическую энергию системы. Призма 1 движетсяпоступательно, поэтомуT1 =m1 ẋ2m1 v12=.22Цилиндр 2 совершает плоское движение, поэтомуT2 =2m2 vCJCZ ω2+,22m2 r2(e)(r)2 = ẋ2 + ṡ2 − 2ẋṡ cos α; J;где vˉC = vˉC + vˉC ; vCCZ =2ṡωz = .r2В последней формуле согласованы знаки ṡ и ωz .

В результате получим m2 ṡ2m1 ẋ2 m2 2ẋ + ṡ2 − 2ẋṡ cos α ++,224отсюда из начальных условий имеем T0 = 0.T =39Определим сумму работ внешних сил:NXk=1(e)ˉ ) + A (m2 gˉ).= A (m1 gˉ) + A(NA Fˉkˉ ) = 0, так как m1 gˉ и Nˉ перпендикулярныЗдесь A (m1 gˉ) = A(Nперемещению точек приложения сил.Далее найдемZZA (m2 gˉ) =m2 gˉdˉrC = m2 gˉ (dˉx + dˉs) =(L)=Zs(L)m2 gˉdˉs = m2 gs sin α = m2 gh,0где h = s sin α.В выражении (2)NX(i)A(Fˉk ) = 0.k=1Теперь из системы уравнений3 m1 + m2 2ẋ − m2 ẋṡ cos α + m2 ṡ2 = m2 gs sin α;42(m1 + m2 ) ẋ − m2 ṡ cos α = 0,полученных из теорем динамики, определим скорость призмы:sgh .ẋ = 2m2 cos α(m1 + m2 ) 3m1 + m2 1 + 2 sin2 αДля определения ускорений призмы ẍ и относительного ускорения s̈ точки C цилиндра применим теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме:NN XXdT(i)(i)W Fˉk +W Fˉk ,=dtk=1гдеNXk=140k=1NX(i)(e)(e)(r)ˉW Fk= 0,W Fˉk= m2 gˉ vˉC + vˉC =k=1(r)= m2 gˉ ∙ vˉC = m2 g ∙ ṡ sin α.dQxИз теоремы об изменении количества движения= 0 поdtлучим(3)(m1 + m2 ) ẍ − m2 s̈ cos α = 0.Выражение для теоремы об изменении кинетической энергиипримет вид3ẋ [(m1 + m2 ) ẍ − m2 s̈ cos α] + ṡm2 s̈ − m2 ẍ cos α =2= m2 g ṡ sin α.dQx= 0 имеемdt3(4)s̈ − ẍ cos α = g sin α.2Из уравнений (3) и (4) получим решение для ускорений призмыax = ẍ и относительного ускорения точки s̈:m2 g sin 2 α;ẍ =3m1 + m2 1 + 2 sin2 α2 (m1 + m2 ) g sin α.s̈ =3m1 + m2 1 + 2 sin2 αОпределим угловое ускорение цилиндра:Отсюда с учетомε2z =2 (m1 + m2 ) g sin αs̈ ,= r2r2 3m1 + m2 1 + 2 sin2 αгде относительное ускорение s̈ = arτs = r2 ε2z записано с учетомвыбора оси О 0 s и положительного направления отсчета угловыхвеличин.Вычислим силу трения в точке контакта цилиндра и призмы(см.

рис. 20, в).Запишем дифференциальное уравнение вращения цилиндра вотносительном движении вокруг оси, проходящей через точку С :JС Z ε2Z = Fтр ∙ r2 ,откудаFтр =(m1 + m2 ) m2 g sin α.3m1 + m2 1 + 2 sin2 α412.3. Смешанные задачиДля двухстепенных механических систем возникают в рядеслучаев задачи, в которых задано движение системы по одной изстепеней свободы [3], т.

е. по одной обобщенной координате.Уравнения движения могут составляться так же, как и в случае определения движения по обеим степеням свободы. Естественно, что заданное в задаче движение необходимо каким-то образомобеспечить. Поэтому при решении таких задач приходится решатьвторую и первую задачи динамики системы, т. е. определять движение по одной обобщенной координате при заданном кинематически движении по другой обобщенной координате. Найдя этодвижение, приходится определять силу или пару сил, обеспечивающие это заданное движение.Задача 7.

Пластина 1 вращается вокруг оси Az под действиемпары сил с моментом L. Ее момент инерции относительно этойоси равен Jz . Точка 2 массой m движется в трубке 3, закрепленной на пластине с постоянной относительно трубки скоростью v.Массой трубки и трением пренебречь. В начальный момент времени угловая скорость пластины равна нулю, а точка 2 находитсяв положении M0 (рис. 21, а).Определить: угловую скорость пластины в момент, когда точканаходится в положении M1 (при вылете из трубки); величину силы,приложенной вдоль трубки, обеспечивающей условие v = const;давление точки на трубку.Принять α = 60◦ .Решение.

Используем теорему об изменении кинетическогомомента относительно оси z для системы, состоящей из пластиныи материальной точки:NXdKzMz Fˉke .=dtk=1Здесь Kz = Jz ωz + Mz (mˉv ); Mz (mˉv ) = Mz (mˉve ); а Mz (mˉvr ) == 0, так как vˉr пересекает ось z в любой момент времени;Jz , ωz , vˉr , vˉe , vˉ — момент инерции пластины относительно осиAz, ее угловая скорость, векторы относительной, переносной иабсолютной скоростей материальной точки.42Рис.

21Далее запишемve ) = mωz (b + s cos α)2 ,ve τ = ωz (b + s cos α) , Mz (mˉи тогдаhiKz = ωz Jz + m (b + s cos α)2 ;dKz= L = const, ṡ = vrs = v = const (по условию задачи).dtОтсюда имеем dKz = Ldt. Интегрируем это выражение при начальных условиях:при t = 0s = 0, ṡ = v,ϕ = 0, ϕ̇ = 0,тогда получимhiKz = Lt+C; s = vt+C1 ; Kz = ωz Jz + m (b + s cos α)2 = Lt;s = vt.43Определим угловую скорость пластины ωz = ωz (s):ωz =Ls/v.Jz + m (b + s cos α)2Если s = 2b, тоωz =2Lbv (Jz + 4mb2 )(s = 2b при вылете точки из трубки).Для определения зависимости ωz (t) необходимо подставитьs = vt в ωz (s).Определим угловое ускорение из теоремы об изменении кинетического момента:hidKz= εz Jz + m (b + s cos α)2 +2mωz (b + s cos α) ṡ cos α = L,dtотсюдаL − 2m ωz v (b + s cos α) ∙ cos αεz =.Jz + m (b + s cos α)2Найдем значение силы Fˉ , которое обеспечит условие vr = v == const.Составим уравнение движения материальной точки (см.

рис. 21, б):ˉ1 + Nˉ2 ,mˉa = mˉg + Fˉ + Nгде абсолютное ускорение точки равно aˉ=aˉrτ + aˉne + aˉeτ + aˉk .Для относительного, переносного и кориолисова ускоренийимеемars = s̈; aeτ = (b + s cos α) εz ; ane = ω2 (b + s cos α) ;ak = 2ωz vr cos α.В проекции на ось Os получимm (s̈ − ane cos α) = −mg sin α + F,откуда при v = ṡ = const, s̈ = 0 найдемF = m g sin α − ω2 (b + s cos α) cos α .Определим N1 , N2 из уравнений в проекциях на оси, перпендикулярные трубке:mane sin α = N1 − mg cos α; m (aeτ + ak ) = N2 ;44N1 = m g cos α + ω2 (b + s cos α) sin α ;N2 = m [(b + s cos α) εz + 2ωz vr cos α] .Полная реакцияqN = N12 + N22 .Расчеты проводятся следующим образом. При каком-либо заданном значении времени t или координаты s определяем ωz .

Затем, используя значение ωz , определяем значение εz , а затем значения ускорений и сил F, N1 , N2 .Возможно подобное уравнение для определения F получить изтеоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальнойформе с помощью теоремы об изменении кинетического момента.Задача 8. Пластина 1 вращается вокруг неподвижной оси Azс постоянной угловой скоростью ω.

Точка M массой m движетсяв гладком закрытом пазу пластины (рис. 22, а).Рис. 22Определить: скорость точки M в положении M1 (при вылете из паза) и момент пары сил, который обеспечивает вращениепластины с постоянной угловой скоростью; давление точки на пазпластины. В начальный момент точка находилась в положении M0и не имела начальной относительной скорости.45Решение. Уравнение движения точки M имеет вид (рис. 22, б)ˉ2 ,ˉ1 + Nmˉa = mˉg+Nгде aˉ=aˉr + aˉne + aˉeτ + aˉk .Определим составляющие абсолютного ускорения:ars = s̈, ane = ω2e (l + s cos α) , aeτ = εe M K = 0,так как εe = 0;ˉ e × vˉr ) , ak = 2ωe vr sin β = 2ωe ṡ cos α, ωe = ω;aˉk = 2 ( ωm s̈ − ω2 (l + s cos α) cos α = −mg sin α;(2)2mωṡ cos α = N2 .(3)mω (l + s cos α) sin α = −mg cos α + N1 ;2(1)Из уравнения (1) найдемṡdṡ= ω2 l cos α − g sin α + ω2 s cos2 α;dss2ṡ2= ω2 l cos α − g sin α s + ω2 cos2 α + const.22Из начальных условийs̈ =при t = 0 s = 0, ṡ = 0получим const = 0.b−lПри s = l1 =cos αqṡ = 2 (ω2 l cos α − g sin α) l1 + ω2 cos2 αl12 .Из теоремы об изменении кинетического момента относительно оси Az определим величину момента пары сил, который обеспечивает ω = const:dKz= L.dtq ), где qˉ = mˉv = mˉve + mˉvr = qˉe +Здесь Kz = Jz ω + Mz (ˉ+ qˉr ; Mz (q) = Mz (ˉqe ) + Mz (ˉqr ); Mz (qr ) = 0; Mz (ˉqe ) = mω(l ++s cos α)2 .46Окончательно запишемihKz = Jz + m (l + s cos α)2 ω;dKz= 2ωm (l + s cos α) ṡ cos α = L.dtПри заданном значении s определяются N1 , N2 из уравненийдвижения (2), (3) и полная реакция паза, а следовательно, и давление точки M :qN = N12 + N22 .Приведем теперь пример подобной задачи, когда возможноиспользовать теорему о движении центра масс системы.Задача 9.