Первое задание расчетно-графической работы

Вариант IПостройте фазовый портрет уравнения()x2ẋ21 + 2 ẍ + 2 x + λx = 0ppгде p, λ – параметры. Это уравнение описывает движение тяжелой точки по параболе, вращающейсявокруг вертикальной оси. Ввести новую переменную y по формуле y = ẋ и записать уравнение вновых переменных. Далее следует разделить переменные в полученном уравнении, проинтегрировать его и получить первый интеграл F (x, y) = C. Строить фазовые кривые в плоскости x, y приλ > 0 и λ < 0.Вариант IIПостройте фазовый портрет механической системы, описываемой уравнениемẍ +x(x23/2=0+ x + 1)Укажите характерные элементы фазового портрета: особые точки, типичные траектории, сепаратрисы. Получите зависимость периода колебаний в виде квадратуры, построить график этойзависимости.Вариант IIIПостройте фазовый портрет механической системы, описываемой уравнениемẍ = (cos x − λ) sin xпри |λ| > 1 и в случае |λ| < 1.

Определите период колебаний от амплитуды в виде квадратуры дляслучая λ = 2, постройте график этой зависимости и запишите уравнение сепаратрисы.Вариант IVМолекула может совершать колебания в поле, заданном потенциалом Леннарда-Джонса[( )( )6 ]12bbU (r) = 4a−rrПараметры a и b считайте известными. Получите дифференциальное уравнение колебаний молекулы.Постройте фазовый портрет системы для двух случаев: a > 0, a < 0.

Укажите характерныеэлементы фазового портрета: особые точки, типичные траектории, сепаратрисы. Напишите уравнение сепаратрисы в явной форме1Вариант VПостройте фазовый портрет механической системы, описываемой уравнениемλ+ x5 = 0xгде λ – действительный параметр. Укажите характерные элементы фазового портрета: особыеточки, типичные траектории, сепаратрисы.

Получите зависимость периода колебаний от амплитудыв виде квадратуры, постройте график этой зависимости.ẍ +Вариант VIПостройте фазовый портрет уравнения ẍ+ẋ2 +6x−7 = 0. Указание: привести уравнение к линейномувиду относительно ẋ2 . Проинтегрировать его и получить первый интеграл исходного уравнения.Укажите характерные элементы фазового портрета: особые точки, типичные траектории, сепаратрисы. Получите зависимость периода колебаний от амплитуды в виде квадратуры, постройтеграфик этой зависимости.Вариант VIIПостройте фазовый портрет механической системы, описываемой уравнениемẍ = x − √2lxl 2 + x2Укажите характерные элементы фазового портрета: особые точки, типичные траектории, сепаратрисы.

Получите зависимость периода колебаний от амплитуды в виде квадратуры, постройтеграфик этой зависимости.Вариант VIIIПостройте фазовый портрет механической системы, описываемой уравнениемẍ +x33/2(x2 + 1)=0Укажите характерные элементы фазового портрета: особые точки, типичные траектории, сепаратрисы. Получите зависимость периода колебаний от амплитуды в виде квадратуры, постройтеграфик этой зависимостиВариант IXПостройте фазовый портрет механической системы, описываемой уравнениемẍ + λx3 − x4 = 0где λ – действительный параметр. Укажите характерные элементы фазового портрета: особыеточки, типичные траектории, сепаратрисы. Получите зависимость периода колебаний от амплитудыв виде квадратуры, постройте график этой зависимости2Вариант X√Постройте фазовый портрет уравнения ẍ + x2 + ẋ2 − 1 = 0.

Указание: ввести новую√ переменнуюx2 + y 2 . Проy = ẋ и перейти к уравнению первого порядка ydy + (r − 1)dx = 0, где r =интегрировать это уравнение. Укажите характерные элементы фазового портрета: особые точки,типичные траектории, сепаратрисы. Получите зависимость периода колебаний от амплитуды в видеквадратуры, постройте график этой зависимости.Вариант XIПостройте фазовый портрет уравнения()ẍ + α 1 − x2 ẋ2 + λ2 x = 0Указание: ввести новую переменную y = ẋ2 и перейти к линейному уравнению относительно y.

Проинтегрировать это уравнение. Укажите характерные элементы фазового портрета: особые точки,типичные траектории, сепаратрисы. Получите зависимость периода колебаний от амплитуды в видеквадратуры, постройте график этой зависимости.Вариант XIIПостройте фазовый портрет механической системы, описываемой уравнениемẍ + λx2 + x3 = 0где λ – действительный параметр. Укажите характерные элементы фазового портрета: особыеточки, типичные траектории, сепаратрисы. Получите зависимость периода колебаний от амплитудыв виде квадратуры, постройте график этой зависимости.3СтудентАгеева АленаАлейникова НатальяВоробьев НикитаВолокитин НиколайДмитриев ВикторЗахарков АртемКиреева АннаФедорова НинаФетисова АнжеликаШестеркин ЕгорЯковишина Дарья№ варианта76511413101292Рекомендации:• Фазовый портерт и график зависимости периода от амплитуды настоятельно рекомендуюстроить в MAPLE, Advanced Grapher или прочих системах (допустимый вариант – карандашомна миллиметровке).• Если квадратура для периода колебаний вычисляется в элементарных или известных специальных функциях, график T (a) можно строить с использованием последних.

В противномслучае использовать численные методы.• Для проверки построенного фазового портрета можно использовать, например, функциюphaseportrait в MAPLE.Основные вопросы на защите:1. Дать определение автономного и неавтономного (зависящего от времени) первого интегралауравнения второго порядка.2. Проинтегрировать в квадратурах уравнение ẍ + f (x) = 0.3. Вывести формулу для периода движения по замкнутой фазовой кривой этого уравнения.4. Что такое сепаратриса? Почему время движения по сепаратрисе бесконечно?5. Показать, что нетривиальные решения уравнения ẍ + x4 = 0 не продолжаются на интервал0 6 t < ∞.6.

Найти неавтономный интеграл уравнения ẍ + β ẋ + x = 0.7. Доказать, что уравнение ẍ + β ẋ + sin x = 0 не допускает автономный интеграл при β ̸= 0.4.